第二十一章 一元二次方程 一元二次方程中含参数问题 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 一元二次方程中含参数问题 专题练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1． 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2． 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．7
3． 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4． 已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D． 且
5． 已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（ ）
A．当时， B．当，时，
C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1
二、填空题
6． 若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ．
7． 若是一元二次方程的一个实数根，则代数式 ．
8． 设、是方程的两个根，且，则 ．
9． 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
10．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）m的取值范围为 ．
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，则m的值为 ．
三、解答题
11．方程．
(1)当取何值时是一元二次方程？
(2)当取何值时是一元一次方程？
12．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程有两个实数根；
(2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由．
13． 已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
(1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由．
(2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程．
14． 已知关于的一元二次方程．
(1)当时，解该一元二次方程；
(2)求证：无论为何实数，方程总有实数根；
(3)若是方程的两个实数根，且，求的值．
15．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”．
例如：，即，解得
，是“和积方程”．
材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．
(1)方程 （填是或不是）“和积方程”；
(2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____
(3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值．
答案
A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
∴，
故选：．
B
【详解】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值为解题的关键．
将代入一元二次方程得到关于k的一元一次方程求解即可．
【分析】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴将代入方程，
得，解得：．
故选：B．
B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式．
根据一元二次方程的定义及根的判别式求解，先得出二次项系数不为零，再需要满足判别式需大于零，解这个不等式即可．
【详解】解：方程为一元二次方程，故，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴需满足，
解得：，
∴的取值范围为且，
故选：D．
D
【分析】此题主要 考查了一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义等知识．根据已知条件，将根代入方程得到关系式，并结合分析各选项的正确性．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为，
∴，
即，
∵，
∴与符号相反，
当时，，，即，得到，故选项A正确；
当，时，则，则，即，得到，故选项B正确；
若方程的另一个实数根是，则方程有两个相等的实数根，则，即，
即，则，与已知矛盾，
∴方程的另一个实数根不可能是，
故选项C正确；
若方程的另一个实数根是1，则，即，，
∴，与已知矛盾，
即方程的另一个实数根不可能是1，
故选项D错误，符合题意．
故选：D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案．
【详解】解：是一元二次方程
且
故答案为：
【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解答本题的关键．
根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的一个实数根，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，，再求解即可．
【详解】解：∵、是方程的两个根，
∴，．
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据该方程有实数根，得到，再解不等式即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
2
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，当方程有两个实数根时，判别式，据此列出关于的不等式求解取值范围．
（2）先结合（1）中的范围确定正整数的可能值，再根据方程根为整数，利用求根公式分析根的表达式，结合完全平方数的性质确定的值．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系、求根公式，以及完全平方数的性质是解题的关键，涉及知识点有一元二次方程的判别式 ．
【详解】（1）根据题意，得，解得．
故答案为：；
（2）用求根公式表示出方程的根为．
方程的根为整数，
为完全平方数，
的值为2．
故答案为：2．
(1)；
(2)或．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键．
（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可；
（2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：方程是一元二次方程，
，
；
（2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意；
当时，
方程，
，
；
综上所述，或．
(1)见解析
(2)存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键．
（1）根据根的判别式解答即可；．
（2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可．
【详解】（1）证明：∵
．
∴该方程有两个实数根．
（2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下：
由求根公式，得：，
即，，
∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数，
∴必为正整数，
∴或，
即当或时，该方程的两个实数根均为正整数．
(1)是，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
（1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可．
（2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题．
【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下：
∵中，，，，
∴，
故该方程是美妙方程；
（2）解：∵美妙方程的一个根是，
∴，
解得：，
∴这个美妙方程是．
(1)
(2)见解析
(3)或1
【分析】本题考查了一元二次方程的综合运用．
（1）将代入方程求解即可；
（2）根据根的判别式证明即可；
（3）根据根与系数的关系求出，代入求解即可．
【详解】（1）解：当时，原方程为，
方程左边因式分解得：
解得：
（2）解：关于的一元二次方程，
，
，
，即，
不论为何实数，方程总有实数根；
（3）解：是关于的一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
，整理，得，解得，
的值为或1．
(1)不是
(2)或
(3)m的值为或或．
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“韦达定理”计算即可判断；
（2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解；
（3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴方程不是“和积方程”，
故答案为：不是；
（2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，，
∴，
当时，解得；
当时，解得；
（3）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵方程是“和积方程”，
∴，
当时，
整理得，
解得（舍去）或；
当时，
整理得，
解得或；
∴m的值为或或．
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