3.1.1函数的概念
题型1 函数的概念问题 5
题型2 判断两个函数是否为同一个函数 8
题型3 函数的定义域问题 10
考点1 已知函数解析式求函数定义域 10
考点2 已知的定义域，求定义域 12
考点3 已知定义域，求的定义域 14
题型4 求函数的值 15
考点1 已知函数解析式求函数值 15
考点2 赋值法求抽象函数的函数值 18
题型5 求函数的值域 19
题型6 函数的逆向问题 24
考点1 已知函数的定义域，求参数的值或取值范围 24
考点2 已知函数的值域，求参数的值或取值范围 26
知识点一 函数的概念
1.函数的定义
一般地，设，是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中叫自变量，的取值集合叫函数的定义域；
与的值相对应的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域.
注:(1)值域包含于集合.例如，，，对应关系，建立了从到的一个函数，显然，值域.
(2)符号具有整体性.是一个整体符号，不能把此符号拆成一个算式，应理解为：自变量在对应关系下的对应量为.正如某原材料经某种机器加工后得到某产品一样，这种机器就是对应关系.符号的简洁性在于它包含着函数的三要素：①定义域中的自变量；②对应关系；③值域中的函数值.
2.函数的四个特性
(1)非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.如不是函数.
(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.如，，则集合中的数在集合中没有数与它对应.
(3)单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.图1是多对一，集合B中的数2可以没有原象，它是一个函数；图2是一对多，集合A中数1对应两个数1，2，它不是函数.
(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
3.函数的三要素
(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
(2)对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
(3)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
4.同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。
知识点二 区间的概念及表示
设，，且。区间是实数集的又一种表示形式。
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
无穷区间
无穷区间
无穷区间
无穷区间
拓展一 函数定义域的求法
1.求给出解析式的函数的定义域的基本方法函数以解析式的形式给出时，函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来说，常有以下几种情况：
(1)当为整式型函数时，定义域为；
(2)当为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；
(3)当为二次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合；
(4)函数中的底数不为；
(5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。
2.求抽象函数和复合函数的定义域
(1)复合函数的定义
设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，如果∩≠，那么对于内的任意一个，经过后有唯一确定的值与之对应，则变量与之间通过变量形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为:，其中为自变量，为中间变量，为因变量(即函数).其中称为内函数，称为外函数.
注：不是任意两个函数都可以构成一个复合函数，只有当时，二者才可以构成一个复合函数.
(2)复合函数的定义域的求法
若函数的定义域是，的定义域是，则复合函数的定义域是，综合考虑各部分的的取值范围，取它们的交集.
拓展二 值域的求法
(1)观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.如求函数的值域，定义域为，故所以函数的值域为.
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数的值域.如求函数的值域，因为所以其值域为.
(3)逆求法(反求法)：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围.如求函数的值域，解出因为则解得1或0，故所求值域为.
(4)换元法：以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域.如型函数可用换元法求值域，令转化为求二次函数的值域.
(5)分离常数法：就是把分子中的“未知量”“化掉(消去)”，转化为利用反比例函数求值域.如型函数可用分离变量法求值域，其值域为.
(6)判别式法：若函数可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，则可用判别式法求值域.如型函数可用判别式法求值域.
(7)最值法：对于闭区间上的连续函数，可求出在区间上的极值，并与边界值，作比较，求出函数的最值，即可得到函数的值域.
题型1 函数的概念问题
1．下列的对应关系f是从集合A到集合B的函数的是 （填序号）
①，，，；
②，；
③，；
④，，n为奇数时，，n为偶数时，.
