导数中的综合问题：利用导数研究函数的零点
题型1：求函数的零点个数
方法提炼
因为函数的零点个数是函数图像与轴交点的个数,所以可以借助函数图像的特征迅速求解函数的零点个数问题.对于含参函数的零点个数问题，一般可从三个方面入手:一是利用导数研究函数的单调性和极值,作出函数的大致图像,根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数；二是分离参数，将问题转化为求直线和的图像的交点个数问题；三是构造新函数，将问题转化为研究两函数图象的交点问题．
已知，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数、由导数求函数的最值（含参）
【分析】求出函数的导数，利用导数讨论单调性，确定其最大值为正，再借助零点存在性定理推理作答.
【详解】函数定义域为，求导得：，
令，，显然在上单调递减，而，，，
则存在，使得，即，当时，，，当时，，，
因此，在上单调递增，在上单调递减，
，
而，则存在使得，即在上存在唯一零点，
又，令，，
则在上单调递减，，，
于是得，则存在使得，即在上存在唯一零点，
综上得：函数的零点个数为2.
故选：C
函数（且）的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究函数的零点
【分析】由可得，令，，可得出，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论.
【详解】由可得，即，
因为且，则，
令，令，则，
，
令，则，
所以，函数在上单调递增，
因为，
，
令，其中，
则，所以，函数在上单调递增，
所以，，
由零点存在定理可知，存在，使得，
且当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
所以，函数的零点个数为，即函数的零点个数为.
故选：B.
已知函数.
(1)求曲线在原点处的切线方程；
(2)讨论在上的零点个数.
【答案】(1)
(2)2
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点
【分析】(1)由导数的几何意义进行求解；
(2)求出函数的导数，当时，在上单调递减，，0是的一个零点；当时，进行二次求导结合零点存在性定理进行判断.
【详解】（1）解：由已知可得，，
则，，
所以曲线在原点处的切线方程为，即.
（2）由（1）知，.
①当时，有，，
所以恒成立，
所以在上单调递减，，0是的一个零点；
②当时，，
设，则恒成立，
所以，即在上单调递增.
又，，
所以根据零点存在定理可知，，使得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
又，所以.
因为，
根据零点存在定理可知，，使得.
综上所述，在上的零点个数为2.
已知函数
(1)当时，讨论的单调性.
(2)若，讨论函数的零点个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）先求得导函数，再求导函数的零点，对两个零点分类讨论即可求得的单调性；
（2）令，得，即，发现其结构相同，
再令，可得，故，问题转化为求函数的值域，
分析其图象与直线的交点个数即得答案.
【详解】（1）的定义域为
，令得
①当时，恒成立，则无递增区间，递减区间为；
②当时，，令，得，令得，
的递增区间为，递减区间为和；
③当时，，令，得，令得，
的递增区间为，递减区间为和，
综上：当时，无递增区间，递递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为和；
当时，的递增区间为，递减区间为和.
（2）若，
令，得，即，
也即，再令，
则在单调递增，故，所以，
可得，令，
令得，所以在上单调递增，在上单调递减，
且当；，所以，
综上：当时，该函数有0个零点；
当或时，该函数有1个零点；
当时，该函数有2个零点.
已知函数，
(1)时，求函数在上的单调区间；
(2)时，试讨论在区间上的零点个数.
【答案】(1)在上单调递减
(2)时，在区间有三个零点
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求导，得，利用导数的相关性质，得到的单调性.
（2）通过导数，分类讨论，，，，进而分析的图像，可求解.
【详解】（1）时，，∴
而在上单调递增，而
∴，.
∴在上单调递减
（2）当时：
①时，， ∴ ∴在区间上无零点
②时，方程的解等价于方程的解.
时，在单调递增，
而
∴唯一使得且在单调递减，单调递增
而，
∴在上有两个零点
③时，，，
令，则在上单调递减
，，
唯一使得
∴在单调递增，上单调递减
而，，
∴唯一使得
∴在单调递增，上单调递减
而，
∴在上无零点.
