第二十一章 一元二次方程 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册
考试时间：100分钟 满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
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一、选择题(共8题；共24分)
1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵，则方程没有实数根，∴A符合题意；
B、∵方程整理得，，则方程有两个相等的实数根，∴B不符合题意；
C、∵，则方程有两个相等的实数根，∴C不符合题意；
D、∵方程整理为，，则方程有两个不相等的实数根，∴D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）逐项分析判断即可.
2．将进行配方变形，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由方程，移项得，
配方得，即.
故答案为：A．
【分析】 配方法的一般步骤：把常数项移动到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解答中结合配方法的步骤，即可求解.
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：把方程化为一般式得，
∴，
∴原方程没有实数根，
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的判断别式可得：对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根。先进行移项先把原方程化为一般式可得：，再求出判别式可得：，根据一元二次方程判别式可选出选项．
4．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．2， B．2，0 C．2，3 D．2，
【答案】D
【解析】【解答】解：将一元二次方程化成一般形式是，
∴二次项的系数和一次项系数分别是2和，
故答案为：D．
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式.根据形如叫一元二次方程的一般式，其中叫二次项系数，叫一次项系数，c是常数项．先进行移项将方程化成一般形式可得：，据此可找出二次项系数和一次项系数.
5．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
当时，由菱形的对角线的一条对角线长为6和菱形的两边3，3不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；当时，由菱形的对角线的一条对角线长为6和菱形的两边4，4能组成三角形，即存在菱形，菱形的周长为.
故答案为： A .
【分析】先求出方程的两个根，再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边AB ，即可求出菱形的周长。
6．在某次同学聚会上，每两人都互赠了一件礼物，所有人共送了120份礼物，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 设有x人参加这次聚会，则每人有（x-1）件礼物，
∵每两人都互赠了一件礼物，所有人共送了120份礼物，
∴可列方程：，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出每人有（x-1）件礼物，再找出等量关系列方程求解即可。
7．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：设 邀请的参赛队数是 x组
∴，解得x1=7，x2=-6(舍去)
∴邀请的参赛队数是7组.
故答案为：B.
【分析】根据题意，设邀请的参赛队数是 x组，每个可以参赛（x-1）次，x个球队可以参赛，可列方程为：，解出x即可.
8．年月日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制每两支球队之间都进行一场比赛，如果比赛共进行了场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设一共有x支球队参加比赛，由题意，得：；
故答案为：D.
【分析】根据比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），比赛共进行了78场，列出一元二次方程即可解答．
二、填空题(共6题；共24分)
9．一元二次方程，配方后为，则 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：
∴
∴-a+9=1，解得：a=8
故答案为：8
【分析】根据配方法进行化简，再根据对应系数相等建立方程，解方程即可求出答案.
10．已知关于x的方程的一个根为，则方程的另一根是 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：将代入，
则，
解得，
方程为：，
设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系可得：3x1=3，
∴x1=1
故答案为：1．
【分析】根据方程的根的意义将代入方程解得k的值，然后设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系可得答案。
11．如果关于 的方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是 ．
【答案】k＜1
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（-2）2-4×1×k＞0，
解得k＜1，
∴k的取值范围为k＜1．
故答案为：k＜1．
【分析】利用题意根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
12．某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，
最底层开了80盏灯，记作第一层为80盏．那么第二层开灯的数量就是第一层的盏．第三层开灯的数量盏．
三层停车库共开了380盏灯，
解得∶，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【分析】根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
13．学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：
【答案】
【解析】【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛 ，根据题意，得：，
故答案为：.
【分析】x个球队参加比赛 ，所以每个球队需要赛（x-1）场，所以总场数为，即可得出方程。
14．如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m.
【答案】2
【解析】【解答】解：设小路宽为x，则花坛长为16-2x，宽为12-2x
由题意可得：
解得：x=2
故答案为：2
【分析】设小路宽为x，则花坛长为16-2x，宽为12-2x，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
三、解答题(共6题；共52分)
15．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
∴
∴
∴
解得：
（2）解：
∴
∴
∴或
解得：，
【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：
∴
∴
∴
解得：
（2）解：
∴
∴
∴或
解得：，
16．已知：关于x的方程，
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的一个根是5，求m的值及另一个根．
【答案】（1）解：∵方程有实数根，
∴，解得：.
∴ 方程有实数根，求实数m的取值范围.
（2）解：∵方程的一个根是5，
∴，解得：，
∴原方程为，
解得：，
∴ m的值，另一个根为．
【解析】【分析】（1）根据方程有实数根得：，解出即可.