2．（多选）（24-25高一上·山东德州·开学考试）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（ ）
A．，，f：；
B．，，f：；
C．，，f：
D．A与B的对应关系如图所示：
3．（多选）（24-25高一上·河南郑州·期中）下列的说法正确的是（ ）
A．函数就是两个集合之间的对应关系
B．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素
C．若，则一定成立
D．若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同
4．（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A． B． C． D．5．（多选）（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型2 判断两个函数是否为同一个函数
6．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．（24-25高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
8．（24-25高二下·吉林·期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型3 函数的定义域问题
考点1 已知函数解析式求函数定义域
9．（2024高一·全国·专题练习）求下列函数的定义域：
(1)； (2)； (3)； (4)．
10．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ．
11．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ．
考点2 已知的定义域，求定义域
12．（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
13．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
14．（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
15．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
考点3 已知定义域，求的定义域
16．（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
17．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
18．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ．
题型4 求函数的值
考点1 已知函数解析式求函数值
20．已知．
（1）求和；
（2）求，求；
（3）若，求x．
21．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数.
(1)求的值；
(2)探索；
(3)利用（2）中结论，求的值.
22．（24-25高一上·内蒙古·阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A． B．1 C．4 D．7
23．（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）已知，，则等于（ ）
A．1 B．3 C．15 D．17
考点2 赋值法求抽象函数的函数值
24．已知函数对任意正实数，，都有．
(1)求的值；
(2)若，（，为常数），求的值．
25．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数对任意x，都满足，且，则（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．14
26．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
27．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，若，则（ ）
A．－2024 B．－2023 C．4049 D．4050
题型5 求函数的值域
28．求下列函数的值域：
(1)，； (2)，； (3)；
(4)； (5)； (6)；
(7)．
29．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题：
(1)函数在上的最大值；
(2)的值域；
(3)的最小值；
(4)的值域．
30．（多选）（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列函数值域是的为（ ）
A． B．
C． D．，
31．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 .
题型6 函数的逆向问题
考点1 已知函数的定义域，求参数的值或取值范围
32．函数的定义域为，若，则的取值范围是 ．
33．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 ．
34．若函数定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点2 已知函数的值域，求参数的值或取值范围
35．若函数的值域为，则函数的值域为 ．
36．若函数的定义域和值域均为，则的值为 .
37．已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ．
38．（多选）若函数的值域是，则实数的可能取值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
一、单选题
1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2025高一上·全国·专题练习）下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知，则（ ）
A．31 B．17 C．15 D．7
7．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一下·贵州黔南·期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高一上·广东江门·期中）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数的定义域是
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
10．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．（2025高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ；
（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
13．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ．
14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数满足，则 ， ．
四、解答题
15．（25-26高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
16．（24-25高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
(3)．
17．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)已知函数的定义域为，则函数的定义域.
18．（24-25高一上·宁夏中卫·期中）已知函数．
(1)求与，与；
(2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现；
(3)求的值．
19．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得恒成立，则称是上的受限函数，为的限定值.
(1)若函数在上是限定值为8的受限函数，求的最大值.
(2)若函数，判断是否是受限函数.若是，求出的限定值的最小值；若不是，请说明理由.
(3)若函数在上是限定值为11的受限函数，求的取值范围.3.1.1函数的概念
题型1 函数的概念问题 5
题型2 判断两个函数是否为同一个函数 8
题型3 函数的定义域问题 10
考点1 已知函数解析式求函数定义域 10
考点2 已知的定义域，求定义域 12
考点3 已知定义域，求的定义域 14
题型4 求函数的值 15
考点1 已知函数解析式求函数值 15
考点2 赋值法求抽象函数的函数值 18
题型5 求函数的值域 19
题型6 函数的逆向问题 24
考点1 已知函数的定义域，求参数的值或取值范围 24
考点2 已知函数的值域，求参数的值或取值范围 26
知识点一 函数的概念
1.函数的定义
一般地，设，是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作，.
其中叫自变量，的取值集合叫函数的定义域；
与的值相对应的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域.
注:(1)值域包含于集合.例如，，，对应关系，建立了从到的一个函数，显然，值域.
(2)符号具有整体性.是一个整体符号，不能把此符号拆成一个算式，应理解为：自变量在对应关系下的对应量为.正如某原材料经某种机器加工后得到某产品一样，这种机器就是对应关系.符号的简洁性在于它包含着函数的三要素：①定义域中的自变量；②对应关系；③值域中的函数值.