④时
∴在单调递减
而，
∴唯一使得
综上所述：时，在区间有三个零点
题型2：由函数零点情况求参数
方法提炼
研究此类问题可以从以下两点考虑:
根据区间上零点的个数情况,估计出函数图像的大致形状,从而推导出参数需要满足的条件,进而求出参数值或参数的取值范围.
可以先求导,通过求导分析函数的单调性,再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件,此时,由于函数比较复杂,常常需要构造新函数,通过多次求导,层层推理得解.
已知函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 在区间 上存在零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)的极大值的极小值
(2)
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求导，根据导数确定函数的单调性，即可根据极值的定义求解，
（2）分离参数后构造，求导可得函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
令，则或，
当和时，，
当时，，
故在和单调递增，在单调递减，
故当时，取极大值
当时，取极小值
（2）令，则，则，
令，
则，
令，则，
由于故，
即，所以在单调递减，
故，故，则在单调递增，
且当时，，当时，，
故，即，
故实数的取值范围为
已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，若函数有两个零点，求的取值范围
【答案】(1)见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，根据导数的符号，即可求出函数的单调区间；
（2）函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，即直线与函数的图象有两个交点，令，求出函数的单调区间，然后画出函数的简图，结合图像即可得出答案.
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递减；
当时，当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），
函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，
也即方程有两个不相等的实数根，
即直线与函数的图象有两个交点，
令，则，
当或时，，当时，，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以，，
当时，，且，
所以，函数的图象大致如图，
则的取值范围是.
已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）对函数求导，结合函数定义域及的正负即可求解；
（2）“曲线与直线有且仅有一个交点”等价于“方程有且只有一个根”，进而转化为“函数有唯一零点”， 对函数求导，分类讨论函数的单调性即可求解.
【详解】（1）依意得，函数的定义域为，
求导得，
由，得，
当时，；当时，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）若曲线与直线有且仅有一个交点，
即方程有且只有一个根.
设函数，，即函数有唯一零点，
求导得，
，当且仅当时取等号，
∴当，即时，，函数在上单调递增，且，
∴函数在上有唯一零点，符合题意；
当时，，使得，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，当时，，
则使得，
即函数在上至少有两个零点，不合题意.
所以实数a的取值范围为.
已知函数.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，通分、化简为，再对分类讨论，分别求出函数的单调区间，即可得解；
（2）依题意参变分离可得在上有两个不等实根，即直线与有两个交点，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的值域，即可得解.
【详解】（1）解：定义域为，
所以
当时，，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，有两根分别为，
当时：令，解得，当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
令，解得，当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
当时，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，所以在上单调递增；
综上所述：
当时：的单调递增区间是，单调递减的区间是
当，的单调递增区间是，上单调递增，单调递减的区间是
当，的单调递增区间是，上单调递增，单调递减的区间是
当时：的单调递增区间是，无减区间
（2）解：.
则在上有两个不等实根，即直线与有两个交点.
令，，，
令，解得，
当时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值即最小值，即，
又，，所以，
所以.
已知．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)已知方程恰有3个实根，求的值．
【答案】(1)在上递减，递增
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）利用求导思想，结合证明来判断导数的正负，从而来确定单调性；
（2）利用分类思想，可得到单调性判断，根据三个实根，先确定，然后再借助导数确定单调性，并证明两个极小值相等，从而可得出结论.
【详解】（1）当时，求导得，
构造，求导得，
则当时，，所以在时单调递增；
则当时，，所以在时单调递减；
即，则，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）同理，由（1）得，
所以当时，有
则当时，，
当时，，
则在上单调递减，在上单调递增．
此时方程最多只有两根，不满足题意；
则讨论的情形：
由，存在三个零点，分别为和1，
其中的零点由数形结合可得：
可知，
由此可得：当时，，则，
所以在区间上单调递减；
当时，，则，
所以在区间上单调递增；
当时，，则，
所以在区间上单调递减；
当时，，则，
所以在区间上单调递增；
此时依次有2个极小值点和一个极大值点1，
因为，所以
则，
，
所以有，即两个极小值相等，
所以方程有3个实根，必然，
即．
已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)答案见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】零点存在性定理的应用、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）求导，判断单调性根据极值的定义判断求解；
（2）求导，对按 进行讨论，写出函数的单调区间；
（3）根据（2）的单调区间，对进行分类讨论，结合单调性和极值，零点存在性定理，即可得到的取值范围.
