2024新人教版七年级上数学 5.3 实际问题与一元一次方程 第4课时 方案选择问题 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
人教版（2024）
七年级上册
5.3 实际问题与一元一次方程
第4课时 方案选择问题
第五章 · 一元一次方程
方案选择问题
知识目标
1.理解分类讨论思想的核心逻辑，掌握其在“选择方案问题”中的应用方法。
2.一元一次方程的建立与求解技能，能将实际问题转化为数学模型并通过方程求解最优解。
能力目标
1.认识数学建模的基本流程（抽象→符号化→求解→验证），体会方程作为工具在量化分析中的作用。
2.能从复杂情境中提取关键变量，系统比较不同方案的优劣。
素质目标
1.感知数学知识与实际生活的普遍联系。
2.经历方案决策问题的解决全过程，体会建立数学模型的合理性.感受数学的应用价值，培养学生热爱生活，勇于探索的精神。
教学难点
教学重点
寻找数量关系列方程，确定最优方案
掌握分段计费问题
知识讲解
03
对应练习
05
情景创设
01
课堂小结
07
例题讲解
04
链接中考
06
新知探索
02
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
用一元一次方程解决实际问题的基本过程
实际问题
实际问题
的答案
一元一次方程
一元一次方程的解
(x=m)
设未知数，列方程
解方程
检验
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
同学们，你知道你家人用的手机套餐是哪个厂家的吗？具体套餐是怎么收费的呢？
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/min）
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限时
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
列举实例
不同能效空调的综合费用比较
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0.5 元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
中国能耗标识
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
综合费用 = 空调的售价 + 电费
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
列举实例
不同能效空调的综合费用比较
如果电价是 0.5 元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
中国能耗标识
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
综合费用 = 空调的售价 + 电费
设空调的使用年数是 t，则 1 级能效空调的综合费用是:
3000 + 0.5×640x
即 3000 + 320t
3 级能效空调的综合费用是:
2600 + 0.5×800t
即 2600 + 400t
分析问题，寻找对应
比较 1级：3 000+320t 、 3级： 2600+400t
怎么判断使用哪款空调综合费用较低呢？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3000 + 320t
2600 + 400t
先来看 t 取什么值时，两款空调的综合费用相等.
列方程 3000 + 320t = 2600 + 400t
解得 t = 5
这是个很重要的时间点！
分析问题，寻找对应
比较 1级：3 000+320t 、 3级： 2600+400t
怎么判断使用哪款空调综合费用较低呢？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3000 + 320t
2600 + 400t
（1）_______时，3000 + 320t>2600 + 400t,选择 3 级能效空调省钱；
（2）_______时，3000 + 320t<2600 + 400t,选择 1 级能效空调省钱；
（3）_______时，3000 + 320t=2600 + 400t,选择 1 级、3级能效空调均可.
t < 5
t > 5
t = 5
你能使用其他方法进行比较吗？
分析问题，寻找对应
比较 1级：3000+320t 、 3级： 2600+400t
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2 600+400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，
3级能耗空调的综合费用是2600+0.5×800t=2600+400t
而2600+400t=3000-400+320t+80t
=（3000+320t）+（80t－400）
=（3000+320t）+80（t－5）
当t<5时，80(t-5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t>5时，80(t-5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低；当t=5时，80(t-5)是0，费用相等.
分析问题，寻找对应
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
根据相关行业标准，空调的安全使用年限是 10 年（从生产日期计起），因此购买、使用 1 级能效空调更划算.
通常，1 级能效空调既节能又省钱
由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长(超过5年)时综合费用反而低.
分析问题，寻找对应
解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难点？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
难点1是找分界点，确定相等关系
列方程 3000 + 320t = 2600 + 400t
解得 t = 5
分析问题，寻找对应
解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难点？
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
而2600+400t=3000-400+320t+80t
=（3000+320t）+（80t－400）
=（3000+320t）+80（t－5）
难点2是拥有拆分思维！便于比较两个均含有未知数的式子
方案选择问题
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
建立数学模型
归纳处理方案选择问题的步骤
求解临界点
根据临界值分段分析不等关系
拥有拆分思维，分解成两个均含有未知数的式子分析不等关系
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
在“清洁乡村”活动中，村里需购买一些垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶的方案:
方案一:买分类垃圾桶，需要费用 4000 元，以后每月的垃圾处理费用为 300 元；
方案二:买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，以后每月的垃圾处理费用为 600 元.
