1.4.1用空间向量研究直线、平面位置关系-空间中点、直线和平面的向量表示 课件（15张PPT）-高二数学 人教A版2019 选择性必修第一册

(共15张PPT)
第一章
1.4.1用空间向量研究直线、平面位置关系
空间中点、直线和平面的向量表示
空间中点、直线和平面的向量表示
学习目标
1. 了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示
2.掌握空间向量运算的坐标表示
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用
4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题
学科素养
1.数学抽象： 空间向量运算的坐标表示
2.逻辑推理：空间向量垂直与平行的坐标表示及应用；
3.数学运算：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题；；
学习重难点
1.教学重点：理解空间向量的坐标表示及其运算
2.教学难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题
我们已经把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题，我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键，本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题。
空间中点、直线和平面的向量表示
我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形. 点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点,直线和平面.
空间中点、直线和平面的向量表示
空间中点、直线和平面的向量表示
思考
如图，在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.
如何用向量表示空间中的一个点坐标？
图(1)
l
空间中点、直线和平面的向量表示
思考
用向量表示直线l ，就是要利用点A和直线l 的方向向量表示直线上的任意一点.
如图(1)，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t
我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l、如何用向量表示直线l ？
a
图(2)
空间中点、直线和平面的向量表示
思考
进一步地,如图(2)，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，
使=+ta①，
将=a代入①式，得=+t②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
由此可知空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l、如何用向量表示直线l ？
图(1)
空间中点、直线和平面的向量表示
思考
我们知道，平面α可以由α内两条相交直线确定．如图(1)，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知,
存在唯一的有序实数对(x，y)，使得
=xa+yb.
这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点，这种表示在解决几何问题时有重要作用.
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？
图(2)
空间中点、直线和平面的向量表示
思考
进一步地，如图(2)，取定空间任意一点O，可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y使
= ③
我们把③式称为空间平面 ABC的向量表示式，
由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
我们知道,给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的. 由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.
进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
空间中点、直线和平面的向量表示
思考
进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的
利用点A和直线l的方向向量来确定平面.
图(2)
空间中点、直线和平面的向量表示
思考
如图，直线lα．取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|·=0}.
进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
思考
如果另有一条直线mα，在直线m 上任取向量，与有什么关系
平行
例题精讲 ——例一
如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1，中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1）求平面BCC1B1的法向量;
(2)求平面MCA1的法向量.
分析：(1)平面 BCC1B1，与y轴垂直,其法向量可以直接写出;
(2)平面 MCA1可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量.
例题精讲 ——例一
如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1，中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1）求平面BCC1B1的法向量;
(2)求平面MCA1的法向量.
解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B，所以n=(0,1,0)是平面 BCC1B1的一个法向量.
(2)因为AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0,2).因此(-3,2,0)，=(0,-2,2).
设=(x,y,z)是平面MCA1的法向量，
则，
所以,
所以，
取z=3，则x=2，y=3.
于是=(2,3,3）是平面MCA1的一个法向量.
课堂检测
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量; ( )
(2)若v是直线l的方向向量,则λ(λ∈R)也是直线l的方向向量; ( )
(3)在空间直角坐标系中，j=(0,0,1)是坐标平面 Oxy的一个法向量． ( )
√
√
课堂检测
2.在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1中, =a， =b， =c，O是BD1与 B1D的交点，以{a, b,c}为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量。
课堂检测
3.在长方体ABCD -A1B1C1D1中， AB=4，BC=3，CC1=2. 以D为原点，以. 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面 ACD1的一个法向量.