【详解】（1）当时，.
.
令，即.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
在处取得极小值为，无极大值.
（2）
①当时， 在上递减；
②当时，令，，
当时，，当时，，
在上递减，在上递增.
（3）由（1）知，当时，在上递减；至多有1个零点，不合题意.
当时，有两个零点，则，即，
令，单调递增，.
，
，，
由零点存在定理知，在存在一个零点.
又，
，由零点存在定理知，在存在一个零点.
综上：时，有两个零点.
已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若有3个零点，，，其中.求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间
(2)
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求导函数，利用导数求解单调区间即可.
（2），由得，则除1外还有两个零点，对求导分类讨论其单调性，当时，在单调递减，不满足，当时，要是除1外还有两个零点，则不单调，则，再由韦达定理求出其余两个零点的范围，结合函数的单调性说明所求范围即为所求.
【详解】（1）当时，，，
则在恒成立，所以在单调递增，
故的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2），
，，则除1外还有两个零点，
，
令，
当时，在恒成立，则，
所以在单调递减，不满足，舍去；
当时，要是除1外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得，
当时，设的两个零点为，，
则，，所以
当时，，，则单调递增；
当时，，，则单调递减；
当时，，，则单调递增；
又，所以，，
而，且，
，且，
所以存在，，使得，
即有3个零点，，，
综上，实数的取值范围为.
已知函数，若函数f（x）在区间，各恰有一极值点，求实数a的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.15
【知识点】根据极值点求参数
【分析】通过研究导函数的正负，来判断出函数的单调性，进而分析出其极值，最后求出实数a的取值范围.
【详解】，
令，，
令，则，
（1）当时，，
所以在上单调递减，
又
当时，，
在上单调递增，
即，在上单调递减，
f（x）在区间上，无极值，
当时，当时，是减函数，
，，
所以，存在使，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
由，得，
又
所以，存在，使，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以在上有一个极值点，
（2）当时，
令，
则在上单调递增，
，，
所以，存在，使得，
当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
，即，
则存在，使得，
当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
又，
当时，，即，
，
所以，存在，使得，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以在上有一个极值点，
综上，f（x）在区间，各恰有一极值点，则.
故答案为：.导数中的综合问题：利用导数研究函数的零点
题型1：求函数的零点个数
方法提炼
因为函数的零点个数是函数图像与轴交点的个数,所以可以借助函数图像的特征迅速求解函数的零点个数问题.对于含参函数的零点个数问题，一般可从三个方面入手:一是利用导数研究函数的单调性和极值,作出函数的大致图像,根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数；二是分离参数，将问题转化为求直线和的图像的交点个数问题；三是构造新函数，将问题转化为研究两函数图象的交点问题．
已知，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
函数（且）的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
已知函数.
(1)求曲线在原点处的切线方程；
(2)讨论在上的零点个数.
已知函数
(1)当时，讨论的单调性.
(2)若，讨论函数的零点个数.
已知函数，
(1)时，求函数在上的单调区间；
(2)时，试讨论在区间上的零点个数.
题型2：由函数零点情况求参数
方法提炼
研究此类问题可以从以下两点考虑:
根据区间上零点的个数情况,估计出函数图像的大致形状,从而推导出参数需要满足的条件,进而求出参数值或参数的取值范围.
可以先求导,通过求导分析函数的单调性,再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件,此时,由于函数比较复杂,常常需要构造新函数,通过多次求导,层层推理得解.
已知函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 在区间 上存在零点，求实数的取值范围.
已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，若函数有两个零点，求的取值范围
已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数a的取值范围．
已知函数.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
已知．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)已知方程恰有3个实根，求的值．
已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若有两个零点，求的取值范围.
已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若有3个零点，，，其中.求实数的取值范围.
已知函数，若函数f（x）在区间，各恰有一极值点，求实数a的取值范围为 .