设交费时间为 x 个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为 M 元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为 N 元.
请你分析该村采用哪种方案更省钱.
例1
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
方案一:买分类垃圾桶，需要费用 4000 元，以后每月的垃圾处理费用为 300 元；
方案二:买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，以后每月的垃圾处理费用为 600 元.
设交费时间为 x 个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为 M 元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为 N 元.
请你分析该村采用哪种方案更省钱.
例1
分析：总费用 ＝ 购买费用 + 垃圾处理费用.
选定一种方案后，购买费用是确定的，垃圾处理费用与交费时间有关.
用交费时间 x 分别表示两种方案的总费用，然后进行比较.
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
方案一:买分类垃圾桶，需要费用 4000 元，以后每月的垃圾处理费用为 300 元；
方案二:买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，以后每月的垃圾处理费用为 600 元.
设交费时间为 x 个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为 M 元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为 N 元.
请你分析该村采用哪种方案更省钱.
例1
解：依题意得 M＝ 300x + 4000，N＝600x + 1000.先找临界点看 x 取什么值时，两种方案费用相同，
列方程 300x + 4000 = 600x + 1000，解得 x ＝ 10.
故交费时间为 10 个月时，两种方案费用相同.
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
方案一:买分类垃圾桶，需要费用 4000 元，以后每月的垃圾处理费用为 300 元；
方案二:买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，以后每月的垃圾处理费用为 600 元.
设交费时间为 x 个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为 M 元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为 N 元.
请你分析该村采用哪种方案更省钱.
例1
为了比较两种方案的费用，把方案二的费用的式子600x + 1000 变形为方案一的费用与另外一个式子的和，
600x + 1000= 300x +300x + 4000 - 3000=(300x + 4000)+(300x - 3000)
= (300x + 4000) + 300(x - 10).
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
方案一:买分类垃圾桶，需要费用 4000 元，以后每月的垃圾处理费用为 300 元；
方案二:买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，以后每月的垃圾处理费用为 600 元.
设交费时间为 x 个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为 M 元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为 N 元.
请你分析该村采用哪种方案更省钱.
例1
当 x < 10 时，300(x - 10) 是负数，这表明方案二的费用较低，当 x > 10 时，300(x - 10) 是正数，这表明方案一的费用较低.
所以，当交费时间少于10个月时，采用方案二更省钱，当交费时间等于10个月时，两种方案费用相同，当交费时间多于10个月时，采用方案一更省钱.
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有200元，以后每月存50元；小强原有150元，以后每月存60元．设两人攒钱的月数为x（个）（x为整数）．
（1）根据题意，填写下表：
例2
攒钱的月数/个 3 6 … x
小明攒钱的总数/元 350 …
小强攒钱的总数/元 510 …
330
500
200+50x
150+60x
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有200元，以后每月存50元；小强原有150元，以后每月存60元．设两人攒钱的月数为x（个）（x为整数）．
（2）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同？此时他们各有多少钱？
例2
解
(2) 根据题意，得200+50x=150+60x，
解得x=5．
所以150+60x=450．
答：在5个月后小明与小强攒钱的总数相同，此时每人有450元钱．
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元.在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费0.1元.复印页数为多少时，两店的收费相同
解:设复印x张时，两处的收费相同，
依题意，得:0.1x=20×0.12+(x-20)×0.09,
解得: x=60.
答:复印60张时，两处的收费相同.
