解析版：山东省菏泽市15所重点中学2015-2016学年高一下期期末联考数学试题

山东省菏泽市15所重点中学2015-2016学年高一下期期末联考
数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题：共10题
每题5分
共50分
1．把表示成的形式，使最小的值是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】本题主要考查终边相同的角的表示方
( http: / / www.21cnjy.com )法、弧度制等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力.若，则，所以当时，最小，此时的值是，故选A.
【技巧点拨】终边相同的角相差)的整数倍，解此类问题的关键是正确理解终边相同的角的“无限性”，以及整数在表示这种“无限性”时起到的作用.
2．设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是
A.1
B.4
C.1或4
D.
【答案】A
【解析】本题主要考查弧度数的计算、弧度制下
( http: / / www.21cnjy.com )扇形的弧长和面积公式等基础知识,意在考查考生的运算求解能力.设扇形中心角的弧度数为，半径为，由题意得，2，2，解得2，故选A.
【技巧点拨】在弧度制背景下
( http: / / www.21cnjy.com )解扇形的弧长、面积问题，首先要记准弧度数计算公式，扇形面积公式=，其次要注意方程思想的应用.
3．已知角的终边过点，()，则的值是
A.1或-1
B.或
C.1或
D.-1或
【答案】B
【解析】本题主要考查任意角三角函数的定
( http: / / www.21cnjy.com )义等基础知识,意在考查考生的运算求解能力.由题意得，,当时，;
当时，.综上可知,的值是或.
【技巧点拨】根据任意角三角函数的定
( http: / / www.21cnjy.com )义，求三角函数值(或参数的值)，关键是在角的终边上任取一点，求出，根据求解，含参数时要注意依据参数的符号或角的终边所在象限进行分类讨论.
4．如图是某运动员在某个赛季得分的茎叶图统计表，则该运动员得分的中位数是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.2
B.24
C.23
D.26
【答案】C
【解析】本题主要考查茎叶图、中位数
( http: / / www.21cnjy.com )等基础知识,意在考查考生的数据处理能力、运算求解能力.由题意得，该运动员得分由小到大排列为：12,15,22,23,25,26,31，中位数为23，故选C.
【技巧点拨】解答此类问题，一方面要读懂茎叶图
( http: / / www.21cnjy.com )，知道样本数据是多少，另一方面要知道平均数、众数、中位数、方差、标准差等数字特征的计算方法.计算中位数时，要首先将数据按大小关系排序，若有奇数个数据，则中间位置的数就是中位数，若有偶数个数据，则中间两个数的平均数是中位数.
5．甲乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】本题主要考查古典概
( http: / / www.21cnjy.com )型的概率计算公式等基础知识,意在考查考生的运算求解能力和应用意识.两人随机出拳，所有可能的基本事件为：(剪子，剪子)，(剪子，包袱)
，(剪子，锤)
，(包袱，剪子)，(包袱、包袱)
，(包袱，锤)
，(锤，剪子)
，(锤、包袱)，(锤，锤)
，共9个基本事件，记“一次游戏两人平局”为事件A，则事件A包含的基本事件为(剪子，剪子)，(包袱、包袱)
，(锤，锤)
，共3个基本事件，根据古典概型的概率计算公式得，故选A.
【技巧点拨】解决古典概型
( http: / / www.21cnjy.com )的概率计算问题，首先可用列举法或树状图法将基本事件一一列出，求出基本事件个数，然后在这些基本事件中找出题目要求的事件所包含的基本事件，并求出其个数,最后根据公式求概率.
6．把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得的图象的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】本题主要考查三角函数图象的左右
( http: / / www.21cnjy.com )平移、左右伸缩变换等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力.把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象，再将所得的图象的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是．故选D.
【技巧点拨】对于函数的图象变换，要注意以下三种变换方法：⑴左右平移变换遵循“左加右减”的法则；⑵左右伸缩变换，要与周期计算公式结合记忆，即变大左右缩短，变小左右伸长；⑶上下伸缩变换，要与最值结合记忆，即变大上下伸长，变小上下缩短.
