5.1导数的概念及其意义 教案-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

5.1导数的概念及其意义
教学目标：
经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景；
了解导数的概念，理解导数的几何意义；
会求简单函数在某一点处的导数及切线方程。
核心素养：
1、通过导数概念和导数几何意义的学习，培养学生数学抽象与直观想象的核心素养；
2、通过导数的求解，提升学生数学运算的核心素养。
教学重点：平均变化率、瞬时变化率、导数的概念，导数的几何意义
教学难点：瞬时变化率及导数的概念
教学过程：
1、实例引入，激发兴趣：
跳水运动员的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种，奥运会、世界锦标赛等限用10米跳台。跳台跳水根据起跳方向和动作结构分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组。比赛时，男子要完成 4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作，女子要完成4个有难度系数限制的自选动作和4个无难度系数限制的自选动作。每个动作的最高得分为 10分，以全部动作完成后的得分总和评定成绩。
如下图若表示跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数
的图象，根据图象，请描述运动员在附近的速度变化情况。
2、类比迁移，探索新知：
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10。计算运动员在时间段①，②内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？
答：①在这段时间里，
②在这段时间里，
由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．
思考：什么是平均变化率？有什么几何意义？
答：如果上述导例中的函数关系用表示，那么变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数从到的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢。
用表示是相对于的一个“增量”；表示。的值可正可负，也可以为零，但不能为零。平均变化率为＝，
其几何意义是函数的图象上两点，连线的斜率。
思考：什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？
答：可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态。如求时的瞬时速度，可考察在附近的一个间隔，当趋近于0时,平均速度趋近于，这就是物体在时的瞬时速度。类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数在处的瞬时变化率叫做函数在处的导数。
3、自主探究，归纳总结：
例1、已知函数，
计算：
（1）从到的平均变化率，其中的值为；（2）在处的瞬时变化率。
解：
（1）平均变化率为
当，；
当时，；
当时，。
当越来越小时，函数在区间上的平均变化率逐渐变大，并接近于，瞬时变化率为.
我们就说函数在处的导数为.
函数在某点处的导数：我们称函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数，记作或，即
对于导数的概念，注意以下几点：
(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在；
(2)导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关,与无关；
(3)导数的实质是一个极限值。
例2、求函数在处的导数
解：
归纳：求一个函数在处的导数的步骤如下：
求函数值的变化量；
求平均变化率；
取极限，得导数.
4、实验体验，加深感悟：
（1）学生实验：每位同学准备一张A4纸，一把直尺，按照老师要求画函数的图象，模拟无限逼近的过程，体会导数的定义，并思考导数的几何意义。
如图，割线P0P的斜率k＝，记＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f ′(x0)。
(2)切线方程
根据直线的点斜式方程我们可以得到，曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)。
例3、已知曲线，求曲线在横坐标为的点处的切线方程。
解：将代入曲线的方程得，∴切点。
=3
∴曲线在点处的切线方程为，即.
5、学以致用，知识反馈：
（1）已知函数是可导函数且，
由题意可得：
故应选
（2）设曲线在点处的切线与直线平行，则等于(　　)
因为
所以，所以。
6、课后小结，作业布置：
（1）小结：学生自己对所学内容进行归纳；
（2）作业：课后习题