11.5 因式分解 课件（共39张PPT） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册

(共39张PPT)
11.5 因式分解
11.5 课时1 提公因式法
2.通过探究多项式因式分解的过程，能够确认多项式的公因式，会运用提公因式法分解因式.
1.理解因式分解的定义及它与整式乘法的联系;
本章我们学习了整式的乘法，它分为几种形式
计算：
6ab2-3a2b+3ab2；
6a2+13ab+6b2；
a3+4a2b+6ab2+4b3.
单项式与单项式相乘；
单项式与多项式相乘；
多项式与多项式相乘.
3a·(2b2-ab+b2)=
(3a+2b)(3b+2a)=
(a+2b)(a2+2ab+2b2)=
讨论：210能被哪些质数整除？
分析：要解决这个问题，需要把210分解为几个质数
相乘的形式.
解：210=2×3×5×7，所以210能被2、3、5、7整除.
类似地，在式的变形中，有时也需要我们把一个多项式写成几个整式的乘积的形式.
m·(a+b+c)=____________， (a+1)·a=________.
观察上面两个等式，可以得到：
ma+mb+mc=( )( )，
a2+a=( )( ).
a+b+c
a+1
ma+mb+mc
a2+a
m
a
像等式ma+mb+mc=m(a+b+c) ，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做多项式的分解因式．
试一试
因式分解与整式乘法有何关系
ma+mb+mc
m(a+b+c)
因式分解
整式乘法
整式乘法与因式分解是两种互逆的变形，
即：多项式 整式乘积的形式.
因式分解
整式乘法
想一想
判断下列各式是整式乘法还是因式分解
x2-4y2=(x+2y)(x-2y) ___________；
2x(x-3y)=2x2-6xy ___________；
(5a-1)2=25a2-10a+1 ___________；
x2+4x+4=(x+2)2 ___________；
(a-3)(a+3)=a2-9 ___________；
m2-42=(m+4)(m-4) ___________；
2πR+2πr=2π(R+r) ___________.
因式分解
整式乘法
整式乘法
整式乘法
因式分解
因式分解
因式分解
下列各多项式的结构有什么共同特点？
ax-ay ma+mb+mc 2πR+2πr
a
m
2π
多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式．
探究发现
多项式中的公因式是如何确定的？
找出3x2y2–6xy3的公因式：
最大公约数
相同字母
公因式
3
x y
x y2
看系数　
观 察方 向
看字母
看指数
最低指数
所以3x2y2–6xy3= 3xy2(x–2y).
思考讨论
确定公因式的方法：
1.看系数：公因式系数是多项式各项系数的最大公约数；
2.看字母：字母是多项式各项中都含有的相同的字母；
3.看字母的指数：各相同字母的指数取次数最低的.
提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取
出来，将多项式分解成公因式与另一个因式的乘积的
形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
用字母表示为：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
例1 把下列多项式分解因式:
(1)-5a2 +25a；
(2)3a2 -9ab.
解： (1) -5a2+25a
=-5a(a - 5)；
(2)3a2 -9ab
=3a(a-3b).
当多项式的第一项系数是负数时，一般地，先提出负号，再进行因式分解．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变.
提公因式后，另一个因式：
①项数应与原多项式的项数一样；
②不再含有公因式．
例2 用提公因式法将下列各式分解因式：
(1) 4x2y3+8x2y2z-12xy2z； (2) -a2b3c+2ab2c3-ab2c；
(3) 5x(x-2y)3-20y(2y-x)3.
(2)-a2b3c+2ab2c3-ab2c
=-(a2b3c-2ab2c3+ab2c)
=-ab2c(ab-2c2+1)；
解： (1) 4x2y3+8x2y2z-12xy2z
=4xy2(xy+2xz-3z)；
(3) 5x(x-2y)3-20y(2y-x)3
=5x(x-2y)3+20y(x-2y)3
=5(x-2y)3(x+4y)．
公因式可以是单项式，也可以是多项式.
1. 2x(-x+y)2-(x-y)3分解因式应提取的公因式是(　　)
A．-x+y B．x-y
C．(x-y)2 D．以上都不对
解析： ∵ 2x(-x+y)2-(x-y)3=2x(x-y)2-(x-y)3，
∴ 2x(-x+y)2-(x-y)3的公因式为(x-y)2 .
C
2. 把下列各式分解因式：
(1) 2a2bc+8a3b； (2) a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a).
解： (1) 2a2bc+8a3b
=2a2b·c+2a2b·4a
=2a2b(c+4a)；
(2) a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a)
=a(a-b)3+2a2(a-b)2+2ab(a-b)
=a(a-b)[(a-b)2+2a(a-b)+2b]
=a(a-b)(3a2-4ab+b2+2b).
3. 已知2m-n=3， 4m+3n=1，求5n(2m-n)2-2(n-2m)3的值.
解：5n(2m-n)2-2(n-2m)3
=5n(2m-n)2+2(2m-n)3
=(2m-n)2[5n+2(2m-n)]
=(2m-n)2(4m+3n)，
所以5n(2m-n)2-2(n-2m)3 =32×1=9.