7．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】本题主要考查程序框图中的循环结构等基础知识,意在考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.
由题意得，此程序运行过程如下HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"：，，所填条件否，，，所填条件否，，，所填条件否，，，所填条件否，，，，所填条件是，输出所以判断框内应填.故选D.
【技巧点拨】当循环次数较少时，列出每一步的运行结果，直至循环结束，当循环次数较多时，列出前面的若干步骤，观察、归纳规律，从而得出答案.
8．已知向量，，且与共线，，则
A.
B.
C.或
D.或
【答案】D
【解析】本题主要考查向量共线的坐标表
( http: / / www.21cnjy.com )示，同角三角函数关系，根据三角函数值求角等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力.因为与共线，所以，，所以又因为，所以或.
【技巧点拨】向量共线的常见题型有两种：
( http: / / www.21cnjy.com )一是利用向量共线证明三点共线，二是已知向量共线求参数的值，解题的根本依据是向量共线定理.特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件可以用对应坐标成比例(如本题中)记忆.
9．某地地铁3号线北段于201
( http: / / www.21cnjy.com )6年12月16日开通运营，已知地铁列车每12分钟发一班，其中在车站停1分钟，则乘客到达站台立即上车(不需要等待)的概率是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】本题主要考查几何概型的概率计算
( http: / / www.21cnjy.com )等基础知识,意在考查考生的运算求解能力和应用意识.记“乘客到达站台立即上车(不需要等待)”为事件A，试验发生包含的事件是地铁列车每12分钟发一班，共有12分钟，因为地铁列车在车站停1分钟，试验事件A发生，共有1分钟，根据几何概型的概率公式可得.故选B.
【技巧点拨】解答几何概率实际问题的关键是要
( http: / / www.21cnjy.com )建立概率模型，找出试验全部结果构成的几何度量(长度、面积、体积)，把问题转化为几何概型问题，利用几何概型的概率计算公式求解.
10．扇形的半径为2，圆心角，点是弧的中点，点在线段上，且,则的值为
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】本题主要考查向量的数量积、向量
( http: / / www.21cnjy.com )减法的几何意义等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力.由题意得，，，的夹角为，的夹角为，所以===.
【技巧点拨】此类问题是根据平面向量的数
( http: / / www.21cnjy.com )量积的定义计算几何图形中相关向量的数量积，
解题时，首先要根据图形之间的关系，用长度和相互之间夹角都已知的向量(如本题中)表示有关向量向量(如本题中)，然后平面向量的数量积的定义计算.

第II卷（非选择题）
二、填空题：共5题
每题5分
共25分
11．若，则的值为___________.
【答案】
【解析】本题主要考查同角三角函数关系等基
( http: / / www.21cnjy.com )础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力.====
【技巧点拨】已知，求HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"关于的齐次式(分式形式)的值，可以分子分母同除以(或分子、分母同时除以，使其转化为关于的式子.对于形如 的式子可以除以1，其中 化为分式形式.
12．函数(,,)的部分图象如图，则其解析式为___________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】本题主要考查对函数的图象的影响、知函数部分图象求其解析式等基础知识,意在考查考生的数形结合思想和运算求解能力.由函数图象可知，周期 ,解得，所以，又因为点在函数的图象上，所以，所以,所以,又，所以，综上所述，.
【技巧点拨】已知函数(,)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．
1.值的确定方法：一般可由图象上的最大值和最小值或者来确定;
2.值的确定方法：在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期，然后据求得的值．
3. 值的确定方法：方法１：“关键
( http: / / www.21cnjy.com )点对等法”．确定了的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人，它应与曲线上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线在区间[0，2]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、、、、,若设所给图象与曲线上对应五点的横坐标为, 则顺次有， ，，，,由此可求出的值.
