【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练10三角形（含解析）

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【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练10三角形
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共13小题）
（2025 南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
（2025 广元）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线HB，AC交于点K，则∠AKH＝（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
（2025 青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM＝CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是（　　）
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
（2025 山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为（　　）
A．21 B．14 C．13 D．9
（2025 连云港）如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2025 凉山州）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（　　）条对角线．
A．6 B．7 C．8 D．9
（2025 连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
（2025 台湾）如图是某种螺丝钉上螺纹的示意图，图中的虚线皆为水平线或铅垂线，图上标示出角度，也标示出水平线间或铅垂线间的距离．根据图中的标示，判断此种螺丝钉的螺纹深度是螺纹间距的多少倍？（　　）
A．
（2025 安徽）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE，则AC的长是（　　）
A．4 B．6 C．2 D．3
（2025 黑龙江）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
（2025 潍坊）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：A→C→B，路程为l甲．
乙：A→D→E→F→B，路程为l乙．
丙：A→G→H→B，路程为l丙．
下列关系正确的是（　　）
A．l甲＞l乙＞l丙 B．l乙＞l甲＞l丙
C．l甲＞l丙＞l乙 D．l甲＝l乙＞l丙
（2025 凉山州）如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为（　　）
A．56° B．60° C．62° D．64°
2 、填空题（本大题共10小题）
（2025 扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 　 　 ．
（2025 乐山）如图，∠1的度数为 　 　 ．
（2025 扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ．
（2025 长春）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则∠α为 　 　 度．
（2025 宿迁）若等腰三角形的两边长为2cm和4cm，则该等腰三角形的周长为 　 　 cm．
（2025 资阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 　 　 ．
（2025 广安）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为 　 　 ．
（2025 内江）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是　 　 ．
（2025 宁夏）如图，在单位长度均为1cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B坐标为（24，﹣10）．将一根长度为14.6cm的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 　 　 cm．（结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计）
（2025 湖南）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ；
（2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论）
①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形；
②若，则5＜t＜11；
③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7．
3 、解答题（本大题共7小题）
（2025 自贡）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF．
（2025 广州）如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD．求证：△ABC≌△EBD．
（2025 南充）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC．
（1）求证：△ABC≌△AED．
（2）求证：∠BCD＝∠EDC．
（2025 河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．
（1）求证：△ABC≌△AFD；
（2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD．
（2025 福建）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G．
（1）求∠DCE的大小；
（2）求证：△CEG是等边三角形．
（2025 常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝2，AD＝1．
（1）若△ABD是等腰三角形，则BD＝ 　 　 ；
（2）已知OB＝OD，AC＝BD．
①若OA＝OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，求AC的长．
（2025 广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数．
3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181
4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29
5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35
6，8，10 10，　 　 ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122
（1）请补全如表中的勾股数．
（2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练10三角形答案解析
1 、选择题
【考点】三角形的外角性质
【分析】利用三角形的外角性质计算即可．
解：∵直角三角板，
∴α＝90°+60°＝150°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【考点】多边形内角与外角
【分析】因为八边形ABCDEFGH为正八边形，所以每个内角都相等，每条边也相等，所以∠HAB＝∠ABC＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，∠BAC＝∠BCA＝∠ABH＝∠AHB＝（180°﹣135°）÷2＝22.5°，∠AKH＝∠BAC+∠ABH＝22.5°+22.5°＝45°．
