玉溪2025—2026学年上学期高三适应性测试（二）
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C D D B A D
【解析】
1．由得或，，由，则，所以．故选：．
2．因为复数，根据复数的虚部概念可知，该复数的虚部为．故选：．
3．本题主要考查等差数列的通项公式以及求和，属于基础题．根据已知条件求出首项和公式，再根据前项和公式求和即可．设公差为，，，
，，．故选C．
4．对于，二次函数的对称轴为，不是偶函数，故A错误；对于，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；对于，，定义域为，所以函数是偶函数，结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；对于，，定义域为，所以函数是偶函数，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数有最小值，故D正确．故选：．
5．因为双曲线的实轴长为，所以．因为双曲线的离心率为，所以，则，则．双曲线的两个焦点坐标为和，因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线为椭圆，其中焦点坐标为和，长轴长为，所以曲线中的长半轴轴为，焦半距为，则短半轴长为，所以曲线的标准方程为．故选D．
6．对于，当掷出，此时事件同时发生，所以与不是互斥事件，故A错误；
对于，由，，，满足，故B正确；对于，由知：，故C错误；对于，由，，所以，故 D错误．故选：．
7．由，两边平方得，即，而，故．所以，而，解得，
法一：所以．
法二：由和，可解得，得，
则．故选：．
8．令 ，则条件转化为，即
，因此等价于．
，故在上严格递减，因此，当且仅当，即，由得，代入得，根据均值不等式，，当且仅当此时时取等号．故选D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BC BCD ABD
【解析】
9．对于选项，将数据从小到大排序为、、、、、、，一共个数，，不是整数，所以第百分位数为第个数，即，故A错误；对于选项，由题意可得，所以，，故B正确；对于选项，样本点的残差为，样本点的残差为，由题意可，可得，故C正确；对于选项，由，可得，所以，所以，故D错误．故选：．
10．函数的定义域为，求导得，
当时，函数在上单调递增，最多一个解，不符合题意，
当时，由，得或，由，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
对于，依题意，，实数的取值范围为，A错误；
对于，由选项知，，，B正确；
对于，依题意，，则，
由，得，整理得，
则，当且仅当时取等号，解得，C正确；
对于，由选项知，且，
由，得，则，即，，
令函数，求导得，
当时，，当时，，在上递减，在上递增，
因此，则，即，D正确．故选：．
11．对于选项A：因为三棱柱为正三棱柱，点为的中点，所以，因为，所以平面，又平面，
所以所以A正确．
对于选项B：取的中点，连接．
在中，为中位线，所以，又平面，平面，则平面．
在中，为中位线，所以又平面，平面，则平面．
又，平面，所以平面平面．
又为上底面的动点，则的轨迹为．
又，所以B正确．
取的中点，连接，
则以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，．
所以，
所以与夹角的余弦值为所以C错误．
对于选项D：
因为，，．
．
设平面的法向量为，则
，则，令，则．
因为点为的中点，则．
在绕旋转过程中，设旋转角为，则．
所以，所以．
所以与平面所成角的正弦值为，．
因为，所以，所以，所以D正确．故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
题号 12 13 4
答案
【解析】
12．解：记两人恰好有人命中为事件，则．故答案为．
13．解：因为当时，，解得，函数有一个零点；
因此，要使函数有两个零点，只需看时，
当时，函数对称轴为，
若，只需，解得，
若，只需，可得，
若，有且只有一个零点，不满足条件，综上，的取值范围为．故答案为：．
14．本题考查椭圆的焦点三角形问题、与椭圆离心率有关的参数问题，属于难题．由椭圆方程求得顶点与焦点坐标，再由椭圆的基本性质进行后面的求解可得．因为“黄金椭圆”的离心率，所以．又因为，所以，．
连接，，设的内切圆半径为，则，
即，，，
，，．故答案为：；．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）（4分）由题意得 ，抛物线的标准方程为；
（2）（9分）不妨设，由已知结合对称性可得，
又为等腰直角三角形，
，解得，的面积为．
【解析】本题考查抛物线的标准方程，抛物线中的面积问题，属于基础题．
（1）由已知可得值，则抛物线方程可求；
（2）不妨设，由对称性结合已知可得关于，的方程组，求解，的值，则三角形面积可求．
16．（15分）
解：（1）（6分）向量，向量，因为，所以，
由正弦定理，得，
因为，所以，则，又，所以；
（2）（9分）若，，由余弦定理，得，即，解得或舍去，所以的面积．
【解析】本题考查正弦定理与余弦定理、三角形面积公式，向量的共线问题，属于基础题．
（1）根据向量平行得到，利用正弦定理即可求角的大小
（2）由余弦定理，得，故由面积公式可得的面积．
17．（15分）
解：（1）（7分）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，，，
已知，，且与相互独立，各轮之间也相互独立，
二人在两轮比赛中做对题有三种情况：
情况一：甲做对题，乙做对题，
甲做对题，乙做对题的概率为；
情况二：甲做对题，乙做对题，
甲做对题，乙做对题的概率为；
情况三：甲做对题，乙做对题，
甲做对题的概率为，
乙做对题的概率为，
所以甲做对题，乙做对题的概率为，
所以二人在两轮比赛中做对题的概率为；
（2）（8分）设“甲第轮做对”为事件，“乙第轮做对”为事件，，，
已知，，，，且各事件相互独立，
二人在两轮比赛中做对题有两种情况：
情况一：甲做对题，乙做对题，
甲做对题的概率为，
乙做对题的概率为，
所以甲做对题，乙做对题的概率为；
情况二：甲做对题，乙做对题，
甲做对题的概率为，
乙做对题的概率为，
所以甲做对题，乙做对题的概率为，
所以二人在两轮比赛中做对题的概率为．
18．（17分）
解：（1）（4分）证明：平面，，
，
，，平面，平面，
平面．
