第30讲 复数
一、知识梳理
1.复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作虚数单位,a叫作复数的 ,b叫作复数的 .
对于复数z=a+bi(a,b∈R)
特别的,当且仅当 时,它是实数0.
(2)复数相等:a+bi=c+di (a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭 (a,b,c,d∈R).
(4)复数的模:向量=(a,b)的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作 或 ,即|z|=|a+bi|= .一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=||.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量 (O为坐标原点).
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= ;
④除法:=== .
(2)复数加法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .
复数加、减法几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即= ,= .
(3)复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
二、核心原则
（1） 复数的基本概念
定义 ：
分类 ：实数；纯虚数；虚数。
（2） 相等条件 ：两复数相等当且仅当实部与虚部分别相等。
（3） 复数的几何意义
复平面 ：
向量表示 ：
共轭复数 ：。
（3） 复数的运算
四则运算 ：加减法按实虚部分别运算；乘法展开后合并ii项；除法需有理化分母。
几何意义 ：加减法对应向量加减；乘法模长相乘、辐角相加。
（4） 复数方程
实系数方程的虚根成对出现（共轭复数）。
解方程时注意复数范围内根的多样性。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：复数的概念与分类
策略 ：根据实部、虚部是否为0判断复数类型。
【例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【详解】因为，所以其虚部为1，
故选：C.
题型2：共轭复数与模
策略 ：共轭复数：实部不变，虚部取反。
模长公式：
【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，
所以，即复数的虚部为.
故选：D.
题型3：复数的几何意义
策略 ：复数对应点：利用复平面分析位置（象限、轨迹）。
【例3】（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【详解】，其在复平面内对应的点为.
因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数.
由，其中，，将其代入模的计算公式可得：
.
故选：B.
题型4：复数的四则运算
策略 ：加减法：直接合并同类项；乘法：除法：分子分母同乘分母的共轭复数。
【例4】（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．1
【详解】因为，所以.
故选：A.
题型5：复数相等与参数求解
策略 ：实部、虚部分别相等列方程。
【例5】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，
则，
，即，
故选：A.
题型6：复数模的最值与轨迹
策略 ：几何法：利用复平面中圆、线段等图形分析。
【例6】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【详解】设，则，
又表示点与原点的距离，故的最小值
为.故选：B.
题型7：复数范围内解方程
策略 ：实系数方程：虚根成对出现。
【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
【详解】是关于的实系数方程的一个根，
所以也是方程的一个根，
所以.
故选：B.
题型8：复数的三角表示
策略 ：极坐标形式。
【例8】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转，
所以旋转后的向量所对应的复数为，
所以旋转后的向量，
又因为，，
所以向量在上的投影向量是，即对应复数是.
故选：D.
四、典例欣赏
【例9】(多选题)欧拉公式exi=cos x+isin x(i为虚数单位,x∈R)是由数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关联,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是 ( ABD )
A.的虚部为
B.eπi=-1
C.|exi|=|cos x|+|sin x|
D.的共轭复数为-i
【详解】对于A,=cos+isin=+i,其虚部为,故A正确;
对于B,eπi=cos π+isin π=-1,故B正确;
对于C,exi=cos x+isin x,则|exi|==1,故C错误;
对于D,=cos+isin=i,则的共轭复数为-i,故D正确.
故选ABD.第30讲 复数
一、知识梳理
1.复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作虚数单位,a叫作复数的 ,b叫作复数的 .
对于复数z=a+bi(a,b∈R)
特别的,当且仅当 时,它是实数0.
(2)复数相等:a+bi=c+di (a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭 (a,b,c,d∈R).
(4)复数的模:向量=(a,b)的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作 或 ,即|z|=|a+bi|= .一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=||.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量 (O为坐标原点).
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= ;
④除法:=== .
(2)复数加法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .
复数加、减法几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即= ,= .
(3)复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
二、核心原则
（1） 复数的基本概念
定义 ：
分类 ：实数；纯虚数；虚数。
（2） 相等条件 ：两复数相等当且仅当实部与虚部分别相等。
（3） 复数的几何意义
复平面 ：
向量表示 ：
共轭复数 ：。
（3） 复数的运算
四则运算 ：加减法按实虚部分别运算；乘法展开后合并ii项；除法需有理化分母。
几何意义 ：加减法对应向量加减；乘法模长相乘、辐角相加。
（4） 复数方程
实系数方程的虚根成对出现（共轭复数）。
解方程时注意复数范围内根的多样性。
三、常见题型分类与解题策略
题型1：复数的概念与分类
策略 ：根据实部、虚部是否为0判断复数类型。
【例1】（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【详解】因为，所以其虚部为1，
故选：C.
题型2：共轭复数与模
策略 ：共轭复数：实部不变，虚部取反。
模长公式：
【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，
所以，即复数的虚部为.
故选：D.
题型3：复数的几何意义
策略 ：复数对应点：利用复平面分析位置（象限、轨迹）。
【例3】（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【详解】，其在复平面内对应的点为.
因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数.
由，其中，，将其代入模的计算公式可得：
.
故选：B.
题型4：复数的四则运算
策略 ：加减法：直接合并同类项；乘法：除法：分子分母同乘分母的共轭复数。
【例4】（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．1
【详解】因为，所以.
故选：A.
题型5：复数相等与参数求解
策略 ：实部、虚部分别相等列方程。
【例5】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，
则，
，即，
故选：A.
题型6：复数模的最值与轨迹
策略 ：几何法：利用复平面中圆、线段等图形分析。
【例6】（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【详解】设，则，
又表示点与原点的距离，故的最小值
为.故选：B.
题型7：复数范围内解方程
策略 ：实系数方程：虚根成对出现。
【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
【详解】是关于的实系数方程的一个根，
所以也是方程的一个根，
所以.
故选：B.
题型8：复数的三角表示
策略 ：极坐标形式。
【例8】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转，
所以旋转后的向量所对应的复数为，
所以旋转后的向量，
又因为，，
所以向量在上的投影向量是，即对应复数是.
故选：D.
四、典例欣赏
【例9】(多选题)欧拉公式exi=cos x+isin x(i为虚数单位,x∈R)是由数学家欧拉创立的,该公式建立了三角函数与指数函数的关联,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是 ( ABD )
A.的虚部为
B.eπi=-1
C.|exi|=|cos x|+|sin x|
D.的共轭复数为-i
【详解】对于A,=cos+isin=+i,其虚部为,故A正确;
对于B,eπi=cos π+isin π=-1,故B正确;
对于C,exi=cos x+isin x,则|exi|==1,故C错误;
对于D,=cos+isin=i,则的共轭复数为-i,故D正确.
故选ABD.
