江苏省2026届高三上学期模拟预测数学试题(含解析)

江苏省2026届高三上学期模拟预测数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
. . . .
2.已知椭圆的左顶点为，上顶点为.若是的焦距的倍，则的离心率为（ ）
. . . .
3.是等比数列的前项和，若成等差数列，则的公比的值为（ ）
. . . .
4.已知角满足，，则（ ）
. . . .
5.若对于任意的，都有，则实数的最小值为（ ）
. . . .
6.“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ）条件
.充分不必要 .必要不充分 .充要 .既不充分也不必要
7.满足，的有序实数组可以是（ ）
. . . .
8.是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
. . . .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题是假命题的是（ ）
.命题“”的否定是“”
.函数最小值为
.函数与是同一个函数
.若不等式的解集为，则不等式的解集为
10.已知点是抛物线的焦点，点是抛物线的准线与轴的交点，过点且斜率为的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
.的取值范围为 .
.若，则或 .点关于轴的对称点在直线上
11.已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动.则下列说法正确的有（ ）
.若是棱的中点，则平面
.点到直线的距离的最小值为
.棱上存在点，使得
.若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.展开式中的第三项为 .
13.已知角的正切，则 .
14.2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列的前项和为，且满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
16.（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，渐近线方程为.
（1）求的方程；
（2）设轴上方的点分别在的左支与右支上，若，求四边形的面积.
17.（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若二面角大小为60°，求的长.
18.（17分）已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围；
（3）当时，若，且，求证：.
19.（17分）某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率传输记为0，以概率传输记为1，其中，每位数码的传输相互独立，并设事件为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件.
（1）当时，求；
（2）证明：对任意的正整数，有；
（3）在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为，问：是否存在最大值？若存在，求出使取到最大值的正整数；若不存在，请说明理由.
答案解析
一、选择题
1.C 解析：由，则，∴.
2.B 解析：设椭圆的半焦距为，而，，又，则，
整理得，因此，∴椭圆的离心率为.
3.D 解析：由成等差数列，得，即，
整理得，∴，即.
4.A 解析：∵，∴，即，
又，
两式联立可得：，
∴
5.D 解析：由，都有，转化为：，
构造在上单调递减，
求导在上恒成立，则，解得，
故，即的最小值为.
6.B 解析：如图所示：设与平行且与的直线方程为
，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
∴，即，
故“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的必要不充分条件.
7.D 解析：记，则，，，
∵，∴，∴，
对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.
8.C 解析：由，可得：.
又∵是定义在上的偶函数，则，且函数图象关于轴对称.
∴，即的周期为4.
作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，
可得出在上的图象.
令，
若在区间内关于的方程
至少有2个不同的实数根，
至多有3个不同的实数根，
则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点.
∴，即，解得.
二、选择题
9.ACD 解析：对于A，原命题的否定是“”故A为假命题；
对于B，令，∴函数在上单调递增，∴，故B为真命题；
对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，
定义域不同，两个函数不是一个函数，故C为假命题；
对于D，由题意，方程的解为，，且，
由韦达定理可得，，解得，，
则不等式，即，
由，则不等式变为，解得，故D为假命题.
10.ABD 解析：由题意得，准线方程为，则点，设直线，
对于A，由，得，
依题意，解得且，∴的取值范围为，A正确；
对于B，过作准线的垂线，垂足分别为，
则，，，
因此，即，B正确；
对于C，由，得，
设，，则，而，，
联立解得，C错误；
对于D，直线的斜率，直线的斜率，
则，
令点关于轴的对称点为，则直线的斜率，
而直线与直线有公共点，因此点在直线上，D正确.
11.ACD 解析：如图，设的中点为，连接，
∵点是棱的中点，∴，且，
对于A，若是棱的中点，∴，且，
∴，且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面，A正确；
对于B，根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系，
设，，，，则，，
∴点到直线的距离，
即点到直线的距离的最小值为，故B错误；
对于C，，，∴，，
则，
当时，，即，
∴棱上存在点，使得，故C正确；
对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心，
∴，又正方体外接球半径，
∴截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确.
三、填空题
12. 解析：根据二项式的通项公式得：.
13. 解析：
.
14. 解析：若三个年级人数分别为，则，又每个年级至少一个名额，
∴相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，由种，
由题意，则，且各年级人数为，
其中的情况有一种情况，即，
的情况有九种情况，即，
∴，
综上，.
四、解答题
15.解：（1）∵，，∴，
即，两边同时除以可得，
，∴，
∵，∴，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）可知，∴.
∴，
，
∴
∴.
16.解：（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，半焦距，
而，解得，，∴双曲线的方程为.
（2）设，而，由，得，
依题意，，解得，即，
，，，
等腰底边上的高，
又四边形为梯形，则，
∴四边形的面积为.
17.解：（1）证明：∵，，为的中点，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵，∴，即，
又∵平面平面，且平面平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）∵，为的中点，∴，
∵平面平面，且平面平面，∴面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
∵为棱的中点，∴，
∴，，
设异面直线与所成角为，则，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
（3）由（2）知平面的法向量为，
由，且，得，
又，
设平面法向量为，则，可取，
∵二面角大小为60°，∴，∴，∴.
18.解：（1）当时，，则，
∵，，
∴在点处的切线方程为，即.
（2），令，则，
①当，当时，，单调递减，
∴，单调递减，不符合；
②若，当时，，单调递增，
∴，单调递增，不符合；
③若，则在有两个解，不妨设（），
列表如下：
当时，，则在上没有零点.
要使在上有且仅有1个极值点，则在上有且仅有一个变号零点，
则需要，即，解得，
又∵，∴.
当时，，，
又零点存在定理知，存在唯一零点，使得，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，∴为的极小值点.
综上所述，的取值范围为.
（3）当时，，∴，
由，可得，
即，
又，两边同时除以，得，
因此，
∴，
记，则，
因此，
令，则，
∴在上为减函数，故，即时，.
∵，，
∴，∴，
当时，，
则，即.
19.解：（1）.
（2）传输结果各位数字之和为奇数的概率为，
传输结果的数码个数为偶数的概率为，
由，
，
两式相加解得.
（3）
，
，
两式相加解得，
，
设，
则，
①当时，，
②当时，，，即单调递增，不存在最大值，
③当时，正负无法确定，
当为奇数时，，当为偶数时，，
要使取到最大值，应取偶数，记，，
，
∵，∴单调递减，，
综上所述：当时，不存在最大值；
当时，恒为常数；
当时，在时取到最大值.