2.函数的四个特性
(1)非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.如不是函数.
(2)任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.如，，则集合中的数在集合中没有数与它对应.
(3)单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.图1是多对一，集合B中的数2可以没有原象，它是一个函数；图2是一对多，集合A中数1对应两个数1，2，它不是函数.
(4)方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
3.函数的三要素
(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
(2)对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
(3)值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
4.同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。
知识点二 区间的概念及表示
设，，且。区间是实数集的又一种表示形式。
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
无穷区间
无穷区间
无穷区间
无穷区间
拓展一 函数定义域的求法
1.求给出解析式的函数的定义域的基本方法函数以解析式的形式给出时，函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来说，常有以下几种情况：
(1)当为整式型函数时，定义域为；
(2)当为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；
(3)当为二次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合；
(4)函数中的底数不为；
(5)如果函数是由一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。
2.求抽象函数和复合函数的定义域
(1)复合函数的定义
设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，如果∩≠，那么对于内的任意一个，经过后有唯一确定的值与之对应，则变量与之间通过变量形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为:，其中为自变量，为中间变量，为因变量(即函数).其中称为内函数，称为外函数.
注：不是任意两个函数都可以构成一个复合函数，只有当时，二者才可以构成一个复合函数.
(2)复合函数的定义域的求法
若函数的定义域是，的定义域是，则复合函数的定义域是，综合考虑各部分的的取值范围，取它们的交集.
拓展二 值域的求法
(1)观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.如求函数的值域，定义域为，故所以函数的值域为.
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数的值域.如求函数的值域，因为所以其值域为.
(3)逆求法(反求法)：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围.如求函数的值域，解出因为则解得1或0，故所求值域为.
(4)换元法：以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域.如型函数可用换元法求值域，令转化为求二次函数的值域.
(5)分离常数法：就是把分子中的“未知量”“化掉(消去)”，转化为利用反比例函数求值域.如型函数可用分离变量法求值域，其值域为.
(6)判别式法：若函数可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，则可用判别式法求值域.如型函数可用判别式法求值域.
(7)最值法：对于闭区间上的连续函数，可求出在区间上的极值，并与边界值，作比较，求出函数的最值，即可得到函数的值域.
题型1 函数的概念问题
1．下列的对应关系f是从集合A到集合B的函数的是 （填序号）
①，，，；
②，；
③，；
④，，n为奇数时，，n为偶数时，.
【答案】①③④
【知识点】函数关系的判断
【分析】根据函数概念依次判断每个选项是否满足得到答案.
【详解】根据函数的概念，对于非空数集A与B，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.
①满足集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，故正确.
②集合A中元素3在集合B中没有元素与之对应，故不正确.
③满足集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，故正确.
④满足集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，故正确.
故答案为①③④
【点睛】本题考查了函数的定义，意在考查学生对于基础概念的理解.
2．（多选）（24-25高一上·山东德州·开学考试）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（ ）
A．，，f：；
B．，，f：；
C．，，f：
D．A与B的对应关系如图所示：
【答案】AD
【知识点】函数关系的判断
【分析】根据函数的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确；
对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误；
对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误；
对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确.
故选：AD.
3．（多选）（24-25高一上·河南郑州·期中）下列的说法正确的是（ ）
A．函数就是两个集合之间的对应关系
B．若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素
C．若，则一定成立
D．若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同
【答案】CD
【知识点】函数关系的判断、求函数值
【分析】根据函数的定义、定义域和值域的性质，结合相等函数的定义逐一判断即可.
【详解】A：由函数的定义可知，必须是两个非空数集，所以本选项说法不正确；
B：设函数，显然值域为，所以本选项说法不正确；
C：因为，所以，因此本选项说法正确；
D：由相等函数的定义可知本选项正确，
故选：CD
4．（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数关系的判断
【分析】根据函数的定义判断.
【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确.
故选：B.
5．（多选）（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【知识点】函数关系的判断
【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可.
