第29讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
一、知识梳理
1.平面向量的数量积
(1)向量的夹角
①定义:已知两个非零向量a,b(如图),O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角.
②性质:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.
③向量垂直:如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
(2)数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量 叫作向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= .
规定:零向量与任一向量的数量积为 ,即0·a=0.
(3)投影向量
如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则 就是向量a在向量b上的投影向量,且=|a|cos θ e(e为与b方向相同的单位向量).
2.平面向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量.
①a·e=e·a= .
②a⊥b .
③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .特别地,a·a=a2= 或|a|= .
④|a·b| |a||b|.
3.平面向量数量积的运算律
对于向量a,b,c和实数λ,有
①交换律: ;
②数乘结合律:(λa)·b= = (λ∈R);
③分配律:(a+b)·c= .
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),
为a与b的夹角.
向量表示 坐标表示
向量a的模 |a|= |a|=
a,b的数量积 a·b=|a||b|cos a·b=
a与b垂直 a⊥b a·b=0 a⊥b
a与b的夹角 cos= cos=
二、核心原则
（1） 数量积定义与性质
定义 ：对于向量a与b，数量积a·b=|a||b|cos（θ为夹角）。
性质 ：交换律；分配律；数乘结合律。
（2） 投影与模长
向量a在b上的投影，
投影向量。
模长公式。
（3） 解题思想
坐标优先 ：若图形易建系，优先用坐标法简化运算。
几何转化 ：利用数量积的几何意义（如夹角、垂直）结合图形分析。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：数量积的直接运算
策略 ：（1）坐标法：
（2）基底法：选择不共线的基底向量分解目标向量。
【例1】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
故当时，取得最大值，最大值为.
故选：D.
题型2：向量夹角问题
策略 ：利用夹角公式cos=，注意钝角/锐角条件。
【例2】（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】，
.
.
.
.
.
.故选：C.
题型3：模长与最值
策略 ：（1）公式法。
（2）函数法：坐标化后转化为二次函数或三角函数求最值。
【例3】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 .
【详解】，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
题型4：垂直条件的应用
策略 ：（1）坐标法。
（2）几何法：利用图形性质（如直径所对圆周角为直角）。
【例4】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【详解】由题意有，
又因为，所以
，
故选：B.
题型5：投影与几何应用
策略 ：（1）投影公式：。
（2）几何问题：将向量关系转化为图形中的长度或角度关系。
【例5】（2025·辽宁·模拟预测）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，
所以，，
，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：D．
题型6：物理与解三角形综合
策略 ：（1）物理问题：分解力向量，利用数量积求功。
（2）解三角形：结合余弦定理与向量数量积求边长或角。
【例6】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【详解】设，如图，
因为，
所以,
即，解得，
所以，
，
故选：A.
四、典例欣赏
【例6】[2024·江苏徐州模拟] 已知a,b,e是平面向量,且e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足(b-4e)·(b-2e)=0,则|a-b|的最小值是 ( A )
A.-1 B.
C.2 D.2-
【详解】设a=(x,y),b=(m,n),e=(1,0).
由a与e的夹角为,得a·e=|a||e|cos,即x=,整理得y=±x(x>0).
由(b-4e)·(b-2e)=0,得(b-4e)⊥(b-2e),则(m-4,n)·(m-2,n)=0,
整理得m2+n2-6m+8=0,即(m-3)2+n2=1,
所以|a-b|=表示圆(m-3)2+n2=1上的点(m,n)到射线y=±x(x>0)上的点(x,y)的距离,如图,
易知其最小值为圆心(3,0)到射线y=±x(x>0)的距离减去半径1,即-1=-1.故选A.第29讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
一、知识梳理
1.平面向量的数量积
(1)向量的夹角
①定义:已知两个非零向量a,b(如图),O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角.
②性质:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.
③向量垂直:如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
(2)数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量 叫作向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= .
规定:零向量与任一向量的数量积为 ,即0·a=0.
(3)投影向量
如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则 就是向量a在向量b上的投影向量,且=|a|cos θ e(e为与b方向相同的单位向量).
2.平面向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量.
①a·e=e·a= .
②a⊥b .
③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .特别地,a·a=a2= 或|a|= .
④|a·b| |a||b|.
3.平面向量数量积的运算律
对于向量a,b,c和实数λ,有
①交换律: ;
②数乘结合律:(λa)·b= = (λ∈R);
③分配律:(a+b)·c= .
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角.
向量表示 坐标表示
向量a的模 |a|= |a|=
a,b的数量积 a·b=|a||b|cos a·b=
a与b垂直 a⊥b a·b=0 a⊥b
a与b的夹角 cos= cos=
二、核心原则
（1） 数量积定义与性质
定义 ：对于向量a与b，数量积a·b=|a||b|cos（θ为夹角）。
性质 ：交换律；分配律；数乘结合律。
（2） 投影与模长
向量a在b上的投影，
投影向量。
模长公式。
（3） 解题思想
坐标优先 ：若图形易建系，优先用坐标法简化运算。
几何转化 ：利用数量积的几何意义（如夹角、垂直）结合图形分析。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：数量积的直接运算
策略 ：（1）坐标法：
（2）基底法：选择不共线的基底向量分解目标向量。
【例1】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
故当时，取得最大值，最大值为.
故选：D.
题型2：向量夹角问题
策略 ：利用夹角公式cos=，注意钝角/锐角条件。
【例2】（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】，
.
.
.
.
.
.故选：C.
题型3：模长与最值
策略 ：（1）公式法。
（2）函数法：坐标化后转化为二次函数或三角函数求最值。
【例3】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 .
【详解】，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
题型4：垂直条件的应用
策略 ：（1）坐标法。
（2）几何法：利用图形性质（如直径所对圆周角为直角）。
【例4】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【详解】由题意有，
又因为，所以
，
故选：B.
题型5：投影与几何应用
策略 ：（1）投影公式：。
（2）几何问题：将向量关系转化为图形中的长度或角度关系。
【例5】（2025·辽宁·模拟预测）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，
所以，，
，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：D．
题型6：物理与解三角形综合
策略 ：（1）物理问题：分解力向量，利用数量积求功。
（2）解三角形：结合余弦定理与向量数量积求边长或角。
【例6】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【详解】设，如图，
因为，
所以,
即，解得，
所以，
，
故选：A.
四、典例欣赏
【例6】[2024·江苏徐州模拟] 已知a,b,e是平面向量,且e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足(b-4e)·(b-2e)=0,则|a-b|的最小值是 ( A )
A.-1 B.
C.2 D.2-
【详解】设a=(x,y),b=(m,n),e=(1,0).
由a与e的夹角为,得a·e=|a||e|cos,即x=,整理得y=±x(x>0).
由(b-4e)·(b-2e)=0,得(b-4e)⊥(b-2e),则(m-4,n)·(m-2,n)=0,
整理得m2+n2-6m+8=0,即(m-3)2+n2=1,
所以|a-b|=表示圆(m-3)2+n2=1上的点(m,n)到射线y=±x(x>0)上的点(x,y)的距离,如图,
易知其最小值为圆心(3,0)到射线y=±x(x>0)的距离减去半径1,即-1=-1.故选A.