1.2.2数轴 导学案（含答案） 人教版数学七年级上册

第一章有理数 1.2.2 数轴导学案
一、学习目标
理解数轴的概念，掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能正确画出数轴。
学会将有理数在数轴上表示出来，理解数轴上的点与有理数之间的对应关系，能利用数轴比较有理数的大小。
体会数形结合思想，提升抽象思维和数学应用能力，为后续学习实数与数轴的关系奠定基础。
二、学习重难点
重点：数轴的概念和三要素；有理数在数轴上的表示；利用数轴比较有理数的大小。
难点：理解数轴上的点与有理数的对应关系（特别是分数、小数在数轴上的表示）；利用数轴解决实际问题；对数形结合思想的运用 。
三、知识点自主预习填空
数轴的定义：规定了________、________和________的直线叫做数轴。
数轴的三要素是________、________和________ 。其中，________是数轴的基准点；一般规定向________为正方向；________是根据实际需要选取，用于度量数轴上点与点之间的距离。
任何一个________都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点并不都表示________ （填 “有理数” 或 “无理数”） 。
在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数________ 。正数都________0，负数都________0，正数________负数。
与原点的距离是 3 个单位长度的点表示的数是________和________ 。
四、知识点详细讲解与要点讲解
知识点 1：数轴的概念及三要素
详细内容：
数轴的定义：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。它是一种将数与直线上的点建立对应关系的工具，通过数轴可以更直观地理解数的大小和相对位置 。
三要素：
原点：数轴上的基准点，通常用点O表示，它确定了数轴的位置，原点的位置可根据实际情况灵活选取，但在同一数轴中位置固定 。
正方向：一般规定向右为正方向，用箭头表示。正方向决定了数的递增方向，与正方向相反的方向为负方向 。
单位长度：根据实际需要选取合适的长度作为单位长度，在数轴上从原点向右、向左每隔一个单位长度取一个点，依次表示。同一数轴上的单位长度必须统一 。
常考易错点：画数轴时遗漏三要素中的某一个；单位长度不统一；正方向标注错误；对原点的作用理解不清晰，随意改变原点位置导致错误 。
变式题 1：小明画了一条数轴，他的画法如下，其中错误的是（ ）
A. 先画一条水平的直线
B. 确定原点，用实心点表示
C. 规定向右为正方向，用箭头表示
D. 单位长度不统一，从原点向右每隔一段不同长度取点表示1，2
答案：D
解析：画数轴时单位长度必须统一，D 选项中单位长度不统一，所以错误，A、B、C 选项的画法均正确。
知识点 2：有理数在数轴上的表示
详细内容：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。具体方法是：
表示正数时，根据正数的数值大小，在原点右边距离原点相应单位长度的位置找到对应点 。例如，表示2，就在原点右边2个单位长度处标记点 。
表示负数时，在原点左边距离原点相应单位长度的位置找到对应点 。比如，表示-3，就在原点左边3个单位长度处标记点 。
表示0时，对应原点的位置 。对于分数和小数，同样可以根据其与整数的关系在数轴上找到对应位置，0和1的正中间，1.5在1和2的正中间 。
常考易错点：在数轴上表示分数或小数时，位置不准确；混淆正数和负数在数轴上的位置，把正数标在原点左边，负数标在原点右边；对距离和方向的理解错误，导致表示的数与实际数值不符 。
变式题 2：在数轴上点A表示的数是3，那么与点A相距2个单位长度的点表示的数是（ ）
A. 1
B. 5
C. 1或5
D. 以上都不对
答案：C
解析：与点A相距2个单位长度的点，可能在点A的左边，也可能在点A的右边。在左边时，该数为3 - 2 = 1；在右边时，该数为3 + 2 = 5，所以选 C。
知识点 3：利用数轴比较有理数的大小
详细内容：在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。由此可得：
正数都大于0，例如2 > 0，3.5 > 0等 。
负数都小于0，如-1 < 0，-2.5 < 0等 。
正数大于负数，比如3 > -2，1.5 > -0.5等 。通过数轴，我们可以直观地比较任意两个有理数的大小关系 。
常考易错点：不理解 “数轴上右边的数大于左边的数” 这一规则，导致比较大小时出错；在比较多个数大小时，遗漏部分数或比较顺序混乱；对0在大小比较中的位置判断错误 。
经典例题 3：用 “<” 号把-3，0，2，-1.5连接起来。
答案：-3 < -1.5 < 0 < 2
解析：在数轴上分别表示出-3，0，2，-1.5，根据数轴上右边的数大于左边的数，可得-3 < -1.5 < 0 < 2 。
变式题 3：，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：，所以选 A。
五、效果检测（判断题）
规定了原点和正方向的直线叫做数轴。（ ）
数轴上的点都表示有理数。（ ）
在数轴上，离原点越远的点所表示的数越大。（ ）
所有的有理数都可以在数轴上找到对应的点。（ ）
数轴上右边的点表示正数，左边的点表示负数。（ ）
单位长度在不同的数轴上可以不同。（ ）
若a在数轴上的位置比b更靠右，则a > b。（ ）
表示-2的点在原点右边2个单位长度处。（ ）
数轴上0和1之间没有其他数。（ ）
利用数轴可以比较任意两个有理数的大小。（ ）
课后作业
一、单选题
1．下列各图中，数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个数轴的画法中，规范的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列所画数轴完全正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
5．如图所示，在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A． B．0 C． D．2.5
6．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（ ）所对应的点重合．
A． B． C． D．
7．四位同学画数轴如下图所示，你认为正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ．
10．若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”）
11．已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ．
12．在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ．
13．如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个．
三、解答题
14．画出数轴并标出表示下列各数的点．
15．在直线上表示下列各数：，2，，2.5，．
七、答案与解析
（一）知识点自主预习填空答案
原点；正方向；单位长度
原点；正方向；单位长度；原点；右；单位长度
有理数；有理数
大；大于；小于；大于
3；-3
（二）效果检测答案与解析
答案：×
解析：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，缺少单位长度不能构成数轴，所以该说法错误。
答案：×
解析：数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，所以该说法错误。