【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误；
图B中函数是集合且到且的函数，故B错误；
图C中函数是集合且到且的函数，故C正确；
图D中函数是集合且到且的函数，故D正确；
故选：CD．
解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误；
图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求，
故选：CD．
题型2 判断两个函数是否为同一个函数
6．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【知识点】判断两个函数是否相等
【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解.
【详解】对于A，与的定义域分别为，故A错误；
对于B，与的定义域分别为，故B错误；
对于C，与的定义域都是，且，故C正确；
对于D，与的定义域分别为，故D错误.
故选：C.
7．（24-25高一上·全国·单元测试）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【知识点】判断两个函数是否相等
【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解.
【详解】对于A，由函数可得，解得，
则其定义域为；
由函数可得，解得，则其定义域为．
两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误．
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误．
对于C，函数的定义域为，
函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误．
对于D，函数的定义域为，
函数的定义域为，
定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确．
故选：D.
8．（24-25高二下·吉林·期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】判断两个函数是否相等
【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是同一个函数；
对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是同一个函数；
对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同，
故C选项中的两个函数是同一函数；
对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是同一函数.
故选：C.
题型3 函数的定义域问题
考点1 已知函数解析式求函数定义域
9．（2024高一·全国·专题练习）求下列函数的定义域：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】具体函数的定义域
【分析】以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，从而求得函数的定义域.
【详解】（1）要使函数有意义，必须，解得．
所以函数的定义域为．
（2）要使函数有意义，必须，解得或．
所以函数的定义域为．
（3）要使函数有意义，必须，解得或．
所以函数的定义域为．
（4）要使函数有意义，必须，解得．
所以函数的定义域为．
10．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域.
【详解】由，解得，且．
所以的定义域为．
故答案为：
11．（2025高一·全国·专题练习）函数的定义域为 ．
【答案】或．
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解.
【详解】 由题知，，即，
解得，
故函数的定义域为或．
故答案为：或．
考点2 已知的定义域，求定义域
12．（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】复合函数的定义域
【分析】根据负荷函数定义域的求法求函数定义域.
【详解】因为函数的定义域为，
由.
所以函数的定义域为：.
故答案为：
13．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，由，解得，
故函数的定义域为.
故选：B
14．（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域
【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解.
【详解】由函数的定义域为，
有意义，则得，解得，
有意义，需满足且，即且，
所以函数的定义域为.
故选：B.
15．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域、复合函数的定义域
【分析】结合复合函数的定义域，建立使各个式子有意义的不等式求解可得.
【详解】由有意义，可得，解得.
要使函数有意义，
则，解得.
对函数，定义域为自变量的取值范围，
其中集合为非空数集，
所以函数的定义域为.
故A错误，D正确.
故选：D.
考点3 已知定义域，求的定义域
16．（24-25高一上·江西赣州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域
【分析】由函数的定义域为，可得，即的定义域为.
【详解】函数的定义域为，
，则，
，
函数的定义域为.
故答案为：.
17．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、复合函数的定义域
【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得.
【详解】由函数的定义域为，得，则，
即的定义域为，在函数中，由，解得，
所以所求函数的定义域为.
故选：A
18．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求．
【详解】在中，，∴，
∴的定义域是，
故在中，解得，
∴的定义域是.
故选：A.
19．（24-25高二下·天津河东·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ．
【答案】
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】根据抽象函数的定义域求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，所以，
对于函数，有，
即函数的定义域为.
故答案为：
题型4 求函数的值
考点1 已知函数解析式求函数值
20．已知．
（1）求和；
（2）求，求；
（3）若，求x．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】求函数值、已知函数值求自变量或参数、已知f（g（x））求解析式
【解析】（1）将代入解析式求值即可；
（2）由（1）可得,将代入即可；将代入即可求得的解析式；
（3）由（2）,可得,进而求解即可
【详解】解：（1）；
（2）由（1）,则,
；
（3）由（2）得,即,解得
【点睛】本题考查求函数值,考查代入法求解析式,考查已知函数值求自变量
21．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知函数.
