1.1.2 空间向量的数量积 课件（50张PPT）-高二数学 人教A版2019 选择性必修第一册

(共32张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角
2.掌握空间向量数量积的性质及运算律
3.能利用空间向量的数量积判断两个向量的垂直及平行
01复习回顾
PART ONE
复习回顾
与 反向
O
A
B
与 同向
O
A
B
记作
与 垂直，
O
A
B
注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的
1.平面向量的夹角：
A
O
B
B
复习回顾
(2)平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量, ，则|| ||
，叫做向量, 的数量积，记作
即 || ||
并规定0
02空间向量的数量积
PART ONE
空间向量的夹角
探究：空间任意两个向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，思考平面中的两个向量a，b，它们的夹角是如何定义的？范围如何？
提示：将a，b移到共同的起点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角，记作θ＝∠AOB，范围是[0, π]．
A
O
B
空间向量的夹角
(1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则 叫做向量，的夹角，记作 ．
(2)范围：〈，〉∈ .
特别地，当〈，〉＝ 时，两向量，同向共线；
当〈，〉＝π时，两向量， ，
所以若∥，则〈，〉＝0或π；
当〈，〉＝时，两向量，互相 ，记作 .
∠AOB
[0，π]
0
反向共线
垂直
O
A
B
O
A
B
O
A
B
〈〉
⊥
空间向量的数量积
注意：两个向量的数量积是数量,而不是向量
空间中的两个非零向量，，定义||||cos θ为，的数量积·.
即 ||||
（1）空间向量数量积的定义
空间向量的数量积
思考1：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？
答：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积．
思考2：对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？
答：不能，若a，b，c是非零向量，则a·b＝a·c得到a·(b－c)＝0，即可能有a⊥(b－c)成立．
空间向量的数量积
思考3：对于向量a，b，若a·b＝k，能不能写成a＝？
答：不能，向量没有除法，无意义．
思考4：为什么(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立？
答：(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，
而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
向量的数量积运算与实数运算是有一定区别的
空间向量的数量积
①(λ)·＝ ；
②交换律：·＝ ；
③分配律：·(＋)＝ .
λ(·)
·
·＋·
(2)运算律
注意：向量的数量积不满足结合律
空间向量的数量积
（3）性质
①⊥ ·＝0;　
②·＝||||cos〈，〉＝||2＝2;
③ 零向量与任意向量的数量积为0，即·＝0;
④ |·|≤||·||.
⑤cos〈，〉=
证明两个向量垂直
求模长
夹角公式
1.a,b是两个非零向量，以下命题正确的有几个（ ）
（1）a·b>0 〈〉
（2）a·b=0 〈〉=
（3）a·b<0 〈〉
（4） 〈〉=π
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
空间向量的数量积
C
√
√
√
空间向量的数量积
2.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.
解析　由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.
6
空间向量的数量积
3.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)；(3) ·.
(1)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝，
所以＝.
(2)＝＝×1×1×cos 0°＝，所以＝ .
(3) ·＝ ·＝×1×1×cos 120°＝－，所以＝－.
空间向量的数量积
在几何体中求空间向量的数量积：
首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
最后利用数量积的定义求解即可．
注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角．
方法总结
空间向量的数量积
4.已知正四面体OABC的棱长为1.求：
(1)·；(2)(＋)·(＋)．
(1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(-＋－)＝()·(－2)
＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
投影向量
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，向量 a 在向量 b上的投影有什么意义？向量 a向向量b的投影呢？向量b向向量a的投影呢？
投影向量
03空间向量的数量积应用
PART ONE
数量积求夹角
1.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
求cos〈，〉的值．
解　因为＝－＝＋－， ＝＋，
所以||2＝()2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝，
||2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝，
＝()·()＝2－2＝22－12＝3，
所以cos〈，〉＝＝＝
数量积求夹角
求两个非零向量夹角的两种途径
(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解．
(2)利用数量积求夹角的余弦值：cos〈，〉=
方法总结
数量积求夹角
A
B
A1
C1
B1
C
2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,若AB= BB1,则AB1与BC1所成角的大小为( )
A. B. C. D.
B
数量积求夹角
数量积求长度
4.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°, 求对角线AC'的长。
D'
C'
B'
D
A
B
C
A'
数量积求长度
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用||＝，通过计算求出||，即得所求距离．
方法总结
数量积求夹角
D'
C'
B'
D
A
B
C
A'
5.
数量积证垂直
6.已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
数量积求夹角
证明：因为
同理，
7.
04 课堂小结
PART ONE
课堂小结