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价200元，每月包含10次；第二种售价300元，每月包含20次.两种月票超出每月包含次数后，都需要另外购票，票价为25元/次.某人每月乘坐地铁机场线超过10次，他购买哪种月票比较节省费用
解:设某人每月乘坐地铁机场线x次，其中x>10,第一种购票的钱数:
200+25(x-10)=(25x-50)元;
第二种购票的钱数:当10当x>20时，需要300+25(x-20)=(25x-200)元;
25x-50=300，解得x=14,
答：当某人每月乘坐地铁机场线超过10次低于14次时，第一种购票比较节省费用;当某人每月乘坐地铁机场线等于14次时，两种购票费用相同;当某人每月乘坐地铁机场线超过14次时，第二种购票比较节省费用.
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3.某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一.A计时制：0.05 元/分钟；B包月制：60 元/月(限一部个人住宅电话上网).此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分钟．
(1) 某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
(2) 你认为采用哪种方式比较合算？
解：(1) 采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x，
采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x；
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3.某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一.A计时制：0.05 元/分钟；B包月制：60 元/月(限一部个人住宅电话上网).此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分钟．
(1) 某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
(2) 你认为采用哪种方式比较合算？
解：(2) 由 4.2x ＝ 60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，上网时间越长，采用包月制越合算．所以，
当 0 < x < 20 时，采用计时制合算；
当 x＝20 时，采用两种方式费用相同；
当 x > 20 时，采用包月制合算．
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
4.甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡超过4000元的电器，超出的金额按80%收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按90%收取，某顾客购买的电器价格是x（x＞4000）元．
（1）分别用含有x的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用；
（2）当x＝6000时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由．
（3）当x为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？
解：（1）在甲商场所付的费用：
4000＋(x－4000)×80%＝0.8x＋800（元），
在乙甲商场所付的费用：
3000＋(x－3000)×90%＝0.9x＋300（元）；
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
4.甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡超过4000元的电器，超出的金额按80%收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按90%收取，某顾客购买的电器价格是x（x＞4000）元．
（1）分别用含有x的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用；
（2）当x＝6000时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由．
（3）当x为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？
解：（2）当x＝6000时，甲商场花费：0.8x＋800＝0.8×6000＋800＝5600（元），
在乙商场花费：0.9x＋300＝0.9×6000＋300＝5700（元），
∵5700＞5600，
∴在甲商场购买更优惠；
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
4.甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：凡超过4000元的电器，超出的金额按80%收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按90%收取，某顾客购买的电器价格是x（x＞4000）元．
（1）分别用含有x的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用；
（2）当x＝6000时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由．
（3）当x为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？
解：（3）根据题意可得：0.8x＋800＝0.9x＋300，
解得：x＝5000，
答：当x为5000时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同．
链接中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.(2025·陕西咸阳·模拟预测)某生物实验室推出了两种样本冷冻存储方案．若每月支付75元基础管理费，则每个样本存储费为3元/月；若每月不支付基础管理费，则每个样本存储费为6元/月．某科研团队6月份存储了若干生物样本，发现两种方案的总费用相同，求该科研团队6月份存储的样本数量．
解:设该科研团队6月份存储的样本数量为x个，
依题意，得75+3x=6x,
解得x=25,
答:该科研团队6月份存储的样本数量为25个.
链接中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.(2025·贵州遵义·一模)春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案：
优惠方案一:会员费200元，票价35元/人．
优惠方案二:原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折．
(1)若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？
(2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？
解:(1)方案一:200+35×6-410(元);
方案二:50×4+50×50%×2-250(元);
所以优惠方案二更划算;
链接中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.(2025·贵州遵义·一模)春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案：
优惠方案一:会员费200元，票价35元/人．
优惠方案二:原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折．
(1)若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？
(2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？
解:(2)设学生人数为x人，则成人人数是2x人，
依题意得，200+35×(x+2x)=50×2x+50×50%x
解得x=10,则2x=20,
答:学生人数为10人，则成人人数是20人，
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
我亲历了什么
我知道了什么
我会什么
归纳方案选择问题的处理步骤
掌握分段计费问题
寻找数量关系列方程，确定最优方案
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
建立数学模型
归纳处理方案选择问题的步骤
求解临界点
根据临界值分段分析不等关系
拥有拆分思维，分解成两个均含有未知数的式子分析不等关系
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
课后作业
A层：P141：习题5.3：第14题.
B层：P148：复习题5：第14题.
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