解：因为八边形ABCDEFGH为正八边形，
所以∠HAB＝∠ABC
＝（8﹣2）×180°÷8
＝6×180°÷8
＝135°，
所以∠BAC＝∠BCA＝∠ABH＝∠AHB＝（180°﹣135°）÷2＝22.5°，
∠AKH＝∠BAC+∠ABH＝22.5°+22.5°＝45°．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟练运用多边形的内角和公式求出内角度数．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】利用SSS证明△OMC≌△ONC，得∠COM＝∠CON，即可解决问题．
解：在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠COM＝∠CON，
即射线OC是∠AOB的平分线，
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【考点】全等三角形的应用
【分析】根据SAS可证明结论．
解：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【分析】由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD，得到△BDC的周长＝BC+AC＝13．
解：∵DE垂直平分线段AB，
∴BD＝AD，
∴△BDC的周长＝BC+DB+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝8+5＝13．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD．
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，再根据三角形周长公式计算即可．
解：∵AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝7，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【考点】多边形内角与外角,多边形的对角线
【分析】设这个多边形的边数为n，n边形的内角和为180° （n﹣2），外角和为360°，从n边形的一个顶点出发可以引（n﹣3）条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出n的值即可得到答案．
解：设这个多边形的边数为n，
180° （n﹣2）＝360°×4，
180°n﹣360°＝360°×4，
解得：n＝10，
∴这个多边形是十边形，
∴从这个多边形一个顶点可以引10﹣3＝7条对角线．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形外角与内角和综合，多边形的对角线，掌握相应的定义是关键．
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析判断即可．
解：A．1+2＝3，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、2+3＞4，能构成三角形，故本选项符合题意；
C、3+5＝8，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
D、5+4＜10，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
【考点】等边三角形的性质，勾股定理
【分析】如图标记字母，求出BC，进而即可得解．
解：如图，标记字母，过A作AD⊥BC于点D，
∵AD＝H，
∴BD＝CDH，
∴螺纹间距为BCH，
∵螺纹深度＝HHHH，
∴，
∴螺纹深度是螺纹间距的倍，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【考点】含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】由等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，由tanC，求出DC＝3，由线段的中点定义得到AC＝2DC＝6．
解：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°，
∵ED⊥AC，
∴∠CDE＝90°，
∵tanC＝tan30°，
∴DC＝3，
∵D是AC的中点，
∴AC＝2DC＝6．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，关键是由锐角的正切定义求出CD的长．
【考点】三角形中位线定理，勾股定理
【分析】连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK，由三角形中位线定理推出MK∥AB，NK∥BC，MKAD＝2，NKCE，由勾股定理即可求出MN的长．
解：连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK，
∵点M、N分别是AC、DE的中点，
∴MK、NK分别是△ACD和△DCE的中位线，
∴MK∥AB，NK∥BC，MKAD，NKCE，
∵AD＝4，CE＝3，
∴MK＝2，NK，
∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∴MK⊥NK，
∴∠MKN＝90°，
∴MN．
故选：A．
【点评】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出MK∥AB，NK∥BC，MKAD，NKCE．
【考点】等边三角形的判定与性质,三角形三边关系
【分析】在图丙中，延长AG，BH交于点P，在图甲中，根据△ABC是等边三角形得AC＝BC＝AB＝a，进而得l甲＝AC+BC＝2a，在图乙中，根据△DAE和△FEB都是等边三角形得AD＝DE＝AE，DF＝FB＝EB，由此得l乙＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a；在图丙种，根据△PAB是等边三角形得AP＝AB＝a，根据三角形三边之间的关系得GH＜PG+PH，由此得AG+GH+HB＜PA+PB＝2a，进而得l丙＝AG+GH+HB＜2a，综上所述即可得出答案．
解：在图丙中，延长AG，BH交于点P，如图所示：
设AB＝a，
在图甲中，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝a，
∴甲所行走的路程l甲＝AC+BC＝2a，
在图乙中，AE+BE＝AB＝a
∵∠A＝∠AED＝∠FEB＝∠B＝90°，
∴△DAE和△FEB都是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，DF＝FB＝EB，
∴乙所行走的路程l乙＝AD+DE+DF+FB＝2（AE+BE）＝2a；
在图丙种，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴AP＝AB＝a，
根据三角形三边之间的关系得：GH＜PG+PH，
∴AG+GH+HB＜AG+GH+PG+PH＝PA+PB＝2a，
∴丙所行走的路程l丙＝AG+GH+HB＜2a，
∴l甲＝l乙＞l丙，
故选：D．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握等边三角形的判定与性质，三角形三边关系是解决问题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质
【分析】设AC与BD相交于点O，先证明∠BAE＝∠CAD，进而可依据“SAS”判定△BAE和△CAD全等得∠ABE＝∠ACD，再根据三角形外角性质得∠BAC＝∠BDC＝56°，然后根据AB＝AC即可得到出∠ABC的度数．
解：设AC与BD相交于点O，如图所示：
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△CDO的外角，
∴∠BOC＝∠ABE+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∵∠BDC＝56°，
∴∠BAC＝∠BDC＝56°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）（180°﹣56°）＝62°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
2 、填空题
