第二十一章 一元二次方程 用配方法解决问题 常见题型 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 用配方法解决问题 常见题型 专题练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、解含字母的一元二次方程
1.解关于的方程：．
2.解关于的方程：．
3.解关于的方程：．
4.解方程：．
二、用配方法解决非负性问题
5.已知，求的值为　　
A．3 B．6 C．9 D．27
6.已知，则的值为　　
A．4 B．2 C． D．
7.若，满足，则的值为 　　．
8.已知，则的值是　　
A．4 B． C．8 D．
9.已知关于的方程，，为常数，的解是，，那么方程的解为　　
A．， B．， C．， D．，
10.已知关于的方程，，常数，的解是，，那么：
（1）方程解为 　　 ；
（2）解为 　　 ．
11.已知，，均为正数，满足如下三个条件：
①，②，③．
（1）小明探究发现结论：，
证明如下：由①②，得④，
由④③，得．
小红探究发现结论：，
证明如下：由①②，得④，
请你将小红的证明过程补充完整；
（2）请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出和的值．
三、用配方法比较代数式的大小
12.已知、满足等式，，则，的大小关系是　　
A． B． C． D．
13.若，，则与的大小关系为　　
A． B． C． D．不能确定
四、用配方法求最值问题
14.在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式，无论取何值，，代数式，即当时，代数式有最小值为4．仿照上述思路，则代数式的最值为　　
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
15.探究代数式的最小值时，我们可以这样处理：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
（1）当 　　 时，有最小值是 　　 ；
（2）多项式有最 　　 （填“大”或“小” 值，该值为 　　 ；
（3）已知，求的最小值．
五、用配方法解决三角形周长问题
16.先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若，求和的值．
解：，
，
，
，，
，．
（1）若，求的值；
（2）已知，，是等腰的三条边长，且，满足，求的周长．
17.已知，，是△的三条边长，且，，是正整数．
（1）若，，满足且，求的长．
（2）若△为等腰三角形，且满足，求△的周长．
六、用配方法解决三角形形状问题
18．已知，，为三边长．
（1）求证：．
（2）当，试判断的形状．
答案
1.．
【分析】利用直接开平方法对所给方程进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
因为，
所以，
所以．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
2.解：方程整理得：，
即，
若，即，开方得：；
若，即，方程无实数根．
【点睛】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
3.，．
【分析】用直接开平方法即可解关于的一元二次方程．
【详解】解：，
，
，
，
，
，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方法的解法直接开平方法，熟练掌握该方法是解题的关键．
4.当时，此方程无解；当时，；
【分析】对的取值范围进行分类讨论，再进行求解即可．
【详解】解：由题知，
．
当时，此方程无解；
当时，
，
所以．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
5.
【分析】依据题意，由，可得，从而，，则，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意，，
．
．
，．
．
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键．
6.
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出、，计算即可．
【详解】解：，
，
，
，，
，，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式是解题的关键．
7.．
【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：已知等式变形得：，
即，
，，
，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8.
【分析】将整式适当变形，利用配方法和非负数的意义求得，，的值，再利用积的乘方的运算性质解答即可．
【详解】解：，
，
，
，，，
，，，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的意义，积的乘方的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
9.
【分析】先把方程可变形为：，然后根据题意可得：或，从而进行计算即可解答．
【详解】解：方程可变形为：，
由题意得：或，
解得：，，
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10.（1），；
（2），．
【分析】（1）用替换原来的，据此可解决问题．
（2）用替换原来的，据此可解决问题．
【详解】解：（1）由题知，
因为关于的方程，，常数，的解是，，
则由方程得，
或，
所以，．
故答案为：，．
（2）由题知，
因为关于的方程，，常数，的解是，，
则由方程得，
，
所以或，
所以，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法及换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．
11.（1）证明过程见解析；（2），．
【分析】（1）依据题意，由①②，得④，又③，故可得，又由②，从而可以判断得解；
（2）依据题意，由小红的结论，则，结合③，从而，又②，可得，故，从而，可得（负根舍去），又，故，最后可得，即可判断得解．
【解答】（1）证明：由①②，得④，
又③，
，即．
．
又②，
．
（2）解：由题意，由小红的结论，
．
又③，
．
又②，
．
．
．
（负根舍去）．
又，
．
．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、平方差公式，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键．
12.
【分析】利用作差法判断即可．
【详解】解：，
，
．
故选：．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13.
【分析】两个式子作差计算即可．
【详解】解：
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和非负数的性质，解题时要注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
14.
【分析】根据题意把代数式配成的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值．
【详解】解：由题意可得：原式
，
无论取何值，，即，
代数式，即当时，代数式有最大值，
故选：．
【点睛】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成的形式．
15.（1）；；
（2）大；17；
（3）．
【分析】（1）（2）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答；
（3）根据题意得到，利用配方法把变形，再根据偶次方的非负性解答．
【详解】解：（1），
，
当时，的值最小，最小值是0．
．
当时，有最小值是，
故答案为：；；
（2），
，
，
有最大值0，
有最大值，最大值为17，
故答案为：大；17；
（3），
，
，
则的最小值为．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
16.（1）；（2）17．
【分析】（1）依据题意，由配方变形为，从而可得，且，求出，后即可计算得解；
（2）依据题意，由配方变形为，从而求出，，再由，，是等腰的三条边长，结合两边之和大于第三边进而求出，，，最后计算可以得解．
【详解】解：（1）由题意，，
，即．
，且．
，．
．
（2）由题意，，
．
．
，．
，．
又，，是等腰的三条边长，
，．（若，，依据两边之和大于第三边，不合题意，舍去．
的周长为：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法进行变形是关键．
17.（1）；（2）12．
【分析】（1）依据题意，由，则，则正整数解为，或，，又，可得，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由，可得，从而，，又△为等腰三角形，若第三边为2，从而分两种情形讨论计算可以得解．
【详解】解：（1）由题意，，
．
正整数解为，或，．
又，
．
．
（2）由题意，，
．
．
，．
△为等腰三角形，若第三边为2，
①三边为2、2、5，不能构成三角形；②第三边为5，则三边为2、5、5．
综上，周长为：．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、三角形三边关系、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键．
18.（1）证明过程见解答；
（2）是等边三角形．
【分析】（1）先依据完全平方公式将原式变形为，然后再利用平方差公式进行分解，然后结合三角形的三边关系进行判断即可；
（2）先利用完全平方公式将原式变形为，然后，依据非负数的性质可得到、、之间的关系，从而可对的形状作出判断．
【解答】（1）证明：，
，，为三边长，
，，
，，
；
（2）解：是等边三角形．
理由：，
，
，
，
是等边三角形．
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