(1)求的值；
(2)探索；
(3)利用（2）中结论，求的值.
【答案】(1)1;1
(2)1;
(3).
【知识点】求函数值
【分析】（1）已知函数，根据解析式即可求解；
（2）计算可得出定值1；
（3）根据（2）的结论，运用到式子中化简即可求值.
【详解】（1）因为函数，
所以，
所以.
（2）由函数，可得，
所以.
（3）由函数可得.
根据（2）的结论，
所以
.
22．（24-25高一上·内蒙古·阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【答案】C
【知识点】求函数值
【分析】根据给定条件，令，即取代入计算即得.
【详解】函数满足，当，即时，.
故选：C
23．（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）已知，，则等于（ ）
A．1 B．3 C．15 D．17
【答案】D
【知识点】求函数值
【分析】令，解得，代入运算即可.
【详解】令，解得，
所以.
故选：D.
考点2 赋值法求抽象函数的函数值
24．已知函数对任意正实数，，都有．
(1)求的值；
(2)若，（，为常数），求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求函数值
【分析】（1）令,代入求解即可；
（2）因为,则,
再次利用求解即可.
【详解】（1）令，，得，解得．
（2）因为，所以
．
25．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数对任意x，都满足，且，则（ ）．
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【知识点】求函数值
【分析】令可求出，令、可求出.
【详解】令，则，
令，，则．
故选：C
26．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求函数值
【分析】由取，，解方程可求.
【详解】因为，
令，则；
令，则，
联立两式可得，
故选：A.
27．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，若，则（ ）
A．－2024 B．－2023 C．4049 D．4050
【答案】B
【知识点】求函数值
【分析】令可得，利用即可求解.
【详解】令，可得，即，
所以
．
故选：B．
题型5 求函数的值域
28．求下列函数的值域：
(1)，； (2)，； (3)；
(4)； (5)； (6)；
(7)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)．
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】（1）可由观察法求解；（2）函数是二次函数，可采用配方法结合图像求解；（3）函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，由求解；（4）利用变量的代换，即换元法求值域；（5）通过变形，利用基本不等式求最值；（6）通过变形，利用基本不等式求最值；（7）通过变形利用判别式法求解．
【详解】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为．
（2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．
（3）（分离常数法） ，因为，所以，所以故函数的值域为．
（4）（换元法） 设，则，且，
所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．
（5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．
故函数的值域为．
（6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为．
（7）由知，
整理得．
当时，方程无解；当时，，即．
故所求函数的值域为．
【点睛】方法点睛：本题主要考查求函数得值域，常见的方法有：
（1）观察法，对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解；
（2）配方法，函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解；
（3）分离常数法，反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解；
（4）换元法，通过对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而求值域；
（5）通过对解析式变形，利用基本不等式求最值；
（6）通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解．
29．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题：
(1)函数在上的最大值；
(2)的值域；
(3)的最小值；
(4)的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可；
（2）利用基本不等式配凑，注意取等条件；
（3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节；
（4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果.
【详解】（1）．
其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示．
当时，当时，所以在上的最大值是．
（2）因为，所以，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故函数的值域为．
（3）因为，所以，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，则，故函数在上的最小值为.
（4），
设，则，
即，故所求函数的值域为．
30．（多选）（23-24高一上·贵州六盘水·期中）下列函数值域是的为（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】AB
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【详解】利用函数值域的求解方法求解.
【分析】对A，因为，所以，A正确；
对B，因为，所以，B正确；
对C，，C错误；
对D，，
因为，所以，，
所以，D错误.
故选：AB.
31．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 .
【答案】
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解.
【详解】因为，令，则，
则，，
可知开口向上，对称轴为，且，
所以在内的值域为，
即在内的值域为.
故答案为：.
题型6 函数的逆向问题
考点1 已知函数的定义域，求参数的值或取值范围
32．函数的定义域为，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知函数的定义域求参数
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由于，所以解得或.
所以的取值范围是.