【考点】多边形内角与外角
【分析】先根据多边形的一个内角与它相邻的外角的和为180°，求出多边形的每个内角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可．
解：∵多边形的每个内角都是140°，
∴多边形的每个外角都是180°﹣140°＝40°，
∴这个多边形的边数为：360°÷40°＝9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练多边形的外角和为360°．
【考点】三角形的外角性质
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算．
解：∠1＝45°+55°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【考点】勾股数
【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可写出第⑤组勾股数．
解：通过观察得：
第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5；
第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13；
第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25；
第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41；
所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61．
故答案为：11，60，61．
【点评】此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．
【考点】多边形内角与外角，几何体的展开图
【分析】先根据正五边形的性质求出它的一个外角，再求出每个内角的度数，再根据∠α与3个内角的和是一个周角，求出答案即可．
解：∵正五边形每个外角为：360°÷5＝72°，
∴正五边形每个内角为180°﹣72°＝108°，
∴∠α＝360°﹣3×108°＝360°﹣324°＝36°，
故答案为：36．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的性质．
【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系
【分析】已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，等腰三角形两边的长为2cm和4cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
解：①当腰是2cm，底边是4cm时，2+2＝4，不能构成三角形，
②当底边是2cm，腰长是4cm时，能构成三角形，
则其周长＝4+4+2＝10（cm），
所以，这个三角形的周长是10cm．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．
【考点】等边三角形的判定，平行线的性质
【分析】由等边三角形的判定方法，即可得到答案．
解：要使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是∠BCE＝∠B（答案不唯一），理由如下：
∵CE∥DA，
∴∠A＝∠BEC，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝∠BEC，
∵∠BCE＝∠B，
∴∠B＝∠BCE＝∠BEC，
∴△BCE 成为等边三角形．
故答案为：∠BCE＝∠B（答案不唯一）．
【点评】本题考查等边三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等边三角形的判定方法：三条边都相等的三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【考点】等腰直角三角形的判定，勾股定理
【分析】过A作AH⊥BC于H，判定△ABH是等腰直角三角形，求出AHAB＝2，由AD≥AH，即可得到AD的最小值．
解：过A作AH⊥BC于H，
∴∠AHB＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AHAB4＝2，
∵AD≥AH，
∴AD的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查等腰直角三角形，关键是判定△ABH是等腰直角三角形．
【考点】轴对称﹣最短路线问题
【分析】作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD，得出△AMN是等腰直角三角形，当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，进而求得AD，即可求解．
解：如图，作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD，
∴△DEF周长为DE+EF+FD＝NE+EF+FM≥MN，
当N，E，F，M四点共线时取得最小值，
∵N，M是D关于AB，AC的对称点，
∴∠NAE＝∠EAD，∠FAD＝∠FAM，AN＝AD＝AM，
又∵∠EAD+∠FAD＝45°，
∴∠NAM＝∠NAE+∠EAD+∠FAD+∠FAM＝90°，
∴△AMN是等腰直角三角形，
∴，
∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，
又∵∠B＝60°，，
∴，
∴△DEF周长最小为，
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，
【考点】勾股定理的应用，坐标与图形性质，几何体的展开图
【分析】由题意得出圆柱形笔筒的高为10cm，笔筒的底面圆周长为24cm，计算出笔筒的底面圆直径为8cm，再由勾股定理求出铅笔放入笔筒内最长为12.8cm，即可得出结果．
解：由题意得：圆柱形笔筒的高为10cm，笔筒的底面圆周长为24cm，
∴笔筒的底面圆直径为：8（cm），
铅笔放入笔筒内最长为：12.8（cm），
∴铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是14.6﹣12.8≈2（cm），
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、坐标与图形的性质、几何体的展开图等知识，熟练掌握圆周长的计算和勾股定理是解题的关键．
【考点】勾股定理的逆定理，三角形三边关系，等边三角形的性质
【分析】（1）由定义直接判断求解即可；
（2）依据每一选项逐一代入求解判断即可．
解：（1）由题可知t＝1k+1k＝1+1＝2，
故答案为：2；
（2）①当k＝2，t＝1时，
则，即a2+b2＝c2，
∴三角形为直角三角形，
故①正确，符合题意；
②当k＝1，，c＝1时，
则，
1°当a＞b时，a﹣b＜c，即，
解得：b＞2；
2°当a＜b时，b﹣a＜c，即，
解得：b＜6．
综上，2＜b＜6．
当b＝2时，，
当b＝6时，；
∴5＜t＜11，
故②正确，符合题意；
③，
∴，
又a+b＞c，
∴，
不妨设a＝n，则b＝n+1，c＝n+2，
∴，
解得：1＜n≤7，
∴n可取2，3，4，5，6，7，
对应的t值分别为：，共6个，
故③错误，不符合题意．
故答案为：①②．
【点评】本题主要考查了新定义题型，涉及勾股定理逆定理、三角形三边关系、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3 、解答题
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】根据∠ABE＝∠BAF得CB＝CA，再根据CE＝CF得BE＝AF，由此可依据“SAS”判定△ABE和△BAF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
证明：∵∠ABE＝∠BAF，
∴CB＝CA，
∵CE＝CF，
∴CB+CE＝CA+CF，
即BE＝AF，
在△ABE和△BAF中，
，
∴△ABE≌△BAF（SAS），
∴AE＝BF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【考点】全等三角形的判定
【分析】由∠1＝∠2，得到∠ABC＝∠EBD，即可证明△ABC≌△EBD（SAS）．
