第二十四章 圆 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册
考试时间：100分钟 满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
一、选择题(共8题；共24分)
1．如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
由圆周角定理得，
故答案为： B.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理解答.
2．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°.
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理可得∠BDC=∠BAC，∠ACB=90°，则∠BAC=90°-∠ABC=65°，据此解答.
3．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵正六边形，是的中点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接OC、OD、OQ、OE，由正n边形的中心角为“”可求出∠COD=∠DOE=60°，再根据等弧所对的圆心角相等得∠DOQ=30°，由角的构成得∠COQ=90°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠CPQ=∠COQ，从而即可得出答案.
4．如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度是（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，过点O作交于点C交于D，如图所示：
∵，
∴，
在中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】连接，过点O作交于点C交于D，根据垂径定理得到，进而根据勾股定理即可求出OC，从而即可得到CD.
5．如图，线段是的直径，点是上一点，设，．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：直径，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得到，即可得到，然后根据圆内接四边形的性质求出，利用等边对等角得到，即可求出，进而得到，即可得到结论解题即可．
6．如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆与、分别交于点E与点D，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在中，
∴
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图：
∴M为AE的中点，
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】在中，根据勾股定理求出AB的长度，过C作CM⊥AB，交AB于点M，则M为AE的中点，根据等面积法求出CM的长度，进而再利用勾股定理求出AM的长度，进而得到AE的长度，进而即可求解.
7．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°，
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°，
故答案为：B.
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再利用圆周角的性质可得∠DCE=∠BAC=25°，最后利用三角形外角的性质求出∠E的度数即可.
8．如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OQ，
∵PQ且圆O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∵PQ=，
∵OQ为定值1，
∴当OP最小时，PQ的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，
∵在中，，，，
∴tan60°=，
∴OB=2，
∴AB=，
∴，
∴OP=3，
∴PQ==.
故答案为：A。
【分析】连接OQ，根据切线的性质可得∠OQP=90°，从而根据勾股定理可得PQ=，根据圆的半径OQ为定值，可得出当当OP最小时，PQ的值最小，然后根据垂线段最短即可得出op的最小值，进一步求得此时PQ的长度，也就是PQ的最小值。
二、填空题(共6题；共24分)
9．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是
【答案】
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是1，
∴AC=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴在△ADC中，由勾股定理得，
，
，
∴，
故答案为：．
【分析】利用正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=90°，再利用勾股定理解题即可．
10．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用圆内接四边形的对角互补即可解题．
11．如图， 是以 为直径的半圆周的三等分点， ，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接CO、DO，
∵ 是以 为直径的半圆周的三等分点 ，∴∠COA=∠COD=∠DOB=180°÷3=60°，
而OC=OC=OD，∴△COA和△COD是等边三角形。
∴∠COA=∠OCD=60°，因此CD∥AB，∴ S△CAD=S△COD，因此阴影部分的面积=cm2
故答案为：。
【分析】本题首先对阴影部分进行割补，利用圆周三等分点、等边三角形的性质特点，证明出S△CAD=S△COD，最后求出半圆的面积即可。
12．如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点作于点，
∵等边三角形内接于，若的度数是，
∴，，
∴
又∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴中，
∴
∴
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，得出，，，即可得到，，然后利用勾股定理求出DE解题即可．
13．如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则三角形面积最大值为 ．
【答案】32
【解析】【解答】解：如图，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，
连接，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴点到距离的最大值为8，
∴面积的最大值为．
故答案为：32．
【分析】过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，根据垂径定理可得AD=4，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出OD的值，就是点到的最大距离，的面积就是的最大面积，即可求解.
14． 如图， A B 为 的直径， 且 ， 点 为 上半圆的一点， 于点 ， 的角平分线交 于点 ， 弦 ， 那么 的面积是 .
【答案】85
【解析】【解答】解：延长CE、CO交圆于点F、G，
∵CD平分∠OCE，
∴∠DCF=∠DCG
∴
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBA=90°
∴∠ACE=∠CBA
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∴OCB=ACE
∴
∴
∴∠BCD=45°
在CB延长线上取点M，使BM=AC，连接DM
∵∠CAD+∠CBD=180°，∠CBD+∠DBM=180°
∴∠CAD=∠DBM
又∵AD=BD
∴△DAC≌△DBM(SAS)
∴∠ADC=∠BDM
∵∠ADC+∠CDB=90°
∴∠CDB+∠BDM=90°，即∠CDM=90°
∴△CDM为等腰直角三角形
作DH⊥CM于点H
∴DH=CH=MH=17
∴
故△ACD的面积为85.
