重庆 2025-2026 学年度(上)高三年级入学考试
数学试题
命题: 高三命题组 、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,若 ,则 中所有元素之和为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 不等式 的解集是
A. B.
C.(-2,0) D.
3. 的展开式中常数项是 -160,则
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
4. 函数 的最大值为
A. -1 B. 3 C. 1 D.-3
5. 盒子甲中有 5 个红球和 3 个蓝球；盒子乙中有 6 个红球和 2 个蓝球. 若从甲、乙两个盒子中各随机取出 2 个球, 则取出的 4 个球中恰有 1 个蓝球的不同取法共有
A. 150 种 B. 180 种 C. 300 种 D. 345 种
6. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. 已知函数 ,则不等式 的解集为
A. B. C. D.
8. 函数 的最小值为
A. B. 1 C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知双曲线 的右焦点为 ,直线 是 的一条渐近线, 是 上一点,则下列说法中正确的是
A. 双曲线 的虚轴长为 B. 点 坐标为(2,0)
C. 离心率 D. 的最小值为
10. 已知函数 是定义在 上的奇函数, 是偶函数,当 时, , 则下列说法中正确的有
A. 时, B. 函数 的最小正周期是 4
C. D. 方程 恰有 10 个不同的实数根
11. 已知随机变量 相互独立,且 ,记 ,则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. _____.
13. 数列 ,对于任意的 ,都有 ,若 对于任意的 恒成立,则 的最大值为_____.
14. 已知函数 是定义在 上的偶函数,记 为函数 的导函数,且满足 ,则不等式 的解集为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
如图,在四棱锥 中,底面 为梯形,且 , 等边三角形 所在的平面垂直于底面 .
(1)求证: 面 .
( 2 )若四棱锥 的体积为 ,求二面角 的余弦值.
16.(15 分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极大值 ,且 ,求 的取值范围.
17.(15 分)
在圆 上任取一点 ,过点 作 轴的垂线段 为垂足.
(1)当点 在圆上运动时,求线段 的中点 的轨迹方程. (当点 经过圆与 轴的交点时,规定点 与点 重合)
(2)根据(1)中所得的点 的轨迹方程,若直线 与点 的轨迹相交于 , 两点,且 ,试判断 的面积是否为定值. 若是,求出该定值；若不是, 请说明理由.
18.(17 分)
某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备. 每套设备有一关键传感器, 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰). 购进设备时,可额外购买该传感器作为备件, 每个成本为 300 元. 在使用期间, 若备件不足需紧急采购, 则每个 800 元. 五年后未使用的备件可由厂家回购, 每个回购价为 100 元. 现需决策购买设备时应同时购买几个备件, 为此搜集并整理了 100 套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据, 得到如下频数分布表:
每套设备更换数 频数
8 20
9 30
10 50
以频率估计概率. 记随机变量 为两套设备五年内共需更换的传感器的个数, 为购买设备时同时购买的备件数.
(1)求 的概率分布列；
(2)若要求 ,求 的最小值；
(3)记净成本为 ,以净成本期望值 为决策依据,求净成本期望值 最低时的备件数 .
19.(17 分)
记函数 ;
( 1 )求函数 的极值点个数；
(2)记函数 的极值点为 ,证明:
(i) ;
(ii) 数列 单调递减.
(提示: 时, )重庆高 2026 届高三入学考试
数学参考答案
一、单项选择题:本题共 8 个题,每个题 5 分,共 40 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、多项选择题, 本题共 3 个题, 每个题 6 分, 共 18 分
题号 9 10 11
答案
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
题号 12 13 14
答案
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【详解】(1)证明:如图所示:
取 中点 ,连接 ,
因为 是等边三角形,所以 ,
因为面 面 ,面 面 面 ,
所以 面 ,而 面 ,所以 ,
又因为 ,可得 面 ;
(2)解: 因为 面 ,所以四边形 为直角梯形
设 ,则 ,可得 ,
所以 7 分
法一: (几何法)
因为 面 ,而 平面 ,所以 ,作 ,
可得 面 面 ,所以 ,
所以 为二面角 的平面角,
在 中, ,解得 ,
在 中, ,
所以 ,所以二面角 的余弦值为 . 13 分法二: (坐标法)
以 为原点, 为 轴正方向,如图建立空间直角坐标系,则 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,令 , 则 ,所以 ,
又因为平面 的法向量为 ,所以记 为锐二面角 的平面角,
则 . 13 分
16.【详解】解:(1) 函数 ,
当 时, , ..2 分
切点坐标为(1,2),切线的斜率为:
曲线 在点 处的切线方程为: ,整理得: . .4 分
(2) 函数 , .6 分
当 时, ,函数 在 上单调递增,此时函数 无极值, .8 分
当 时,令 ,得 ,
当 时, ,函数 在 单调递增,
当 时, ,函数 在 单调递减, .10 分
, .11 分
令 在 上单调递减, .12 分
等价于 ,
的取值范围是 . 15 分
17.【详解】(1)设 是 的中点,
.2 分
又 在圆 上, ,即 ,
. 线段 的中点 的轨迹方程是 . .5 分
(2) 的面积为定值,理由如下:
① 当直线 的斜率存在时,设直线
由 ,消去 ,得 , 7 分
设 两点,由韦达定理得:
则 ,
所以 ,即 , .10 分
所以 ,
所以原点 到直线 的距离为: , .12 分
所以 .13 分
②当直线 的斜率不存在时,设直线 ,设 ,则
且 ,即 ,则 ,此时
综上, 的面积为定值 1 .15 分
18.【详解】(1)设单台设备更换数 的概率分布为:
, .2 分
所以 ,
因此 的概率分布列为: .7 分
16 17 18 19 20
0.04 0.12 0.29 0.30 0.25
(2)由 ,
因此满足 的最小值为 19 。 9 分
(3)定义净成本函数:
所以 12 分
当 , 元当 , 元当 , 元当 , 元当 , 元因此最小期望净成本为 5835 元,对应最优备件数为 元。 17 分
19.【详解】( 1 )由提示知, ,故
.2 分
令 ,
,故 在 递增,(0,1)递减, 递增,
又 ,故存在 ,有 ,
从而 在 上递减, 上递增,故 存在唯一极小值点 ,无极大值点; .5 分
(2)i. 由(1)可知, 为 唯一的极值点,且为极小值点,
由 单调性和正负性可知, 等价于 , .6 分
又 ,只需证 ,
即证 ,令 ,只用证
.8 分
令 ,
由 递减,且 ,
存在 ,有 ,故 在 递增,在 递减,又 ,
且由洛必达法则, ,
故 时, ,证毕; .11 分
ii. 由 (1) 可知, ,故 单调递减只需证 ,
即证: ,
由 ,则有 , .13 分
代入 有: ,
只需: ,
关注到因式分解,有: , .15 分
只需 ,
由前可知, ,证毕. .17 分