13．某研究性学习小组要进行城市空
( http: / / www.21cnjy.com )气质量调查，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，其中甲、乙两组的城市数分别为8和24，若用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查，则丙组中应抽取的城市数为___________.
【答案】4
【解析】本题主要考查分层抽样等基础知识,意在考查考生的运算求解能力和应用意识.
由题意得，抽样比为，所以甲组中应抽取的城市数为，乙组中应抽取的
城市数为，所以丙组中应抽取的城市数为12-2-6=4.
【技巧点拨】分层抽样是“按比例抽样”
( http: / / www.21cnjy.com )，每层样本容量与该层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等，可据此求出“抽样比”，再求出各层抽取的个体数.
14．设，，，则三数由大到小关系为___________.
【答案】
【解析】本题主要考查三角函数的单调性、
( http: / / www.21cnjy.com )诱导公式、不等式的性质等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力.，，，因为函数在是增函数，,所以，又因为,所以，综上知，，即.
【技巧点拨】比较两个三角函数
( http: / / www.21cnjy.com )值的大小常常先将它们化为同名函数，然后将角化为在该函数的同一单调区间内的角，最后利用函数的单调性来比较函数值的大小．
15．下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；
③某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛；事件“至少1名女生”与事件“全是男生”是对立事件；
④第二象限的角都是钝角.
以上说法正确的序号是___________(填上所有正确命题的序号).
【答案】
【解析】本题主要考查方差、线性回归方程、对立事件、象限角等基础知识,意在考查考生的逻辑推理能力.
①正确.方差是描述样本数据波动大小的量，所以将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②错误.对于回归方程，变量增加一个单位时，平均减少5个单位；
③正确.这两个事件不会同时发生，并事件是必然事件，所以这两个事件是对立事件；
④错误.钝角是第二象限的角，但是第二象限的角不一定是钝角，如是第二象限的角但不是钝角.所以正确说法的序号是.
【技巧点拨】解答此类问题的
( http: / / www.21cnjy.com )关键是正确理解有关概念，并注意与近似概念的区分.如本题中，应注意以下知识：(1)数据组的平均数为，方差为，标准差为，则数据组(，为常数)的平均数为，方差为，标准差为；(2)回归方程，时，变量增加一个单位时，平均增加 个单位，时，变量增加一个单位时，平均减少 个单位；(3)对立事件的特征：一次试验中，不会同时发生，且必有一个事件发生；(4)第二象限角是终边落在第二象限的角，而钝角是大于小于的角.

三、解答题：共6题
第16-20每题12分
第21题15分
共75分
16．(1)化简.
(2)计算.
【答案】(1)原式=
(2)
【解析】本题主要考查诱导公式、同角三角函数
( http: / / www.21cnjy.com )关系等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力.(1)先用诱导公式化简，再同角三角函数的商关系化弦为切；(2)首先将已知角化为的形式，再用诱导公式一化简求值.
【技巧点拨】口诀“奇变偶不变，符号看象限”，是记住诱导公式的有效方法.
用诱导公式
求任意角的三角函数值的一般步骤:
(1)负角变正角,再写成;(2)转化为锐角三角函数求值.
17．已知函数(其中)，若点是函数图象的一个对称中心.
(1)试求的值；
(2)先列表，再作出函数在区间上的图象.
【答案】(1)因为点是函数图象的一个对称中心，
所以，，
所以，，因为，所以，.
(2)由(1)知，列表如下，
则函数在区间的图象如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】本题主要考查三角函数的对称中心、五点法画图等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力和数形结合思想.
(1)因为点是函数图象的一个对称中心，所以将代入，值为0；(2)由整体取0、、、、来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点，最后根据正弦曲线的特征通过“割”“补”画出的图象.
【技巧点拨】函数图象的对称中心横坐标使得值为0，函数图象的对称轴处取得最值.利用五点作图法画函数图象的关键是准确找出五个关键点，找点时让整体取0、、、、得到的函数的图象在一个周期内的“五点”.画图时，应注意“五点”横向间的距离相等，均为T.