故答案为：
33．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】已知函数的定义域求参数
【详解】试题分析：时，，符合题意，当时，，得，综上有．
考点：函数的定义域．
【名师点晴】本题表面上考查函数的定义域，实质是考查不等式恒成立问题，即恒成立，这里易错的地方是只是利用判别式，求得，没有讨论二次项系数为0的情形．
34．若函数定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数
【分析】根据题意可得出，不等式的解集为，从而讨论，当时，，满足题意；当时，，解出的范围即可．
【详解】解：的定义域为，
不等式的解集为，
①当时，恒成立，满足题意；
②当时，，解得，
实数的取值范围为．
故选：A．
考点2 已知函数的值域，求参数的值或取值范围
35．若函数的值域为，则函数的值域为 ．
【答案】
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、根据值域求参数的值或者范围
【分析】依题意可得，再根据二次函数的性质计算可得.
【详解】解：依题意要使的值域为，必有．于是，
所以，则的值域为．
故答案为：
36．若函数的定义域和值域均为，则的值为 .
【答案】
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为，列出相应方程组，求出，的值即可.
【详解】解：由函数，可得对称轴为，
故函数在上是增函数.
函数的定义域和值域均为，
，即.
解得，或.，.
.
故答案为：.
37．已知函数y＝的定义域为（－∞,＋∞），值域为[1，9]，则m的值为 ，n的值为 ．
【答案】 5 5
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、由一元二次不等式的解确定参数、已知函数的定义域求参数
【分析】可将整理为,因为,由，则，即，则关于y的一元二次方程的两根为1和9，利用韦达定理求解；同时,时也成立.
【详解】由,得,
由，得若，则,
即,
由知，关于y的一元二次方程的两根为1和9,
故有，解得.
当时,也符合题意,
∴.
故答案为：5；5.
38．（多选）若函数的值域是，则实数的可能取值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】CD
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据值域求参数的值或者范围、根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】由题意,要使的值域为，只需要的值域包括0即可．
【详解】令，要使值域包括0，即最小值小于等于0．
那么：，
解得．
故选：CD．
一、单选题
1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数关系的判断、函数图像的识别
【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可.
【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应，
所以选项ABD均不符合.
故选：C.
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】具体函数的定义域
【分析】利用具体函数定义域的求法，结合指数幂的性质求解即可.
【详解】因为，
所以，解得，故或，
所以的定义域为：.
故选：C.
3．（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解.
【详解】由解得且，
所以的定义域为.
故选：D
4．（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知函数的定义域求参数
【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围．
【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论．
①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意；
②当，即时，应满足，解得．
综上，实数的取值范围为．
故选：C．
5．（2025高一上·全国·专题练习）下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等
【分析】比较两个函数的定义域和解析式是否相等，判断即可。
【详解】对于A：的定义域为的定义域为，A中两个函数不表示同一个函数；
对于B：两个函数的对应关系不一致，中两个函数不表示同一个函数；
对于C：与，解析式相同，且两个函数的定义域均为，中两个函数表示同一个函数；
对于D：两个函数的定义域不一致，中两个函数不表示同一个函数；
故答案为：C。
【点睛】考查同一个函数的判断方法
6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知，则（ ）
A．31 B．17 C．15 D．7
【答案】A
【知识点】求函数值
【分析】令，求出，然后代入解析式中即可求出的值.
【详解】令，则，
得．
故选：A．
7．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】具体函数的定义域、复合函数的定义域
【分析】根据定义域的概念得到中的范围，再由分母有意义得到分母中的范围，取交集即可得到的定义域.
【详解】要使有意义，则解得，所以的定义域为
故选：C.
8．（24-25高一下·贵州黔南·期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数新定义
【分析】根据取整函数的定义求函数的值域.
【详解】设，其中，为的小数部分，则，
则，
所以函数的值域为：.
故选：A
二、多选题
9．（24-25高一上·广东江门·期中）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数的定义域是
C．若，则函数的最小值为2
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】AC
【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值
【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；分，，当时由二次函数的性质可得D正确；
【详解】对于A，不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为或，故A错误；
对于B，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，故B正确；
对于C，函数，当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误；
对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意；
当时，由二次函数的性质可得，解得，
综上的取值范围是，故D正确；
故选：AC.
