第二十一章 一元二次方程 章末综合闯关试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 章末综合闯关试题 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，下列变形正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4．若是方程的一个根，则k的值是（ ）
A．0 B．2 C． D．
5．分别以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．8 C．10或8 D．10或6
6．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百八十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（ ）
A．3步 B．5步 C．6步 D．9步
7．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（ ）
A． B．6 C．4或 D．或6
8．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ）
3.1 3.2 3.3 3.4
0.5
A． B． C． D．
9．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解
C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根
10．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．3或4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．一元二次方程的一般形式是 ．
12．已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
13．已知a是方程的一个根，则代数式的值是 ．
14．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ．
15．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
16．如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) ；
(2)．
18．解方程：
(1)，
(2)．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当时，方程的两个根是，，求的值．
20．关于x的一元二次方程．
(1)判定此方程根的情况；
(2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值．
21．定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由；
(2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值．
22．某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率．
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值．
24．如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设．
(1)的长为___________m；（用含的代数式表示）
(2)若羊的活动范围的面积为，求的长；
(3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由．
25．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于_______对称；
(2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B B A C A D A C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13．2023
14．
15．且
16．100
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．
【详解】（1）解：
，
二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是；..............3分
（2）解：，
，或
二次项系数是 ，一次项系数是4，常数项是0或二次项系数是1 ，一次项系数是，常数项是0．..............6分
18．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得；..............3分
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．..............6分
19．
【详解】（1）证明：∵，
∴
；
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；..............3分
（2）由题意，当时，，
∴．..............6分
20．
【详解】（1）证明：．
方程有两个实数根；..............2分
（2）解：由，且，
得
∴，，
即、的长为，，
当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得；
当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件．
综上所述，．..............6分
21．
【详解】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下：
在一元二次方程中，，，，
，
一元二次方程是“联合方程”；..........................3分
（2）解：是关于的“联合方程”，
，
是此“联合方程”的一个根，
，
即，
解得，
的值为，的值为6．..........................8分
22．
【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；..........................3分
（2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：当商品降价10元时，商场获利1250元．..........................8分
23．
【详解】（1）证明：
，
故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；..........................3分
（2）解：，，
，
，
，
，．
故m的值为或．..........................8分
24．
【详解】（1）解：依题意得，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；..........................2分
（2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为，
∴，即，
解得，
∴的长为或；..........................7分
（3）解：羊的活动范围的面积不能为．理由如下，
依题意得：，即，
∵，
∴羊的活动范围的面积不能为．..........................12分
25．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴当，即时，多项式有最小值，
∴多项式关于对称，
故答案为：；..........................5分
（2）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得．.........................12分
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