构造法解f（x）与f'（x）共存问题
高考中有这样一类题型，题目中不是给出具体的函数解析式，而是给出函数f（x）及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，该类试题具有一定的难度，下面总结了几种常见类型及解题方法.
一、利用f（x）与xn构造函数
利用f（x）与xn构造函数：
①出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；
②出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝.
【例1】已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ；
解析：构造F（x）＝，则F'（x）＝，当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的图象如图所示，根据图象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）.
【例2】设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是 .
解析：构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）.
【变式】设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf'（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为 .
解析：构造F（x）＝，则F'（x）＝，当x＜0时，xf'（x）－f（x）＞0，可以推出当x＜0时，F'（x）＞0，F（x）在（－∞，0）上单调递增.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递增.根据f（1）＝0可得F（1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的图象如图所示，根据图象可知f（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.
答案：（－∞，－1）∪（1，＋∞）
二、利用f（x）与ex构造函数
利用f（x）与ex构造函数：
①出现f'（x）－nf（x）的形式，构造函数F（x）＝；
②出现f'（x）＋nf（x）的形式，构造函数F（x）＝f（x）enx.
【例3】已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且满足：（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，f（2－x）＝f（x）·e2－2x，则下列判断一定正确的是（ ）
A.f（1）＜f（0） B.f（2）＞e2f（0）
C.f（3）＞e3f（0） D.f（4）＜e4f（0）
解析：构造F（x）＝，则F'（x）＝＝，由（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，则x＞1时F'（x）＞0，F（x）在（1，＋∞）上单调递增.当x＜1时F'（x）＜0，F（x）在（－∞，1）上单调递减.又由f（2－x）＝f（x）e2－2x F（2－x）＝F（x） F（x）关于x＝1对称，从而F（3）＞F（0），即＞，∴f（3）＞e3f（0），故选C.
【例4】若定义在R上的函数f（x）满足f'（x）－2f（x）＞0，f（0）＝1，则不等式f（x）＞e2x的解集为 .
解析：构造F（x）＝，则F'（x）＝＝，函数f（x）满足f'（x）－2f（x）＞0，则F'（x）＞0，F（x）在R上单调递增.又∵f（0）＝1，则F（0）＝1，f（x）＞e2x ＞1 F（x）＞F（0），根据单调性得x＞0.
【变式】f（x）为定义在R上的可导函数，且f'（x）＞f（x），对任意正实数a，下列式子一定成立的是 （ ）
A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0）
C.f（a）＜ D.f（a）＞
解析：B 令g（x）＝，则g'（x）＝＝＞0.∴g（x）在R上为增函数，又a＞0，∴g（a）＞g（0），即＞.故f（a）＞eaf（0）.
三、利用f（x）与sin x，cos x构造函数
利用f（x）与sin x，cos x构造函数的常见类型：
①由条件f'（x）sin x＋f（x）cos x，一般构造函数F（x）＝f（x）sin x；
②由条件f'（x）cos x－f（x）sin x，一般构造函数F（x）＝f（x）cos x；
③由条件，一般构造函数F（x）＝；
④由条件，一般构造函数F（x）＝.
【例5】（多选）已知偶函数y＝f（x）对于任意的x∈满足f'（x）·cos x＋f（x）·sin x＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的是 （ ）
A.f＜f
B.f＞f
C.f（0）＜f
D.f＜f
解析 ∵偶函数y＝f（x）对于任意的x∈满足f'（x）·cos x＋f（x）·sin x＞0，且f'（x）·cos x＋f（x）·sin x＝f'（x）·cos x－f（x）·（cos x）'，∴可构造函数g（x）＝，则g'（x）＝＞0，∴g（x）为偶函数且在上单调递增，∴g＝g＝＝2f，g＝g＝＝f，g＝＝f，由函数单调性可知g＜g＜g，即f＜f＜2f，∴B、D正确，A错误；对于C，g＝g＝f＞g（0）＝f（0），∴C正确，故选B、C、D.