10．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【知识点】求函数值
【分析】根据的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，由，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，由选项C知，且，
，故D正确.
故选：BCD.
11．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【知识点】求函数值
【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，，所以，，故A正确；
又因为，则，故B正确；
，，
，，
，，
，，
，，
，，故D正确；
但没有足够条件判断C的正误.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
三、填空题
12．（2025高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ；
（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域
【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域；
（2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域．
【详解】（1）设．
因为的定义域为，
所以要使有意义，必须，解得，
所以的定义域为，即的定义域为．
（2）设，考察函数．
因为的定义域为，
所以，得，
所以的定义域为．
设，要使有意义，
必须，解得．
故的定义域为．
故答案为：；．
13．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】分离常数后，即可求解.
【详解】因为，所以，
故所求值域为．
故答案为：.
14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数满足，则 ， ．
【答案】 1
【知识点】求函数值
【详解】因为，令，得，所以．令，得①，令，得②，，得，解得．
四、解答题
15．（25-26高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【知识点】具体函数的定义域
【分析】(1)要使函数有意义，只需令，其解集即为函数的定义域.
(2)要使函数有意义，需满足,其解集即为的定义域.
【详解】（1）要使函数有意义，只需令，解得：,
所以函数的定义域为：.
（2）要使函数有意义，需满足,所以,
所以的定义域为:
16．（24-25高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）由基本不等式求解即可；
（2）设，结合二次函数的性质求解即可；
（3）利用分离常数法求解即可.
【详解】（1），
当且仅当，即时取等号，
所以函数的值域为．
（2）设，，则，
所以，
所以函数的值域为．
（3），
则，所以函数的值域为．
【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．
（2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围．
（3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是．
（4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域．
（5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域．
17．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)已知函数的定义域为，则函数的定义域.
【答案】(1)且或
(2)
【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域
【分析】（1）根据二次根式的被开方数是非负数以及分母非零即得不等式组，解出即得；
（2）正确理解函数的定义域的含义以及抽象函数中的变量范围的整体替换，即可求得.
【详解】（1）要使函数有意义，只需，解得：或且
所以函数定义域为且或.
（2）由题意知，所以，即的定义域为，
所以，解得.
故函数的定义域是.
18．（24-25高一上·宁夏中卫·期中）已知函数．
(1)求与，与；
(2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现；
(3)求的值．
【答案】(1)答案见详解
(2)，证明见详解
(3)0
【知识点】求函数值
【分析】（1）根据函数解析式代入数值计算即可；
（2）通过（1）化简的函数解析式求出的解析式，相加化简即可；
（3）根据（2）的结论，分析原式中一共有多少项数，进行求和即可.
【详解】（1）由，
所以， ；
，.
（2）由（1）中求得的结果发现，证明如下：
因为，
所以.
（3）由（2）知，
所以.
19．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得恒成立，则称是上的受限函数，为的限定值.
(1)若函数在上是限定值为8的受限函数，求的最大值.
(2)若函数，判断是否是受限函数.若是，求出的限定值的最小值；若不是，请说明理由.
(3)若函数在上是限定值为11的受限函数，求的取值范围.
【答案】(1)7
(2)是，7
(3).
【知识点】求二次函数的值域或最值、函数新定义、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）求得函数值域，结合新定义构造不等式即可求解；
（2）求得函数值域，即可判断；
（3）由题意得到在上恒成立，通过参变分离，基本不等式求最值，即可求解.
【详解】（1）因为，所以.
因为在上是限定值为8的受限函数，所以，
解得，则的最大值为7.
（2）由题意可得，解得.
当时，，所以，
所以，即，
所以是上的受限函数，且的限定值满足，
故的限定值的最小值为7.
（3）因为在上是限定值为11的受限函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
因为，所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
因为，所以，即的取值范围为.