故答案为：85.
【分析】延长CE、CO，由角平分线得，导角知∠ACE=∠CBA得，得，得∠BCD=45°，利用邻边相等对角互补模型在CB延长线上取点M，使BM=AC，连接DM，得△CDM为等腰直角三角形，即可得△ACD的面积.
三、解答题(共6题；共52分)
15．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：，，
．
，
，
．
（2）过点作的垂线，垂足为，
，，
是等边三角形，
，．
又，
，
，
．
又，
．
【解析】【分析】（1）先求出的度数，根据等边对等角可得，然后利用外角性质解题．
（2）过点作的垂线，然后求出△ACD的面积，再根据计算即可．
（1）解：，，
．
，
，
．
（2）过点作的垂线，垂足为，
，，
是等边三角形，
，．
又，
，
，
．
又，
．
16．如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点．
（1）求证：点D为的中点．
（2）若，求的半径长度．
【答案】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点D为的中点
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为13
【解析】【分析】（1）由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得，由平行线的性质可得，然后根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”可求解；
（2）根据垂径定理得到，然后用勾股定理可得关于OA的方程，解方程即可求解.
（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点D为的中点；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为13．
17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
【答案】（1）解：作，垂足为E，
由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点，
∴，，
∴
（2）解：
连接，∵在中，，
∴．
在中，
∵，
∴．
即小圆的半径为
【解析】【分析】（1）当作之后，根据垂径定理得到，，计算即可得到的长；
（2）连接，在和中，利用勾股定理即可计算出小圆的半径.
（1）解：作，垂足为E，
由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点，
∴，，
∴；
（2）连接，
∵在中，，
∴．
在中，
∵，
∴．
即小圆的半径为．
18．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，设的面积为，的面积为，．求常数的值．
【答案】（1）证明：过点作，垂足为，如图，
以点为圆心，长为半径的与相切于点，
，
平分，，
是的半径，又，是的切线；
（2）解：由（1）知，
根据勾股定理，得，
，均为的切线，切点分别为和，
设的半径为，则，，，
在中，根据勾股定理，得，即，
解得，即．
．
【解析】【分析】（1）过点O作，根据角平分线的性质定理可得OE=OB，再根据切线的判定定理求证即可；
（2）用勾股定理求出BC的长度，设的半径为，用r的代数式表示线段OE、OC的长度，在中，用勾股定理建立方程求解即可．
19．如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F．
（1）求证：．
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）解：如下图，连接，
与相切于点E，
，
，
，
，
是的半径，，
与相切于点C，
，
在和中，，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，且，
，
解得：，
，
，
点O、点A都在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
，
，
，
线段，的长分别是1、．
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，接着证明与相切于点C，即，然后利用"HL"证明，得到，进而即可求解；
（2）利用勾股定理求出BC的长度，进而得到OA的长度，然后利用等面积法证明，进而可求出OC的长度，再证明垂直平分，则，据此即可求出CE的长度，进而即可求解.
20．如图1，是的外接圆，连接，若
（1）求证：；
（2）如图2，作交于D，的延长线交于E，若，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接并延长交于T，如图所示：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：延长并交于F，连接，如图所示：
∵交于D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中
∴
故答案为：.
【解析】【分析】（1）连接并延长交于T，先证出垂直平分，再利用垂直平分线的性质可得；
（2）延长并交于F，连接，先利用角的运算及等量代换求出，再利用等角对等边的性质可得，利用线段的和差求出OE的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可.第二十四章 圆 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册
考试时间：100分钟 满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
一、选择题(共8题；共24分)
1．如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度是（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
5．如图，线段是的直径，点是上一点，设，．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆与、分别交于点E与点D，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题(共6题；共24分)
9．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是
10．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ．
11．如图， 是以 为直径的半圆周的三等分点， ，则阴影部分的面积为 ．
12．如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为 ．
13．如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则三角形面积最大值为 ．
14． 如图， A B 为 的直径， 且 ， 点 为 上半圆的一点， 于点 ， 的角平分线交 于点 ， 弦 ， 那么 的面积是 .
三、解答题(共6题；共52分)
15．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接．
（1）求的度数．
（2）若，求图中阴影部分的面积．
16．如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点．
（1）求证：点D为的中点．
（2）若，求的半径长度．
17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
18．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，设的面积为，的面积为，．求常数的值．
19．如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F．
（1）求证：．
（2）若，求线段的长．
20．如图1，是的外接圆，连接，若
（1）求证：；
（2）如图2，作交于D，的延长线交于E，若，求线段的长．
