第24讲 函数及三角函数的应用
一、知识梳理
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
振幅 最小正 周期 频率 相位 初相
y= Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) A T= f==
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:
x
ωx+φ
y= Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
二、核心原则
（1） 图象变换规律
平移变换 ：左加右减（φ>0向左平移φ/ω个单位，φ<0向右平移|φ|/ω个单位）。
伸缩变换 ：
横向伸缩：ω>1时横坐标压缩为原来的1/ω倍，0<ω<1时伸长1/ω倍。
纵向伸缩：A>1时纵坐标伸长A倍，0
（2） 对称性 ：若φ=kπ（k∈Z），图象关于原点对称（奇函数）；
若φ=kπ+π/2（k∈Z），图象关于y轴对称（偶函数）。
（3） 解析式求解方法
五点法 ：利用最高点、最低点、零点等关键点确定A、ω、φ。
周期公式 ：T=2π/|ω|，结合图象长度求ω。
相位确定 ：通过零点或极值点坐标代入解φ。
性质分析要点
单调性 ：将ωx+φ视为整体，结合正弦函数单调区间求解。
对称轴/中心 ：对称轴为ωx+φ=kπ+π/2，对称中心为ωx+φ=kπ（k∈Z）。
二、常见题型分类与解题策略
题型1：图象变换与识别
策略 ： 平移伸缩顺序 ：先平移后伸缩或先伸缩后平移，注意ω对平移量的影响（平移φ/ω单位）。
【例1】（2025·山东临沂·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意是偶函数，
从而，解得.
故选：B.
题型2：由图象求解析式
策略 ：（1） 确定A ：|A|=(最大值-最小值)/2。
（2） 求ω ：通过周期T=2π/ω或相邻零点/极值点距离计算。
（3） 定φ ：代入特殊点（如零点或极值点）解方程。
【例2】（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
【详解】由图可知，，得，
又，由解得；
将点代入，得，
在函数单调减区间上，则，，
解得，又，所以，.
得.
将的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度，
得的图象.
故选：A.
题型3：性质综合应用
策略 ：（1） 单调区间 ：解不等式-π/2+2kπ≤ωx+φ≤π/2+2kπ（k∈Z）求递增区间。
（2） 零点问题 ：转化为方程ωx+φ=kπ，结合图象分析交点个数。
【例3】已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A．的最小正周期为2
B．的图象关于点对称
C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象
D．与的图象关于轴对称
【详解】对于A，因为相邻对称轴之间的距离为，故的最小正周期为
，
故A错误；
对于B，由A可得，故，
而，故的图象不关于点对称，
故B错误；
对于C，将的图象向左平移个单位长度后，
所得图象对应的解析式为
，
故的图象左平移个单位长度得不到的图象，故C错误；
对于D，，
而，
所以与的图象关于轴对称，故D正确；
故选：D.
【例4】将函数（）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题知，.
当时， ，
因为在上恰有2个零点，所以，解得.
故选：C.
题型4：实际应用（建模）
策略 ：（1） 物理模型 ：如简谐运动y=Asin(ωt+φ)，根据振幅、周期、初始相位确定参数。
（2） 几何应用 ：如摩天轮高度问题，通过周期和极值建立函数关系。
【例5】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【详解】设座舱距离地面的最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
设函数表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为，直径为，且转一周大约需要，
周期，，所以，
即，
当时，游客在点，其中以为终边的角为，
所以，
当时，可得
所以，摩天轮的座舱后距离地面高度约为.
故选：A.
四、典例欣赏
【例6】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意，知，其中.
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以为图象的一条对称轴，所以，.
又，所以，，解得，，，
所以.将的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象.
由的图象关于轴对称，得，，
所以，，
所以的最小值为.
故选：C.第24讲 函数及三角函数的应用
一、知识梳理
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
振幅 最小正 周期 频率 相位 初相
y= Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) A T= f==
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:
x
ωx+φ
y= Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
二、核心原则
（1） 图象变换规律
平移变换 ：左加右减（φ>0向左平移φ/ω个单位，φ<0向右平移|φ|/ω个单位）。
伸缩变换 ：
横向伸缩：ω>1时横坐标压缩为原来的1/ω倍，0<ω<1时伸长1/ω倍。
纵向伸缩：A>1时纵坐标伸长A倍，0（2） 对称性 ：若φ=kπ（k∈Z），图象关于原点对称（奇函数）；
若φ=kπ+π/2（k∈Z），图象关于y轴对称（偶函数）。
（3） 解析式求解方法
五点法 ：利用最高点、最低点、零点等关键点确定A、ω、φ。
周期公式 ：T=2π/|ω|，结合图象长度求ω。
相位确定 ：通过零点或极值点坐标代入解φ。
性质分析要点
单调性 ：将ωx+φ视为整体，结合正弦函数单调区间求解。
对称轴/中心 ：对称轴为ωx+φ=kπ+π/2，对称中心为ωx+φ=kπ（k∈Z）。
二、常见题型分类与解题策略
题型1：图象变换与识别
策略 ： 平移伸缩顺序 ：先平移后伸缩或先伸缩后平移，注意ω对平移量的影响（平移φ/ω单位）。
【例1】（2025·山东临沂·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
题型2：由图象求解析式
策略 ：（1） 确定A ：|A|=(最大值-最小值)/2。
（2） 求ω ：通过周期T=2π/ω或相邻零点/极值点距离计算。
（3） 定φ ：代入特殊点（如零点或极值点）解方程。
【例2】（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
题型3：性质综合应用
策略 ：（1） 单调区间 ：解不等式-π/2+2kπ≤ωx+φ≤π/2+2kπ（k∈Z）求递增区间。
（2） 零点问题 ：转化为方程ωx+φ=kπ，结合图象分析交点个数。
【例3】已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A．的最小正周期为2
B．的图象关于点对称
C．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象
D．与的图象关于轴对称
【例4】将函数（）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型4：实际应用（建模）
策略 ：（1） 物理模型 ：如简谐运动y=Asin(ωt+φ)，根据振幅、周期、初始相位确定参数。
（2） 几何应用 ：如摩天轮高度问题，通过周期和极值建立函数关系。
【例5】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
四、典例欣赏
【例6】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．