第二十二章 二次函数 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册
考试时间：100分钟 满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
一、选择题(共8题；共24分)
1．抛物线与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2
A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5
C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5
3．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为7
D．当时，的值随值的增大而增大
5．将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
7．在平面直角坐标系中，二次函数 y1=﹣x2+4x 和一次函数 y2=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x 的解集是（ ）
A．x＜0 B．0＜x＜4 C．0＜x＜2 D．2＜x＜4
8．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(共6题；共24分)
9．用配方法将二次函数化为的形式为 ．
10．若点，是二次函数图象上的两点，则 （填）．
11．抛物线的部分图象如图所示，对称轴是直线，当时，的取值范围是 ．
12．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，铅球落地点在B处，已知铅球经过的路线是抛物线y＝﹣，则铅球的落地点B到运动员的水平距离为 米．
13．如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为：，则小明此次实心球训练的成绩为 米．
14．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2时，测得拱桥内水面宽为12．当水面升高1后，拱桥内水面的宽度为 ．
三、解答题(共6题；共52分)
15．已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由．
16．如图，是二次函数的图象．
（1）求二次函数解析式；
（2）根据图象直接写出关于的不等式的解集．
17．世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．销售单价为x元．
（1）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
18．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）
（1）直接写出c＝ ；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.
19．在一场篮球比赛中，队员甲在距篮下4m处跳起投篮，出手的高度为2.25m，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，已知球篮中心到地面的距离为3.05m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中.
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1.5m处跳起盖帽拦截，已知乙队员的最大摸高为3.1m，那么他能否拦截成功
20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（-1，0），B（0，-）在抛物线y=x2+bx+c上，点C为该抛物线的顶点，点P为该抛物线上一点 ，其横坐标为m.
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）连接BP，当BP⊥y轴时，顺次连接点A、B、C、P ，求四边形ABCP的面积 ；
（3）当m＞0时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分图象的最低点和最高点到x轴的距离分别为k、n， 若k-n=2， 求m的取值范围．第二十二章 二次函数 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册
考试时间：100分钟 满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
一、选择题(共8题；共24分)
1．抛物线与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴抛物线与x轴的交点个数为0个，
故答案为：A．
【分析】令y=0，得到，运用根的判别式判断方程的根的情况即可解题 ．
2．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2
A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5
C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5
【答案】B
【解析】【解答】解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x2-4x+2=0.25，x=1.5时，x2-4x+2=-1；x=3时，x2-4x+2=-1，x=3.5时，x2-4x+2=0.25，判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5，
故选B．
【分析】观察表格中的数据，确定出方程解的范围即可．
3．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故B、D选项错误；
如图所示，若，则，
故C选项正确；
故答案为：C．
【分析】根据题意分别画出，的图象，确定A，B的位置，再根据图象即可求解．
4．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为7
D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而增大，故D选项不正确，不符合题意；
当时，，
解得，，
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故答案为：C．
【分析】首先根据点A在抛物线上，可求得二次函数解析式，并进一步转化成顶点式，然后再逐项进行分析，即可得出答案。
5．将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，
将抛物线向向下平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：；
将抛物线向右平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：，即．
故答案为：D．
【分析】
本题考查抛物线平移的规律，熟知"上加下减常数项，左加右减自变量"的原则是解题关键．
根据 “上加下减常数项”，向下平移1个单位后可得解析式：，再根据 “左加右减自变量”，向右平移3个单位后可得解析式：，化简得：，由此可得出答案．
6．如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线过点，
∴，即，
∵，
∴，
A.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项A不符合题意；
B.若抛物线过点，则，与不相符，故选项B不符合题意；
C.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项C不符合题意；
D.若抛物线过点，则，得，代入，得，与相符，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】
先由抛物线上点的坐标特征将点代入解析式可得，因为，所以，则抛物线开口向下，且与y轴的交点在B点上方，故先排除B，再依次代入其它三个点的坐标分别验证即可．
7．在平面直角坐标系中，二次函数 y1=﹣x2+4x 和一次函数 y2=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x 的解集是（ ）
A．x＜0 B．0＜x＜4 C．0＜x＜2 D．2＜x＜4
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∴在自变量相同时，二次函数的图像在一次函数的图像之上，
由图像得：当时，二次函数的图像在一次函数的图像之上，∴不等式的解集为：.