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EBC＝∠2+∠EBC，
∴∠ABC＝∠EBD，
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS．
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）先证明∠BAC＝∠EAD，进而可依据“SAS”判定△ABC与△AED全等； （2）根据AC＝AD得∠ACD＝∠ADC，再根据全等三角形性质得∠ACB＝∠ADE，由此即可得出结论．
（1）证明：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD﹣∠CAD＝∠EAC﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）解：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
由（1）可知：△ABC≌△AED，
∴∠ACB＝∠ADE，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD＝∠EDC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【分析】（1）由AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，得∠ACB＝∠ADF，由∠BAF＝∠EAD，推导出∠BAC＝∠FAD，而AC＝AD，即可根据“ASA”证明△ABC≌△AFD；
（2）由全等三角形的性质得AB＝AF，而BE＝FE，根据等腰三角形的“三线合一”得AC⊥BD．
证明：（1）∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，
∴∠ACB＝∠ADF，
∵∠BAF＝∠EAD，
∴∠BAF﹣∠CAF＝∠EAD﹣∠CAF，
∴∠BAC＝∠FAD，
在△ABC和△AFD中，
，
∴△ABC≌△AFD（ASA）．
（2）由（1）得△ABC≌△AFD，
∴AB＝AF，
∵BE＝FE，
∴AC⊥BF，即AC⊥BD．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出∠BAC＝∠FAD，进而证明△ABC≌△AFD是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平移的性质
【分析】（1）等边三角形的性质推出∠DCB＝30°，垂直，得到∠BCE＝90°，角的和差关系求出∠DCE的大小即可；
（2）平移得到CD∥EF，进而得到∠EAC＝∠DCA＝30°，角的和差关系推出∠EAC＝∠ECA，进而得到AE＝CE，∠AEC＝120°，根据AB＝CB，推出BE垂直平分AC，进而得到，推出∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，进而得到△CEG是等边三角形即可．
（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵D是AB的中点，
∴∠DCB＝∠DCA∠ACB60°＝30°．
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝60°．
（2）证明：由平移可知：CD∥EF，
∴∠EAC＝∠DCA＝30°，
又∵∠ECA＝∠BCE﹣∠ACB＝30°，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，∠AEC＝120°，
又∵AB＝CB，
∴BE垂直平分AC，
∴∠GEC∠AEC120°＝60°，
由（1）知，∠GCE＝60°，
∴∠EGC＝60°，
∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，
∴△CEG是等边三角形．
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义
【分析】（1）由△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，分别讨论：当BD＝AB＝2时和当BD＝AD＝1时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可；
（2）①利用OA＝OC，OB＝OD，得出四边形ABCD是平行四边形，再利用AC＝BD，即可判定四边形ABCD是矩形；②过点B作BE⊥AC于点E，利用CD2＝AD2+AC2，得出△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，证明△AOD≌△EOB，得出BE＝DA＝1，AO＝EO，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解．
解：（1）∵△ABD是等腰三角形，AB＝2，AD＝1，
∴当BD＝AB＝2时，此时满足三角形三边关系；
当BD＝AD＝1时，1+1＝2，此时不满足三角形三边关系；
综上所述，BD＝2，
故答案为：2；
（2）①四边形ABCD是矩形；理由如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
②过点B作BE⊥AC于点E，如图，
∵在△ACD中，CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴∠DAO＝∠BEO＝90°，
在△AOD和△EOB中，
，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴BE＝DA＝1，AO＝EO，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∴，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
【考点】勾股数，勾股定理，整式加减乘法混合运算，平方差公式
【分析】（1）先由表中勾股数规律，令a＝10，b，c＝26，由勾股数定义列方程求解即可得到答案；
（2）由表中数据，分别用代数式表示出a，b，c，再由整式混合运算求证即可得到答案；
（3）确定直角三角形最短边长度：已知每个三角形最短边都种21株花，因为各边上相邻两株花之间的距离均为1m，且顶点处都种一株花，所以每个直角三角形最短边长为21﹣1＝20米，找出直角三角形三边长度：查题干中的表可知，当最短边为20米时，直角三角形的三边长分别为20米，21米，29米，由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示，结合（2）中得到的规律，分析出一个直角三角形种植花数量即可得到答案．
解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26，
则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262，
∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16，
解得b＝24或b＝﹣24（舍去）；
故答案为：24；
（2）由题意，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0，m，n互质且一奇一偶）；
非本原勾股数：a＝k（m2﹣n2），b＝k（2mn），c＝k（m2+n2）（k为正整数），
证明：对于本原勾股数，计算a2+b2：
（m2﹣n2）2+（2mn）2
＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2
＝m4+2m2n2+n4
＝（m2+n2）2
＝c2，
非本原勾股数为k倍的本原勾股数，
故a2+b2＝k2[（m2﹣n2）2+（2mn）2]
＝k2（m2+n2）2
＝c2．
同理，a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）成立；
（3）查表可以知道他的最短是20 21 29这个勾股数，
一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29＝70米，
因为图案是由四个全等的直角三角形组成，
所以需要种花70×4＝280株．
【点评】本题考查勾股定理、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键．
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