18．某校从参加高三模拟考试
( http: / / www.21cnjy.com )的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求分数在[120,130)内的频率；
(2)若在同一组数据中，将该组区
( http: / / www.21cnjy.com )间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为＝105)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,
( http: / / www.21cnjy.com )130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.
【答案】(1)分数在内的频率为
.
(2)估计平均分为
.
(3)由图像可知，分数段的人数为 (人).
分数段的人数为 (人).
∵用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在分数段内抽取2人，并分别记为；
在分数段内抽取4
( http: / / www.21cnjy.com )人，并分别记为；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”为事件，则基本事件共有
共15种.
则事件包含的基本事件有，共9种.
.
【解析】本题主要考查了利用频率分布直方图求落在某区间的频率，并会求平均数；掌握分层抽样方法；
会求古典概型的概率。
19．下表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对照数据：
2
4
6
8
10
5
6
5
9
10
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(2)根据(1)求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？
【答案】(1)由题意，得=，
＝＝6,＝＝7，
＝，
则＝＝0.65，
＝－＝7－0.65×6＝3.1，
故线性回归方程为.
(2)根据线性回归方程的预测，现在生产当吨时，产品消耗的标准煤的数量为：
，
答：预测生产20吨甲产品的生产能耗16.1吨标准煤.
【解析】本题主要考线性回归方程及其应用等基础知识,意在考查考生的数据处理能力、运算求解能力和应用意识.
(1)首先求出，，，，然后利用公式计算，最后写出线性回归方程；(2)将代入，求出生产20吨甲产品的生产能耗的近似值.
【技巧点拨】已知样本数据求线性回
( http: / / www.21cnjy.com )归方程可直接利用公式，求出回归系数，，得到线性回归方程.若样本数据未全知，则要注意利用回归直线过样本中心点求系数.利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值.
20．已知与的夹角为，且.
(1)求和；
(2)当为何值时，与垂直？
(3)求与的夹角.
【答案】(1),
.
.
(2)=
=,.
(3)设夹角为,则.又，∴夹角.
【解析】本题主要考查平面向量数量积
( http: / / www.21cnjy.com )的定义、向量的模、向量的垂直和夹角等基础知识,意在考查考生的运算求解能力.(1)= 先求，再计算(2)根据
列方程求出；(3)
根据向量夹角公式计算.
【技巧点拨】平面向量数量积的应用(1
( http: / / www.21cnjy.com ))根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量， (夹角公式)，，可以分别用来解决有关长度、角度、垂直的问题．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
21．已知函数，()的图象中相邻两条对称轴间的距离为，且点是它的一个对称中心.
(1)求的表达式；
(2)并求出的单调递增区间；
(3)若在上是单调递减函数，求的最大值.
【答案】(1)由题意得的最小正周期为，
∴∴∴.
又是它的一个对称中心，∴，，
∴，，∵,
∴.
∴.
(2)由,得,
∴的单调递增区间为
(3)因为又在上是减函数,
∴ 又∴ 即的最大值为.
【解析】本题HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"主要考查(或)的周期、对称中心、单调性等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力.
(1)根据已知函数图象的特征求函数
( http: / / www.21cnjy.com )的周期，进一步用周期公式求出，根据点是对称中心求出；(2) (或)(其中)的单调减区间可由
(或 求出；(3)根据区间是函数的单调递减区间的子集列不等式，求的取值范围得到其最大值.
【技巧点拨】1.或的形式，根据与的单调区间列不等式的方法去解答．列不等式的原则是：
①一般当为负值时，应用诱导公
( http: / / www.21cnjy.com )式化为正值；②A＞0，代入或的相应单调区间内求出，A＜0时，则代入相反的单调区间之内．2．利用单调性确定的范围的方法:对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．