故答案为：C．
【分析】把理解为，则在自变量相同时，二次函数的图像在一次函数的图像之上，直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式-x2+4x＞2x的解集．
8．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵，
∴b＝ 2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＜0，故③错误；
④当x＝ 1，b＝ 2a时，y＝a b＋c＝a （ 2a）＋c＞0，
∴3a＋c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a＋b＋c，
而当x＝m时，，
所以a＋b＋c≤，
故a＋b≤，即a＋b≤m（am＋b），故⑤正确，
⑥当x＞1时，y随x的增大而增大，故⑥正确，
综上共有4个正确；
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
二、填空题(共6题；共24分)
9．用配方法将二次函数化为的形式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】运用配方法直接化简运算即可．
10．若点，是二次函数图象上的两点，则 （填）．
【答案】＞
【解析】【解答】解：，
，对称轴为：，
∴抛物线的开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】
由解析式可得对称轴为，抛物线开口向上，因此图象上的点离对称轴越远，函数值越大．
11．抛物线的部分图象如图所示，对称轴是直线，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵对称轴是直线，抛物线与轴交于点，
∴抛物线与轴另一个交点为，
根据图象得，当时，，
故答案为：．
【分析】由图象可得该抛物线开口向下，与x轴一个交点坐标为（-1，0），称轴直线为x=1，根据抛物线的轴对称性求出抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），结合图象找出x轴上方对应图象自变量的取值范围即可得出答案.
12．如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，铅球落地点在B处，已知铅球经过的路线是抛物线y＝﹣，则铅球的落地点B到运动员的水平距离为 米．
【答案】10
【解析】【解答】当y＝0时，
得，
∴，
解得x＝10或x＝﹣2
∵B点在x轴正半轴，
∴B点坐标为（10，0），
∴OB＝10，
∴铅球的落地点离运动员水平距离有10米远，
故答案为：10．
【分析】铅球的落地点B就是抛物线与x轴的交点，所以令时，根据抛物线求出的值，再结合铅球在正半轴即可得到答案．
13．如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为：，则小明此次实心球训练的成绩为 米．
【答案】9
【解析】【解答】解：当时：，
解得：（不合题意，舍去），
∴小明此次实心球训练的成绩为米；
故答案为：．
【分析】根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入关系式即可求出答案.
14．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2时，测得拱桥内水面宽为12．当水面升高1后，拱桥内水面的宽度为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：以抛物线的最高点C为坐标原点O，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图：
设抛物线的解析式为，
∵抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，AB=12m，可得：A(-6，-2)，，，
∴36a=-2
：，
所以抛物线解析式为，
当水面升高1，令y=-1，则，
解得：，
拱桥内水面的宽度为，
故答案为：．
【分析】以 抛物线的最高点C为坐标原点O，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，根据题意得A(-6，-2)，求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
三、解答题(共6题；共52分)
15．已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）由题意，得∴解得，
∴该二次函数的解析式是
（2）解：不在，
理由如下：把代入，得
∴点不在该函数图形上
【解析】【分析】（1）将已知点的坐标和对称轴代入函数解析式，可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程求出a、b的值，可得到二次函数解析式.
（2）将x=-2代入抛物线的解析式可求出y的值，即可知道它是否在该函数的图象上．
（1）解：由题意，得
∴解得，
∴该二次函数的解析式是
（2）解：不在，理由如下：
把代入，得
∴点不在该函数图形上．
16．如图，是二次函数的图象．
（1）求二次函数解析式；
（2）根据图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：设二次函数解析式为：
由二次函数的图象可知：二次函数的图象经过，
代入二次函数解析式得：
解得，
二次函数的解析式为．
（2）
【解析】【解答】
（2）解：由图象可知图象与的交点为，
不等式的解集为．
【分析】
本题考查二次函数解析式的求法，用图象法求不等式的解集，求出二次函数的解析式是解答关键．
（1）设二次函数解析式为：，由图象可知：二次函数图象经过的点，将这三个点的坐标代入解析式得到关于abc的三元一次方程组解得abc的值即可得出答案；
（2）根据二次函数图象与轴的交点来确定出不等式的解集．
（1）解：由二次函数的图象可知，二次函数的图象经过，
代入二次函数解析式得
解得，
二次函数的解析式为．
（2）解：由图象可知图象与的交点为，
不等式的解集为．
17．世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．销售单价为x元．
（1）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：根据题意得，整理得，
解得，，
∵规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元，
∴，
∴，
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元.