（2）把代入方程，即可求出m的值，进而得出原方程为，即可求出另一个根．
（1）解：∵方程有实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程的一个根是5，
∴，
解得：，
∴原方程为，
解得：，
∴，另一个根为．
17．已知关于的一元二次方程：．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
【答案】（1）证明：
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：，
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为．
【解析】【分析】（1）先计算△，化简得到，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论当、为腰和当、为腰时列式计算，依据三角形三边关系进行取舍，最后计算周长.
18．某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元．
（1）求二月份的销售额；
（2）求三、四月份销售额的平均增长率．
【答案】（1）解：（万元）．
答：二月份的销售额为100万元．
（2）解：设三、四月份销售额的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：三、四月份销售额的平均增长率为．
【解析】【分析】（1）根据二月份的销售额在一月份的基础上下降了20%，即可列式，再进行计算即可；
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为，根据增长率计算公式a（1+x）n=m，即可得出方程，解方程并取正值即可。
（1）解：（万元）．
答：二月份的销售额为100万元．
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：三、四月份销售额的平均增长率为．
19．“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2021年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2023年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩．
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率：
（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？
【答案】（1）解：设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为．
（2）解：设售价应降低y元，则每天可售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
∵尽快减少库存，
∴，
答：售价应降价3元．
【解析】【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据“到2023年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩”列出方程，再求解即可；
（2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，根据“使销售“早黑宝”每天可获利1750元”列出方程，再求解即可.
（1）解：设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
∵尽快减少库存，
∴，
答：售价应降价3元．
20．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______．
②已知实数a，b满足：，则______．
（2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足，且，求的值．
【答案】（1）①，；②
（2）解：∵实数m、n、t满足：，
∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，
∴，即，
，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
且，
∴。
（3）解：∵实数a，b分别满足，且，
∴，
∴方程可变形为，
∴a，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴．
【解析】【解答】（1）解：①∵一元二次方程的两根分别为，
∴根据韦达定理，可得
，．
故答案为：，
②∵，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴．
故答案为：
【分析】（1）①根据韦达定理：，，代入数据，即可求解
②根据材料2，可知a，b是一元二次方程两个不相等的实数根，根据韦达定理可求出a+b和ab的值，然后再对进行通分，最后再将a+b和ab的值代入即可求解。
（2）由材料2可得m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，根据判别式的定义，可得，然后再根据韦达定理，求出m+n和mn的值，然后再结合，可求出t的取值范围，最后再将展开后将m+n和mn整体代入即可求解；
（3）将方程进行变形：，可知a，是方程的两个不相等的实数根，根据韦达定理，求出和的值，再将对进行变形：，最后再将和的值代入即可求解。
（1）解：①∵一元二次方程的两根分别为，
∴根据韦达定理，可得
，．
故答案为：，
②∵，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴．
故答案为：
（2）解：∵实数m、n、t满足：，
∴m，n是关于x的一元二次方程，即的两个不相等的实数根，
∴，即，
，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
且，
∴；
（3）解：∵实数a，b分别满足，且，
∴，
∴方程可变形为，
∴a，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴．第二十一章 一元二次方程 精选易错题 2025-2026学年人教版数学九年级上册
考试时间：100分钟 满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
一、选择题(共8题；共24分)
1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．将进行配方变形，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
4．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．2， B．2，0 C．2，3 D．2，
5．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
6．在某次同学聚会上，每两人都互赠了一件礼物，所有人共送了120份礼物，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．年月日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制每两支球队之间都进行一场比赛，如果比赛共进行了场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共6题；共24分)
9．一元二次方程，配方后为，则 ．
10．已知关于x的方程的一个根为，则方程的另一根是 ．
11．如果关于 的方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是 ．
12．某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为 ．
13．学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：
14．如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m.
三、解答题(共6题；共52分)
15．解下列方程：
（1）；
（2）．
16．已知：关于x的方程，
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程的一个根是5，求m的值及另一个根．
17．已知关于的一元二次方程：．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
18．某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元．
（1）求二月份的销售额；
（2）求三、四月份销售额的平均增长率．
19．“早黑宝”葡萄品种是山西省农科院研制的优质新品种，在山西省被广泛种植．某市某葡萄种植基地到2021年年底已经种植“早黑宝”100亩，到2023年年底“早黑宝”的种植面积达到196亩．
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的年平均增长率：
（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“早黑宝”的平均成本为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？
20．材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程的两根分别为，则______，______．
②已知实数a，b满足：，则______．
（2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足，且，求的值．
