第28讲 平面向量基本定理及坐标表示
一、知识梳理
1.平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的 向量a, 实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底
若e1,e2 ,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内 向量的一个基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= ,a-b= ,λa= .
(2)向量的坐标求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则= ,||= .
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b a=λb(λ∈R) .
二、核心原则
（1） 平面向量基本定理
定理内容 ：
基底性质 ：基底向量必须不共线，且表示唯一。
（2） 坐标运算规则
加减法 ：
共线条件 ：
（3） 解题思想
基底优先 ：优先选择已知不共线的向量作为基底。
坐标化简化 ：几何问题转化为坐标运算，利用代数工具求解。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：基底的概念及辨析
策略 ：验证两向量是否共线：若存在实数λ使a=λb，a，b，则不能作为基底。
【例1】（2025·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
【详解】对A：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对B：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量，
且存在实数，使得，
故和共线，不可作基底；
对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底.
故选：C.
题型2：用基底表示向量
策略 ：设待表示向量为a=λ1e1+λ2e2，解方程组求λ1,λ2。
【例2】（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为为边的中点，，
所以.
故选：D.
题型3：利用平面向量基本定理求参数
策略 ：根据向量关系列方程，结合唯一性求解参数。
【例3】（2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【详解】由，可得，
则
则
故，所以
故选：C.
题型4：平面向量的坐标运算
策略 ：直接应用坐标公式，注意符号和运算顺序。
【例4】（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设点 ，
则，
又，所以，
所以点的坐标为，
故选：A.
题型5：向量共线的坐标表示
策略 ：利用共线条件求λ。
【例5】（2025·广东东莞·模拟预测）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】由题设，，
若，则，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
题型6：最值与范围问题
策略 ：坐标化后转化为函数最值问题，结合不等式或三角函数求解。
【例6】（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 .
【详解】
如图，因为，所以以为坐标原点，
方向为轴建立平面直角坐标系，则,
设,则，
过点作轴的垂线，垂足为，则，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
则，
，所以，
所以当，即时，有最大值为，
故答案为：.
四、典例欣赏
【例7】[2024·吉林长春模拟] 如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点,且=x,=y,x>0,y>0,则2x+y的最小值为 ( A )
A. B.2+3
C.4 D.2
【详解】
∵G是△ABC的重心,∴=+,
又=x,=y,∴=+,
∵M,G,N三点共线,∴+=1,
∴2x+y=(2x+y)=++1≥2+1=,
当且仅当=,即x=,y=时取等号,∴2x+y的最小值为.
故选A.第28讲 平面向量基本定理及坐标表示
一、知识梳理
1.平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的 向量a, 实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底
若e1,e2 ,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内 向量的一个基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= ,a-b= ,λa= .
(2)向量的坐标求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则= ,||= .
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b a=λb(λ∈R) .
二、核心原则
（1） 平面向量基本定理
定理内容 ：
基底性质 ：基底向量必须不共线，且表示唯一。
（2） 坐标运算规则
加减法 ：
共线条件 ：
（3） 解题思想
基底优先 ：优先选择已知不共线的向量作为基底。
坐标化简化 ：几何问题转化为坐标运算，利用代数工具求解。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：基底的概念及辨析
策略 ：验证两向量是否共线：若存在实数λ使a=λb，a，b，则不能作为基底。
【例1】（2025·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
【详解】对A：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对B：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量，
且存在实数，使得，
故和共线，不可作基底；
对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底.
故选：C.
题型2：用基底表示向量
策略 ：设待表示向量为a=λ1e1+λ2e2，解方程组求λ1,λ2。
【例2】（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为为边的中点，，
所以.
故选：D.
题型3：利用平面向量基本定理求参数
策略 ：根据向量关系列方程，结合唯一性求解参数。
【例3】（2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【详解】由，可得，
则
则
故，所以
故选：C.
题型4：平面向量的坐标运算
策略 ：直接应用坐标公式，注意符号和运算顺序。
【例4】（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设点 ，
则，
又，所以，
所以点的坐标为，
故选：A.
题型5：向量共线的坐标表示
策略 ：利用共线条件求λ。
【例5】（2025·广东东莞·模拟预测）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】由题设，，
若，则，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
题型6：最值与范围问题
策略 ：坐标化后转化为函数最值问题，结合不等式或三角函数求解。
【例6】（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 .
【详解】
如图，因为，所以以为坐标原点，
方向为轴建立平面直角坐标系，则,
设,则，
过点作轴的垂线，垂足为，则，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
则，
，所以，
所以当，即时，有最大值为，
故答案为：.
四、典例欣赏
【例7】[2024·吉林长春模拟] 如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点,且=x,=y,x>0,y>0,则2x+y的最小值为 ( A )
A. B.2+3
C.4 D.2
【详解】
∵G是△ABC的重心,∴=+,
又=x,=y,∴=+,
∵M,G,N三点共线,∴+=1,
∴2x+y=(2x+y)=++1≥2+1=,
当且仅当=,即x=,y=时取等号,∴2x+y的最小值为.
故选A.