（2）解：由题意得，
，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元．
【解析】【分析】（1）根据“总利润 = 每本利润×销售量”列方程，结合单价范围确定解.
（2）先根据“总利润 = 每本利润×销售量”列出利润函数，再通过二次函数性质结合单价范围求最值.
（1）解：根据题意得，
整理得，
解得，，
∵规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元，
∴，
∴，
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
（2）解：由题意得，
，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元．
18．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）
（1）直接写出c＝ ；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.
【答案】（1）5
（2）解：当时，解得：
∴，，
∴（米）．
∴ 该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是米.
（3）解：根据（2）得 该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是米，
∵ 该隧道为双向车道 ，
∴单向车道的宽度为米，
由于货车宽3米，故宽度能通过，
当时，（米）.
∵4.1>4，
∴高度能通过.
∴ 这辆卡车 能安全通过．
【解析】【解答】（1）解：∵的顶点为C（0，5） ，
解得，
∴c＝5.
故答案为：5．
【分析】
（1）将点C（0，5）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c即可求解.
（2）由图可知，A、B两点之间的距离即为该隧道截面的最大跨度，故由方程0＝﹣x2+c的解即可求得.
（3）该隧道为双向车道，故将x＝3代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c，求得y的值与4比较大小即可求解．
（1）解：∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5．
（2）解：由题意可得：0＝﹣x2+5，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故AB＝2×5＝10米．
（3）解：把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过．
19．在一场篮球比赛中，队员甲在距篮下4m处跳起投篮，出手的高度为2.25m，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，已知球篮中心到地面的距离为3.05m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中.
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1.5m处跳起盖帽拦截，已知乙队员的最大摸高为3.1m，那么他能否拦截成功
【答案】（1）解：球出手点、最高点、篮圈坐标分别为(0，2.25)，(2.5，3.5)，(4，3.05)，
设这条抛物线对应的函数解析式为y=a(x-2.5)2+3.5，
将点(0，2.25)代入，可得2.25=a(0-2.5)2+3.5，解得a=-0.2，
∴y=-0.2(x-2.5)2+3.5，
当x=4时，y=-0.2(4-2.5)2+3.5=3.05，
∴此球能准确投中
（2）解：当x=1.5时，y=-0.2(1.5-2.5)2+3.5=3.3>3.1
∴乙不能拦截成功
【解析】【分析】(1)根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；令x=4，求出y的值，与3.5m比较即可作出判断；
(2)将x=1.5代入y=-0.2(x-2.5)2+3.5得y=3.3，进而得出答案.
20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（-1，0），B（0，-）在抛物线y=x2+bx+c上，点C为该抛物线的顶点，点P为该抛物线上一点 ，其横坐标为m.
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）连接BP，当BP⊥y轴时，顺次连接点A、B、C、P ，求四边形ABCP的面积 ；
（3）当m＞0时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分图象的最低点和最高点到x轴的距离分别为k、n， 若k-n=2， 求m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为：；
（2）解：
由抛物线的表达式知，点C（2，-），
∵BP⊥y轴，
∴点B与点P关于直线x＝2对称，
∴BP＝4，
∴四边形ABCP的面积＝
∴四边形ABCP的面积为9；
（3）解： ①当0＜m＜2时，则
∵k-n＝2，
∴
解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去）；
②当2≤m≤4时，
则
∴k-n＝2，
∴m的取值范围为2≤m≤4；
③当4＜m＜5时，
则
∵k-n＝2，
∴
解得：m1＝0（舍去），m2＝4 （舍去）；
④当m≥4时，
则
∵k-n＝2，
∴
解得：（舍去）．
综上所述，m的取值范围为2≤m≤4或
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）根据配方法可得抛物线的对称轴和顶点坐标，可得出BP=4，再根据三角形的面积即可得到结论；
（3）根据图象可得当抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分图象的最低点和最高点到x轴的距离k和n，根据k-n=2建立关于m的方程，可分四种情况讨论
