2024新人教版八年级上数学 15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
人教版（2024）
八年级上册
15.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
第十五章·轴对称
含30°角的直角三角形的性质
知识目标
1.能够准确理解并掌握含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半这一重要性质。
2.能够清晰、准确地表述含30°角的直角三角形的性质定理，包括其数学符号表示和文字描述。
能力目标
1.通过参与探究含30°角的直角三角形性质的过程，逐步学会运用已有的几何知识进行逻辑推理，培养严谨的数学思维和推理能力。
2.能够灵活运用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题。
素质目标
1.通过对含30°角的直角三角形性质的学习和探究，感受到数学知识的逻辑性和严谨性。
2.经历从发现问题、提出猜想、进行验证到得出结论的探究过程，激发学习数学的兴趣和积极性。
教学难点
教学重点
含30°角的直角三角形的性质
理解含30°角的直角三角形性质定理的推导过程
知识讲解
03
对应练习
05
情景创设
01
课堂小结
07
例题讲解
04
链接中考
06
新知探索
02
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
回顾：等边三角形的性质和判定与边角关系
等边三角形
性质 1.三条边相等
2.三个内角都相等，都为60°.
3.“三线合一”
4.轴对称图形（3条对称轴）
判定 1.定义（三条边相等）
2.三个角相等
3.有一个角是60°的等腰三角形
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
情景激趣
滑雪
小明是一名滑雪爱好者，他和朋友们来到了一个著名的滑雪场。滑雪场的山坡非常陡峭，坡度为30°。小明站在山坡的顶端，准备开始他的滑雪之旅。他从山坡的顶端A点开始滑行，一直滑到山坡的底部B点。从A点到B点的距离AB = 500米,小明想知道，在他滑行的过程中，他的高度到底下降了多少
30°
请同学们观察并测量，含30°角的三角尺，短直角边与斜边的长度？
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
列举实例
量一量
短直角边：6.9 cm
斜边：13.8 cm
短直角边的长是斜边长的一半
×2
将两个含30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
情景导入
合作探究
抽象概念
示范讲解
课堂练习
课堂小结
列举实例
摆一摆
A
B
C
拼接成了一个什么样的三角形呢？
(
60°
有一个角是60°的等腰三角形
等边三角形，得BC＝AB
分析问题，寻找对应
已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°.
求证： BC = AB.
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
A
B
C
D
证明方法：倍长法
证明：延长BC 到D，使CD =BC，连接AD.
则AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD.
又∵∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°．
∴△ABD 是等边三角形．
∴BD=AB.
又∵BD=2BC,
得BC＝AB
想一想：还有其他证法吗？
分析问题，寻找对应
已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°.
求证： BC = AB.
分组讨论
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
证明方法：截半法
E
A
B
C
证明：在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°.
∴ AE=EC. ∴ AE=BE=BC.
∴ AB=AE+BE=2BC.
得BC＝AB
含30°角的直角三角形的性质
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
含30°角的直角三角形的性质：
30°
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（简记为：30°的角所对的直角边等于斜边的一半）
几何语言：
∵ ∠C=90°，∠A=30°
∴ BC＝AB
注意：必须满足两个条件
①有一个30°的角，②直角三角形中.
A
B
C
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°，立柱BC，DE要多长
例1
解
A
B
C
D
E
∵BC⊥AC，∠A =30°，AB=7.4cm
∴BC＝AB＝×7.4＝3.7 cm
∵DE⊥AC，∠A =30°
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．　　
∵D是AB的中点
∴AD＝AB＝3.7 cm
∴DE＝AD＝×3.7＝1.85 cm
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
例2
解
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
D
在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°(同角的余角相等).
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.
∴AB的长度是12cm.
A
B
C
D
例题讲解
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
例3
解
Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？　　　
∵∠B+∠A=180°- ∠C=90°，
∠B=2∠A，
∴3∠B=180°，
∴∠B=60°，∠A=30°.
∴ AB=2BC.
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB＋BC=12 cm，则AB= ．
8cm
2.如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8 cm，则BD= ，BE= ．
2cm
4cm
A
C
E
B
D
C
B
A
第1题 第2题
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
3.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =10，则BC 的长为 ．
5
4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
1
A
B
C
A
B
C
D
第3题
第4题
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
5.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．求证：DC = 2AD.
解：∵∠A = 90°，∠ABC = 2∠C,
∴∠C = 30°，∠ABC = 60°.
又BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC =30°.
∴∠DBC=∠C，∴BD=DC.
在Rt△ABD中，
∵∠ABD = 30°，
∴AD=BD =DC，即DC = 2AD.
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
5.已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
A
C
B
D
15 °
15 °
20
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°，
∴CD=AC=×20=10.
)
)
含30°角的直角三角形的性质
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
方法点拨
含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
对照练习
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
6.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3 B．2 C.1.5 D．1
解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.
又∵PC＝3，
∴PE＝PC＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝1.5.
E
C
链接中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
1.(2025·江苏南通·中考真题)南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构。如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD、EF垂直于横梁BC.若 AC=4.8m，∠C=30°，则EF的长为______m.
[答案]1.2
[分析]本题考查了含30°角的直角三角形，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论.
[详解]解:∵E是斜梁AC的中点，AC=4.8m，
∴CE=AC=2.4m,
∵EF⊥BC,
∴∠EFC=90°,
∵∠C=30°，
EF=CE=1.2(m),故答案为:1.2.
链接中考
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
2.(2025·甘肃甘南·中考真题)2.如图，在ΔABC中，∠BAC=90°,∠B=30°,AC=4.
以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D;再分别以点C和点D为圆心，以大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[答案]B
[分析]本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键，
[详解]解:由作图可知:AF⊥CD,
∴∠AFC=90°，
∵∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4,
∴BC=2AC=8,∠C=60°,∴∠FAC=90°-∠C=30°，
∴CF=AC=2,∴BF=BC-CF=6,
故选:B.
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
我亲历了什么
我知道了什么
我会什么
“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用
含30°角的直角三角形的性质
证明“30°角所对的直角边等于斜边的一半”
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
含30°角的直角三角形的性质：
30°
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（简记为：30°的角所对的直角边等于斜边的一半）
几何语言：
∵ ∠C=90°，∠A=30°
∴ BC＝AB
注意：必须满足两个条件
①有一个30°的角，②直角三角形中.
A
B
C
课堂小结
情境导入
合作探究
抽象概括
课堂练习
示范讲解
课堂小结
课后作业
A层：P84.习题 15.3：12题.
B层：P84.习题 15.3：15题.
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