答案：×
解析：在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大，离原点远的点如果在原点左边，表示的是负数，离原点越远数值越小，所以该说法错误。
答案：√
解析：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，所以所有的有理数都可以在数轴上找到对应的点，该说法正确。
答案：×
解析：数轴上原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数，原点表示0，所以该说法错误。
答案：√
解析：单位长度可以根据实际需要选取，不同的数轴上单位长度可以不同，该说法正确。
答案：√
解析：在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大，若a在数轴上的位置比b更靠右，则a > b，该说法正确。
答案：×
解析：表示-2的点在原点左边2个单位长度处，所以该说法错误。
答案：×
解析：数轴上0和1之间有无数个分数和小数，所以该说法错误。
答案：√
解析：根据数轴上右边的数大于左边的数的规则，可以比较任意两个有理数的大小，该说法正确。
课后作业答案与解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C A A A C D
1．D
【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素：原点，单位长度，正方向，即可得到答案．
【详解】解：A、缺少正方形，数轴表示不正确，不符合题意；
B、缺少原点，数轴表示不正确，不符合题意；
C、单位长度不统一，数轴表示不正确，不符合题意；
D、是数轴，符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提．根据数轴的三要素判断即可．
【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，
选项A的数轴单位长度不一致，因此选项A不正确，不符合题意；
选项B的数轴无原点，无正方向，因此选项B不正确，不符合题意；
选项C符合数轴的意义，正确，符合题意；
选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确，不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了数轴，分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目．
【详解】解：A．没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意；
B．没有原点，故此选项错误，不符合题意；
C．规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意；
D．各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了数轴，根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案．掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．
【详解】解：根据数轴得：，
∵，
∴a可以是．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了数轴，墨渍遮挡住的点在0的左边且距离0一个单位，即可得出结论．
【详解】解：在数轴上，墨渍遮挡住的点表示的数为负数，可能是．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了数轴上的规律探索；
根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解；
【详解】解：圆的周长为4个单位长度，
个数字为一个循环，
∵点与数字0对应，，
对应的字母是．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了数轴的三要素及其画法，熟练掌握数轴的三要素及其画法是解题的关键：1、数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线；2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；3、数轴的画法：①都是正数时，原点适当靠左；都是负数时，原点适当靠右；②既有正数又有负数时，如果所表示的正数离原点较远，则原点适当靠左；如果所表示的负数离原点较远，则原点适当靠右；4、注意事项：画数轴时，原点、正方向和单位长度缺一不可，且左边的数要比右边的小；单位长度的大小可以根据不同的需要选择．
根据数轴的三要素及其画法逐项分析判断即可．
【详解】
解：A. ，没有原点，故错误，选项不符合题意；
B. ，数字大小写错了（应在左边），故错误，选项不符合题意；
C. ，具备数轴的三要素，故正确，选项符合题意；
D. ，没有正方向，故错误，选项不符合题意；
故选：．
8．D
【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度逐一判断即可，正确理解数轴的“三要素”是解题的关键．
【详解】解：、正方向反了，不符合题意；
、单位长度不统一，不符合题意；
、没有正方向，不符合题意；
、满足数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度，符合题意；
故选：．
9．
【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可．
【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，，
∴点B表示的数是，
故答案为：
10．
【分析】本题考查了数轴的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据数轴上各数的位置得出，容易得出结论；
【详解】解：根据题意由数轴得：，
∴，
故答案为：；
11．或或或
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答．
【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4，
对应的数为或，
数轴上对应的数为，点B,D的距离为1，
对应的数为或，
的距离为或或或，
故答案为：或或或．
12．
【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可．
【详解】解：∵，，
∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是，
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键．
根据数轴的特点，数形结合分析即可求解．
【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个，
故答案为：2 ．
14．见解析
【分析】本题考查在数轴上表示有理数、化简多重符号、绝对值的性质，熟练掌握用在数轴上表示有理数的方法是解题的关键．先根据化简多重符号的方法和绝对值的性质进行化简，进而在数轴上表示即可．
【详解】解：，
如图，在数轴上表示各数如下：
15．见解析
【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可．熟练掌握用数轴表示有理数的方法是解题关键．
【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示：