第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程：配方法 常见题型 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程：配方法 常见题型
专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、直接开平方法的认识
一元二次方程的根为　　
A． B． C．， D．
2． 解下列一元二次方程可以直接开平方的是　　
A． B． C． D．
3． 解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为　　
A． B． C． D．
二、用直接开平方法解方程
4．直接开平方法解下列方程：
（1）； （2）．
5．用直接开平方法解下列方程：
（1）； （2）．
6．若，求的值．
三、直接开平方法的应用
7． 关于的方程无实数根，那么满足的条件是　　
A． B． C． D．
8． 若方程有解，则的取值范围是　　 ．
9． 已知关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是　　．
10． 若方程的解是，则方程的解是　　．
四、配方法
11． 已知一元二次方程可配成，则的值为　　
A． B．1 C． D．5
12． 用配方法解方程，应在方程两边同时加上　　
A．9 B．6 C．36 D．3
若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为 　　．
五、用配方法解方程
14．用配方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
15．用配方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
六、用配方法解方程的过程性问题
16． 解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
甲同学： 或 或 乙同学： ，， 此方程无实数根
（1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法　　 ，乙同学的解法　　（填“正确”或者“不正确”
请选择合适的方法解一元二次方程．
答案
【分析】运用直接开方法求解即可．
【详解】解：，
直接开方得：，
，
故选：．
【点睛】本题考查解一元二次方程，运用直接开方法求解即可．
【分析】形如的方程可以用直接开平方法求解．
【详解】解：方程可以直接开平方．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
【分析】根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：原方程变形为：，
，
或，
故选：．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．
二、用直接开平方法解方程
4.解：（1），
，
所以，；
（2），
，
所以，．
【点睛】本题考查解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
5.解：（1）
，
则，
解得：，；
（2）．
，
解得：，．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
解：设，则由原方程得：
，即，
解得：或．
当时，，则，
当时，，则，
则．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，用到的知识点是直接开平方法和换元法解一元二次方程，换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．
【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于的不等式，求解不等式即可．
【详解】解：当时，方程无解．
即．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数．
．
【分析】根据直接开平方法可得关于的不等式，进而求解可得．
【详解】解：方程有解，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键．
．
【分析】本题考查的是平方根的性质，利用平方根的含义解方程，根据非负数才有平方根可得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，
是非负数，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平方根的性质，利用平方根的含义解方程，根据非负数才有平方根可得答案．
，．
【分析】由题意可知，即可得出，然后利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：方程的解是，
，
方程中，，
，
，，
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了直接开平方法法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
【分析】利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出、的值，最后计算它们的和即可．
【详解】解：，
，
，
，
，，
解得，
．
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
【分析】根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：，
，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程—配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
11．
【分析】先把常数项移到等号的另一边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方后得新方程，根据题目中两个方程相等确定、，最后求出．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得．
．
一元二次方程配方后得到方程，
，．
．
．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了配方法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解决本题的关键．
14（1），；
（2），；
（3）原方程无解；
（4），．
【分析】（1）直接利用解一元二次方程配方法进行计算即可；
（2）直接利用解一元二次方程配方法进行计算即可；
（3）直接利用解一元二次方程配方法进行计算即可；
（4）先化成一般式，再利用配方法进行计算即可．
【详解】解：（1），
移项得：，
配方得：，
即，
开平方得：，
解得：，；
（2），
移项得：，
配方得：，
即，
开平方得：，
解得：，；
（3），
移项得：，
配方得：，
即，
，
原方程无解；
（4），
原方程化为，
配方得：，
即，
开平方得：，
解得：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程配方法，将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
15.（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【分析】（1）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
（4）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
或，
，；
（2），
，
，
，
，
，
或，
，；
（3），
，
，
，
，
，
或，
，；
（4），
，
，
，
，
，
或，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
16.故答案为：不正确；不正确．
（2），
，
，
或，
，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)