《股定理的应用》习题
一、选择题.
1．如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(取3)是(
)？
(A)20cm
(B)10cm
(C)14cm
(D)无法确定
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2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为(
).
(A)4
(B)4或34
(C)16或34
(D)4或
3．以下列各组数线段a、b、c为边的三角形中，不是直角三角形的是(
).
(A)a=1．5，b=2，c=3
(B)a=7，b=24，c=25
(C)a=6，b=8，c=10
(D)a=3，b=4，c=5
4．若三角形的三边长a、b、c满足(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是(
).
(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)直角三角形
(D)何类三角形不能确定
二、解答题.
1、ABC中，是边上的高，AC=
4，BC=3，BD=1.8，问△ABC是直角三角形吗？为什么？
2、架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.
(1)若梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，梯子的顶端A与它的底端B哪个距墙角C远？
(2)在⑴中如果梯子的顶端下滑1m，那么它的底端是否也滑动1m？
(3)有人说，在滑动过程中，梯子的底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大，你赞同吗？《勾股定理的应用》教案
教学目标
过程与方法目标：
(1)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力.
(2)在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
情感与态度目标：
(1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.
(2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.
教学重点
探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.
教学难点
利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
教学准备
教具：教材、电脑、多媒体课件．
学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具．
教学过程
第一环节：情境引入
情景1：多媒体展示：
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提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？
情景2：
如图：在一个圆柱石凳上，
( http: / / www.21cnjy.com )若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
第二环节：合作探究
学生分为4人活动小组，合作探究蚂蚁爬行
( http: / / www.21cnjy.com )的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线.让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算.
效果：
学生汇总了四种方案：
学生很容易看出：情形(1)中A→B的路线比情形(2)中A→B的路线短.
学生在情形(3)和(4)的比较中出现困
( http: / / www.21cnjy.com )难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA′’剪开圆柱得到矩形.前三种情形A→B都是折线，而情形(4)是线段，故根据两点之间线段最短可判断(4)最短.
如图，可以分别写出情形(1)、情形(2)、情形(3)、情形(4)的长度.
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得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题.
在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察.
第三环节：做一做
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李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
(1)你能替他想办法完成任务吗？
(2)李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，边BD长是50cm，AD边垂直于AB边吗？为什么？
(3)小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
解答：(2)
∴AD和AB垂直.
效果：
先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说
( http: / / www.21cnjy.com )明李叔叔的办法的合理性.当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论.
第四环节：随堂练习
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨
( http: / / www.21cnjy.com )8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？
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解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点，
乙到达C点.则:
AB＝2×6＝12(km)
AC＝1×5＝5(km)
在Rt△ABC中
∴BC＝13(km)
即甲乙两人相距13km.
效果：
学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解.
第五环节：举一反三
如图，在棱长为10厘米的正方体的一个
( http: / / www.21cnjy.com )顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？
解答：
第六环节：交流小结
师生相互交流总结：
1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．
2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
第七环节：布置作业
课本习题1.4第1，2，3，4题.
A’
A’
A’
B
A
B(共15张PPT)
勾股定理的应用
回顾与思考
1. ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则 ABC的面积为 .
如何判断一个三角形为直角三角形的方法
是： .
较短的两边平方和等于最长边的平方
120
2.两点之间 最短.
线段
B
A
蚂蚁怎么走最近？
在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
B
A
以小组为单位，研究蚂蚁爬行的最短路线
蚂蚁A→B的路线
B
A
A’
d
A
B
A’
A
B
B
A
O
A
B
A’
B
A
A’
O
怎样计算AB？
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
侧面展开图
=122+92
9cm
12cm
=225=252
所以蚂蚁爬行的最短路程是沿圆柱侧面爬行，距离是25cm.
∴AB=25
（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
∴AD和AB垂直.
解：
（2）
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？
解:如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点，乙到达C点.则:
AB=2×6=12(km)
AC=1×5=5(km)
随堂练习
北
东
A
B
C
在Rt△ABC中
∴BC=13(km)
即甲乙两人相距13km.
2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为
AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即
52+
x2=
(x+1)2
25+
x2=
x2+2
x+1，
2
x=24，
∴
x=12，
x+1=13
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
图（1）
图（2）
A
B
C
下图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗？请你与同伴交流设计方案？
图（1）
图（2）
A
B
C
小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？请你与同伴交流并回答用的是什么方法.《勾股定理的应用》习题
一、填空题.
1、勾股定理：直角三角形两直角边的
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等于
.如果用a，b和c表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足
那么这个三角形是直角三角形.
二、判断题.
(1)如果三角形的三边长分别为a，b，c，则a2+b2=c2(
).
(2)如果直角三角形的三边长分别为a，b，c，则a2
+
b2=c2(
).
三、计算题.
1、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了
( http: / / www.21cnjy.com )一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
2、某海中央有一座小岛，以小岛为中心有一股
( http: / / www.21cnjy.com )台风正以3千米/秋的速度向正北方向行驶，两小时后遇到一座高山，风向突然改变，改为向正东方向刮去，此时风速更为凶猛，已达到4千米/秒，又过了两小时，这时台风中心距离小岛多远.(共2张PPT)
从远处看，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形．
已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的长．
A
B
C
E
F
G
D
思(共9张PPT)
A
B
勾股定理的应用
A
B
如图，有一个圆柱体，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3）
问题的提出：
实验操作：
1、（试验）
利用事先做好的圆柱体，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
3、（计算）
蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，需要爬行的最短路程是多少？
2、（验证）
将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？
做一做：
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
试一试：
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即
52+
x2=
(x+1)2
25+
x2=
x2+2
x+1，
2
x=24，
∴
x=12，
x+1=13
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
某初一（1）班的学生想知道学校旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如图（1），当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如图（2），你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？请你与同伴交流并回答用的是什么方法.
图（1）
图（2）
A
B
C
某中学初一学生参加军训活动，某日早晨8:00全体集合整装出发，他们以6千米/时的速度向东行走.李小明由于记错了时间，9:00到校后立即骑车以12千米/时的速度向北追赶队伍，上午11:00同学们到达目的地，李小明才发觉方向错了.问:
(1)李小明现在要怎样走才能离同学们最近.请你与同伴交流，并画出示意图，说明理由.
(2)若李小明“打的”以60千米/时的速度去追赶同学们，沿着你画的示意图，需要多长时间赶到目的地？
小结：
本节课主要是应用勾股定理和它的逆定理来解决实际问题，在应用定理时，应注意：1、没有图的要按题意画好图并标上字母；2、不要用错定理.
作业：P14习题1.4的1、2、3题.(共1张PPT)
5
一朵荷花高出水
面1尺，被风吹得
和水面齐平，测出
偏离出水点5尺，问水深多少尺？
解:设水深为x尺，则花高x+1尺.
答：水深12尺.