（2）（7分）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，
为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
则．
二面角的余弦值为．
（3）（6分）直线在平面内，理由如下：
点在上，且，
，
平面的一个法向量为，
，
故直线在平面内．
【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于较难题．
（1）推导出，，由此能证明平面．
（2）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
（3）求出，平面的一个法向量为，，从而直线在平面内．
19．（17分）
解：（1）（5分）
，令，得，
当，即时，在上恒成立，所以在上单调递减
当，即时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减。
（2）（12分）
法：，即，即在上恒成立．
设，，则，在上为减函数，
又，因此存在唯一实数，使得，得得
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，即．
因此，即，所以的最小整数值为．
法：，即，即在上恒成立．
当时，有，即，猜想的最小整数值为下证成立．
设，，则，在上为减函数．
又，，因此存在唯一实数，使得，得得
所以在上单调递增，在上单调递减，所以
因为，所以，．
所以，即成立．
所以的最小整数值为．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归思想与逻辑推理与数学运算能力，属于难题．
（1）求得，分当，即与当，即两类讨论，可得的单调性；
（2）法：在上恒成立，构造函数，，求导，分析得存在唯一实数，使得在上单调递增，在上单调递减，可求得，进一步分析可得，从而可得答案；
法：依题意，可得在上恒成立，当时，有，即，猜想的最小整数值为，再构造函数，，利用导数证成立即可．绝密★启用前
玉溪2025—2026学年上学期高三适应性测试（二）
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．复数的虚部为
A． B． C． D．
3．记等差数列的前项和为，，，则
A．120 B．140 C．160 D．180
4．下列函数中，是偶函数且有最小值的是
A． B．
C． D．
5． 设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线 的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为
A． B．
C． D．
6．抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件 ，则
A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件
C． D．
7．已知，且，则的值为
A． B． C． D．
8．已知函数，若，则的最小值为
A．2 B． C．1 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法中，正确的是
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为9
B．已知随机变量，若，则
C．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相 等，则
D．，，，和，，，的方差分别为和，若且， 则
10．设函数，若，且，则
A．实数的取值范围为
B．
C．
D．当时，
11．如图，在正三棱柱中，点为的中点，点在棱上， 则下列说法正确的是
A．
B．当点为的中点时，点为上底面内的动 点包括边界，若平面，则点的轨迹长度为
C．当点为靠近的四等分点时，与夹角的余 弦值为
D．当点为的中点时，将线段绕旋转 到，则在旋转过程中包含与与平面 所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知甲，乙两个投篮命中率分别是，，并且他们投篮互不影响，每人投篮次，则恰 好有一个人命中的概率为 ．
13．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
14．椭圆的离心率满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”若 是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个 焦点分别为、，为椭圆上的异于顶点的任意一点．点是 的内心，连接并延长交于，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知为坐标原点，抛物线：的焦点到准线的距离为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2），为抛物线上的两点，若直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，求的面积．
16．（15分）
已知的内角，，所对的边为，，，向量，向量，且．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
17．（15分）
错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识。某班级数学老师设计了一个错题重做小游戏。并在班级发起错题重做挑战赛。甲和乙两人组队参加挑战赛。每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响．
（1）若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为求二人在两轮比赛中做对题的概率；
（2）若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，求二人在两轮比赛中做对题的概率．
18．（17分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由．
19．（17分）
已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的最小整数值．
