11.3 乘法公式 课件（共35张PPT） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册

(共35张PPT)
11.3 乘法公式
11.3.1 两数和乘以这两数的差
1.能用多项式乘法推导平方差公式，会用图形的面积割补说明平方差公式.
2.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算.
3.会用乘法公式简化运算.
多项式乘多项式
( a+b )( m+n ) =
am
+an
+bm
+bn
计算下列各题：
(x+5)(x-5)=______________________=_________.
(2+a)(2-a)=______________________=_________.
(2m+1)(2m-1)=________________________=_________.
x·x-5x+5x-5×5
x -25
2×2-2a+2a-a·a
4-a
2m·2m-2m+2m-1×1
4m -1
观察上述算式和运算结果，你发现了什么？
等式左边为两个数的和与差的积；
等式右边为这两个数的平方的差.
根据上述规律，可以得到：
(a+b)(a-b)=a -b .
这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
a
b
b
尝试：用几何图形的面积来验证 (a+b)(a-b)=a -b .
一个边长为a的正方形，按左图的方式进行分割，去掉一个边长是b的正方形后，剩余部分拼接为长方形，请你用等式表示图中图形面积变化的运算.
a
b
a
a
a
b
a
b
b
b
=
-
_____________________=____________________-________.
(a+b)(a-b)
a
b
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.
公式特点：
公式左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.
例1 计算：
(1)(a+3)(a-3). (2)(2a+3b)(2a-3b).
(3)(1+2c)(1-2c). (4)(-2x-y)(2x-y).
解： (1) (a+3)(a-3)
=a2-32
=a2-9.
(2)(2a+3b)(2a-3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2.
(4)(-2x-y)(2x -y)
=(-y-2x)(-y +2x)
=(-y)2 -(2x)2
=y2-4x2.
法二：(-2x-y)(2x-y)
=-(2x+y)(2x-y)
=-[(2x)2 -y2]
=y2-4x2.
(3) (1+2c)(1-2c)
=12-(2c)2
=1-4c2.
你还有其他解法吗？
例2 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪， 经统一规划后，南北向增加2米，东西向减少2米. 改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.
解：(a+2)(a-2) = a2- 4.
答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
例3 简便计算：2 018 ×2 022.
解：2 018×2 022
=(2 020-2)×(2 020 +2)
=2 0202-22
=4 080 400 -4
=4 080 396.
写成两数和乘以两数差的形式
本题运用转化思想，关键是找到两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较，变形成两数和与这两数差的积的形式，再利用平方差公式求解．
根据平方差公式填空：
(1)(-3a+2)(-3a-2)=(-3a)2-22=________；
(2)(2x-3)(________)=4x2-9；
(3)(________)(5a+1)=1-25a2.
下列运算正确的是(　　)
A．(a+b)(b-a)=a2-b2 B．(2m+n)(2m-n)=2m2-n2
C．(xm+3)(xm-3)=x2m-9 D．(x-1)(x+1)=(x-1)2
9a2-4
2x+3
1-5a
C
运用平方差公式计算：
(1) 2 019×2 021-2 0202；
(2) 1.03×0.97;
(3) 99×101×10 001;
(4) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1;
(5) (a+b)2-(a-b)2.
解： (1) 2 019×2 021-2 0202
=(2 020-1)×(2 020+1)-2 0202
=2 0202-1-2 0202
=-1；
(2) 1.03×0.97
=(1+0.03)×(1-0.03)
=12-0.032
=1-0.000 9
=0.999 1；　
(3) 99×101×10 001
=(100-1)×(100+1) × 10 001
=(1002-1 )× 10 001
=(10 000-1)×(10 000+1)
=10 0002-1
=99 999 999；
(4) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)+1
=(28-1)(28+1)+1
=216-1+1
=216；
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =
1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)，
再根据 1=2-1进行变式计算
(5)(a+b)2-(a-b)2
=[(a+b)-(a-b)][(a+b)+(a-b)]
=(a+b-a+b)(a+b+a-b)
=2b·2a
=4ab；
平方差公式的逆用：
a2-b2=(a+b)(a-b)．
平方差公式：
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
左边是两个二项式相乘，有一项完全相同，
另一项互为相反数
右边是左边两项的平方差，
即相同项2－相反项2
公式中的a，b可以是单项式，还可以多项式.
平方差公式可以逆用：
a2-b2=(a+b)(a-b)．
11.3.2 两数和（差）的平方
1.通过探索完全平方公式的计算规律，掌握完全平方公式；
2.能够运用完全平方公式进行整式乘法的运算.
用多项式乘法法则计算：(a+b)2.
(a+b)2=( a + b ) ( a + b )
=a2
+ab
+ab
+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
做一做
利用这个公式，可以直接计算两数和的平方.
(a+b)2=a2+2ab+b2
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.
这个公式叫做两数和的平方公式.
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a
a
b
b
a
a
b
b
a2
ab
ab
b2
=
+
+
(a+b)2
a2
2ab
=
+
+
b2
试一试
计算：
例1
（1）(2x+3y)2
（2）(2a+ )2
解
=(2x)2+2·2x·3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2
=(2a)2+2·2a· +( )2
=4a2+2ab+
把2x和3y分别看成a和b
推导两数差的平方公式.
(a-b)2
=[a+(-b)]2
=a2+2a·(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
试一试
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a
b
a
b
a2
ab
ab
b2
=
-
+
(a-b)2
a2
2ab
=
-
+
b2
计算：
例2
（1）(3x-2y)2
=(3x)2-2·(3x)·(2y)+(2y)2
=9x2-12xy+4y2
解法一
解法二
解法三
已知x+y=4，xy=2，
求（1）x2+y2；（2）3x2-xy+3y2；（3）x-y
(1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×2=16-4=12
(2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=3×42-7×4=3×16-28=20
解
(3)(x-y)2＝(x+y)2-4xy
=42-4×2=8
所以 x-y= =
拓展练习
1.计算：
（1）(x+3)2
（2）(2x+y)2
解 (x+3)2
=x2+2·x·3+32
=x2+6x+9
(2x+y)2
=(2x)2+2·2x·y+y2
=4x2+4xy+y2
2.计算：
（1）(x-3)2
（2）(2m-3n)2
解 (x-3)2
=x2-2·x·3+32
=x2-6x+9
(2m-3n)2
=(2m)2-2·2m·3n+(3n)2
=4m-12mn+9n2
3.计算：
（1）(-2m+n)2
（2）(-2m-n)2
解 (-2m+n)2
=(-2m)2+2·(-2m)·n+n2
=4m2-4mn+n2
(-2m-n)2
=(2m)2+2·2m·n+n2
=4m2+4mn+n2
=[- (2m+n)]2
= (2m+n)2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.