答案 BCD
【变式】已知函数f（x）定义在上，f'（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f'（x）tan x成立，又知f＝，则关于x的不等式f（x）＞sin x的解集是 .
解析：∵f（x）＜f'（x）tan x，∴f'（x）sin x－f（x）cos x＞0，令g（x）＝，∴g'（x）＝＞0，∴g（x）在上为增函数，由f（x）＞sin x，∴＞1＝，∴x＞，∴不等式的解集为.
答案：
四、构造具体函数关系式
【例6】 若ln x－ln y＜－（x＞1，y＞1），则 （ ）
A.ey－x＞1 B.ey－x＜1
C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1
解析 依题意，ln x－＜ln y－，令f（t）＝t－（t≠0）.则f'（t）＝1＋＞0，∴f（t）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增；又x＞1，y＞1，得ln x＞0，ln y＞0，又ln x－＜ln y－.则f（ln x）＜f（ln y）.又f（t）在（0，＋∞）上单调递增.则ln x＜ln y，∴1＜x＜y，即y－x＞0，∴ey－x＞e0＝1，A正确，B不正确；又y－x－1无法确定与0的关系，故C、D不正确.
答案 A
【变式】已知α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是 （ ）
A.α＞β B.α2＞β2
C.α＜β D.α＋β＞0
解析：B 构造函数f（x）＝xsin x，则f'（x）＝sin x＋xcos x.当x∈时，f'（x）≥0，f（x）是增函数，当x∈时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，又f（x）为偶函数，∴αsin α－βsin β＞0 αsin α＞βsin β f（α）＞f（β） f（｜α｜）＞f（｜β｜） ｜α｜＞｜β｜ α2＞β2，故选B.构造法解f（x）与f'（x）共存问题
高考中有这样一类题型，题目中不是给出具体的函数解析式，而是给出函数f（x）及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，该类试题具有一定的难度，下面总结了几种常见类型及解题方法.
一、利用f（x）与xn构造函数
利用f（x）与xn构造函数：
①出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）；
②出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝.
【例1】已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ；
【例2】设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是 .
【变式】设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf'（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为 .
二、利用f（x）与ex构造函数
利用f（x）与ex构造函数：
①出现f'（x）－nf（x）的形式，构造函数F（x）＝；
②出现f'（x）＋nf（x）的形式，构造函数F（x）＝f（x）enx.
【例3】已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且满足：（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，f（2－x）＝f（x）·e2－2x，则下列判断一定正确的是（ ）
A.f（1）＜f（0） B.f（2）＞e2f（0）
C.f（3）＞e3f（0） D.f（4）＜e4f（0）
【例4】若定义在R上的函数f（x）满足f'（x）－2f（x）＞0，f（0）＝1，则不等式f（x）＞e2x的解集为 .
【变式】f（x）为定义在R上的可导函数，且f'（x）＞f（x），对任意正实数a，下列式子一定成立的是 （ ）
A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0）
C.f（a）＜ D.f（a）＞
三、利用f（x）与sin x，cos x构造函数
利用f（x）与sin x，cos x构造函数的常见类型：
①由条件f'（x）sin x＋f（x）cos x，一般构造函数F（x）＝f（x）sin x；
②由条件f'（x）cos x－f（x）sin x，一般构造函数F（x）＝f（x）cos x；
③由条件，一般构造函数F（x）＝；
④由条件，一般构造函数F（x）＝.
【例5】（多选）已知偶函数y＝f（x）对于任意的x∈满足f'（x）·cos x＋f（x）·sin x＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的是 （ ）
A.f＜f
B.f＞f
C.f（0）＜f
D.f＜f
【变式】已知函数f（x）定义在上，f'（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f'（x）tan x成立，又知f＝，则关于x的不等式f（x）＞sin x的解集是 .
四、构造具体函数关系式
【例6】 若ln x－ln y＜－（x＞1，y＞1），则 （ ）
A.ey－x＞1 B.ey－x＜1
C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1
【变式】已知α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是 （ ）
A.α＞β B.α2＞β2
C.α＜β D.α＋β＞0
