参考答案与解析（务必做完再对答案）
1．，
当时，，解集不是，舍去，
当时，，解得.
综上：.
因为，所以是的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
2．集合，则的子集个数为,
所以的非空子集个数为.
故答案为：.
3．由题知，，
因为，所以，
则当时，，而；
当时，(舍)或，
所以或.
故答案为：或
4．命题“,”是假命题，
则命题“, ”是真命题，
所以，
即实数的取值范围为，
故答案为：.
5．对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，
对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题.
故选：B.
6．若是周期函数，设周期为，则，
两边求导，有：，所以也是周期为的周期函数；
若为周期函数，但不一定为周期函数，
例如，，不具有周期性，而，周期为，
所以“是周期函数”是“是周期函数”的充分不必要条件，
故选：A
7．根据集合中元素的互异性可得：，且.
当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为；
根据题意可得：集合的所有元素之和为.
且或，
解得：.
故选：B.
8．当成立时，对任意的正整数，对任意的，，都有，则，
所以当时，，对任意的，都成立，所以是等差数列，故.
当成立时，即数列是等差数列，设等差数列的公差为，
则，，，
∴，
即恒成立，
∴.
综上得，是的充要条件.
故选：C.
9．因为，，
若，则，解得：，
所以“”可得出“”，
由“”不一定得出，
所以“”是“”充分不必要条件，
故选：A．
10．由，可得，则；
故选：D.
11．依题意，集合可以为：，
所以集合C的个数为4.
故选：D
12．由已知有，所以，
故选：D.
13．，，则，
又，则.
故选：B.
14．因为，，
所以，
，
故选：C
15．方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
16．因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
17．因为，且注意到，
从而.
故选：A.
18．由题设有，
故选：B .
19．由题设可得，故，
故选：B.
20．对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
21．因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
22．，故，
故选：D.
23．，故，
故选：D
24．[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
25．对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确，
对于B，取故B正确，
对于C，当时，，如时，设，
由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确，
对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误，
故选：ABC
26．A选项，由，，可得，，因为，所以，，故A错误；
B选项，例如：，，满足，但是并不都大于等于，故B错误；
C选项，由，，
当，即时，；
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，所以不存在实数a，使得，故C错误；
D选项，由，，取，可得，对任意实数a，总存在b使之成立，故D正确.
故选：ABC.
27．（1）因为，所以；
因为，所以；
因为没有倒数，所以；
因为，所以；
综上可得，.
（2）先证明：若，，则；
设，，为整数，
所以，
由于，都是整数，所以，
当，时，，，所以，所以；
（3）因为，
所以，
所以，都是整数，
所以为整数，
所以，
假如，则，则应为的倍数，
设为整数，若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
所以，即.作业01：《集合 常用逻辑用语》
使用说明：第一部分 夯实基础：以基础题呈现，旨在保证填补知识漏洞。
第二部分 考题演练：以考试常规题型呈现，难度适中，贴近高考。
第三部分 五年高考：挑选五年新高考真题，感受考情，力争高分。
第四部分 拓展提升：结合新高考考情，适当创新、拔高难度，开拓视野。
（本作业共27题，作业部分为1-4页。如无特殊说明，选择题均为单选题）
一、夯实基础
1．（2025安徽高三）已知，则是的条件 .（在充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要中选一个正确的填入）
2．（2026温州高三）设集合，则的非空子集个数为 .
3．（2025新余高三）已知集合，，若，则实数 .
4．（2025萍乡高二期末）若命题“,”是假命题，则实数的取值范围为 .
二、考题演练（2025高三模拟题）
5．（2025宜昌二模）已知命题，，命题，，则
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
6．（2025镇江5月模拟）已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2025连云港模拟）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数
A． B． C． D．
8．（2025淮阴中学等四校联考）已知：数列满足：对任意的，，，都有，：数列是等差数列.则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2025盐城模拟）已知平面向量，，则“”是“”的
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
10．（2025南通模拟）已知集合，则
A． B．
C． D．
11．（2025盐城模拟）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2025宿迁考前调研）已知集合，则
A． B．
C． D．
13．（2025镇江模拟）已知集合，，，则
A． B． C． D．
14．（2025镇江模拟）已知集合，，则
A． B． C． D．
三、五年高考（新课标卷真题）
15．（2023I）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2023II）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
17．（2024I）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2021I）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2021II）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2024II）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
21．（2025I）已知集合，，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
22．（2025II）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
23．（2022I）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
24．（2022II）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
四、拓展提升（新定义类）
25．（2025温州模拟，多选）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
26．（2025福州模拟，多选）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，且，则
B．若，且，则对任意，都有
C．若，，则存在实数，使得
D．若，，则对任意的实数，总存在实数，使得
27.（2025武汉四调·T18）
已知集合，集合B满足．
（1）判断，，，中的哪些元素属于B；
（2）证明：若，，则；
（3）证明：若，则．
（请在 答题框 内作答）
（17分）
