第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程：公式法 常见题型 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程：公式法 常见题型
专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、一元二次方程求根公式的认识
1． 用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为　　
A．3，，8 B．3，4，8 C．3，4， D．3，，
下列各项中，以为根的一元二次方程可能是　　
A． B． C． D．
3． 若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为　　
A． B． C． D．
二、用公式法解一元二次方程
4．用公式法解下列方程：
（1）； （2）； （3）．
5．用公式法解下列方程．
（1）； （2）； （3）．
三、不解一元二次方程判断根的情况
6． 一元二次方程的根的情况为　　
A．没有实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
7． 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是　　
A． B． C． D．
8． 关于的方程的根的情况是　　．
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
四、已知一元二次方程根的情况求参数范围
9． 若关于的方程无实数根，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
10． 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　．
11． 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围为 　　 ．
五、判别式的有关计算与证明
12． 关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为1，求的值．
13． 已知关于的一元二次方程．
（1）若是方程的一个根，求实数的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
14． 关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当为正整数时，求此时方程的根．
答案
【分析】整理为一般式即可得出答案．
【详解】，
，
则，，．
故选：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握如何找二次项系数，一次项系数和常数项．
【分析】利用公式法求解即可．
【详解】利用公式法可知：
．，故不符合题意．
．，故不符合题意．
．，故不符合题意．
．，故符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查公式法求一元二次方程，解题的关键是求根公式．
【分析】根据一元二次方程的求根公式，即可解答．
【详解】可以表示一元二次方程的根，
，，，
这个一元二次方程可以是，
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
题型二、用公式法解一元二次方程
4.（1）；
（2）；
（3），．
【分析】（1）把，，代入求根公式计算即可；
（2）把，，代入求根公式计算即可；
（3）把，，代入求根公式计算即可．
【详解】（1），
，，，
△，
，
；
（2），
，，，
△，
，
；
（3），
，，，
△，
，
，．
【点睛】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题．
5.（1）去括号，移项方程化为一般式为：，
，，，
，
，；
（2），，，
，
，
，；
（3），，，
，
，
，．
【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的求根公式：．
6.
【分析】当△时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可得出结论．
【详解】由条件可知△，
方程没有实数根．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式△与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．
7.
【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【详解】、△，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；
、△，该方程有两个相等的实数根．故本选项符合题意；
、△，该方程无实数根．故本选项不符合题意；
、△，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．
8.
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再根据结果可得结论．
【详解】由条件可得，
这个一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
题型四、已知一元二次方程根的情况求参数范围
9.
【分析】由关于的方程无实数根，可得△，即，即可解得答案．
【详解】关于的方程无实数根，
△，即，
解得；
故选：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程无实数根的条件：△．
10.．
【分析】根据二次方程的定义以及判别式的值，构建方程求解．
【详解】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：
①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△时，方程无实数根．
11.且．
【分析】根据一元二次方程的定义个根的判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得且△，
解得且，
即的取值范围为且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
12.（1）证明：，
△，
不论为何值，，
△，
方程总有两个实数根；
（2）把代入关于的一元二次方程，得．
解得．
【点睛】本题考查了根的判别式：已知一元二次方程、、为常数，，①当△时，方程有两个不相等的实数根，②当△时，方程有两个相等的实数根，③当△时，方程没有实数根．
13.（1）；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）把方程的一个根代入，计算即可求的值；
（2）根据关于的一元二次方程的根的判别式△的符号来判定该方程的根的情况．
【解答】（1）解：将代入原式，得；
解得；
（2）证明：△，
原方程总有两个不相等的实数根；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式．一元二次方程，，，为常数）的根的判别式为△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．
14.（1）；
（2）．
【分析】（1）由方程有两个实数根可知△，代入计算即可求解；
（2）根据为正整数结合（1）中的结论，可得，再解方程即可．
【详解】（1）关于的方程有两个实数根，
△，
解得：；
（2）由（1）可知，，
为正整数，
，
原方程为，
解得：．
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