因式分解的概念：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式
的因式分解，也叫做多项式的分解因式．
确定公因式的方法：
一看系数：多项式各项系数的最大公约数；　
二看字母：多项式各项中都含有的相同的字母；　
三看指数：各相同字母的指数取次数最低的.
提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出各项的公因式；
第二步，提出公因式；
第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式.
用提公因式法分解因式应注意的问题：
(1)公因式提取要彻底；
(2)首项为负先提负；
(3)提取公因式莫漏1．
11.5 课时2 公式法
2.能够熟练地运用公式法分解因式.
1.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式，知道公式法的概念.
把下列各式分解因式：
3a3b2+12ab3=
a(x-y)2-b(y-x)2=
本章学习的乘法公式：
平方差公式： (a+b)(a-b) =a2-b2；
完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2，
(a-b)2=a2-2ab+b2.
3ab2(a2+4b2)；
(a-b)(x-y)2.
(a+2b)·(a-2b)=___________；
(a+2)·(a-2)=____________.
观察上面两个等式，可以得到：
a2-4b2=( )( )；
a2-4 =( )( ).
a+2b
a+2
a2-4b2
a2-4
a-2b
a-2
试一试
根据整式乘法和因式分解的互逆关系，你对因式分解的方法有什么新的发现？
把整式乘法的平方差公式，反过来就得到因式分解的公式：
a2-b2
整式乘法
因式分解
(a+b)(a-b)
想一想
根据a2-b2 = (a+b)(a-b)可知：
等式左边为两个数平方的差，
等式右边为两个数的和与这两个数的差的积.
即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的
差的积.
平方差公式中的字母a，b不仅可以代表数，还可以
代表单项式或多项式.
例1 分解因式： (1) 25x2-16y2； (2) (x+y)2-(x-2y)2.
解: (1) 25x2-16y2
=(5x)2-(4y)2
=(5x+4y)(5x-4y)；
(2) (x+y)2-(x-2y)2
=[(x+y)+(x-2y)][(x+y)-(x-2y)]
=(x+y+x-2y)(x+y-x+2y)
= 3y(2x-y) .
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是“二项式形式”，它的每一项都为平方项且符号相反．
(a+2b)·(a+2b)=___________；
(a-2)·(a-2)=____________.
观察上面两个等式，可以得到：
a2+4ab+4b2=( )( )；
a2-4a+4=( )( ).
a+2b
a-2
a2+4ab+4b2
a2-4a+4
a+2b
a-2
试一试
a2±2ab+b2
(a±b)2
整式乘法
因式分解
把整式乘法的完全平方公式，反过来就得到因式分解的公式：
我们把形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式.
根据整式乘法和因式分解的互逆关系，你对因式分解的方法有什么新的发现？
想一想
根据a2±2ab+b2 =(a±b)2可知：
等式左边为两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等式右边为两个数的和(或差)的平方 .
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，
等于这两个数的和(或差)的平方 .
完全平方公式中的字母a，b不仅可以代表数，还可以代表单项式或多项式.
把乘法公式的等号两边互换位置，
就可以得到用于分解因式的公式，
用来把某些具有特殊形式的多项
式分解因式，这种因式分解的方
法叫做公式法.
例2 分解因式：
(1) x2+4xy+4y2； (2) (x-2y)2+2(x-2y)+1.
解: (1) x2+4xy+4y2
= x2+2·x ·2y + (2y)2
= (x+2y)2；
(2) (x-2y)2+2(2y-x)+1
= (x-2y)2+2(x-2y)+1
= (x-2y+1)2.
(1) 利用完全平方公式可以把完全平方式因式分解；
(2)完全平方式必须是“三项式形式”．
例3 分解因式：
(1) x4-y4；
(2) 4x3y-4x2y2+xy3；
(3) 3x3-12xy2.
解: (1) x4-y4
= (x2)2-(y2)2
= (x2+y2)(x2-y2)
= (x2+y2) (x+y)(x-y)；
分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
(2) 4x3y-4x2y2+xy3
= xy(4x2-4xy+y2)
= xy(2x -y)2；
(3) 3x3-12xy2
= 3x(x2-4y2)
= 3x[x2- (2y)2]
= 3x(x+2y) (x-2y) .
用公式法分解因式时，
若多项式中各项有公因式，要先提取公因式，再用
相应的公式来分解因式．
1. (1)下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A.-a2+b2 B.-x2-y2
C.49x2y2-z2 D.16m4-25n2
解： A、-a2+b2=b2-a2=(b+a)(b-a)；
B、 -x2-y2= -(x2+y2)是两数的平方和，不能用平方差
公式分解；
C、49x2y2-z2 =(7xy+z)(7xy-z)；
D、16m4-25n2 =(4m2 +5n)(4m2 -5n)．
B
(2) 下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）
①x2-4x+4; ②6x2+3x+1; ③ 4x2-4x+1;
④ x2+4xy+2y2 ; ⑤9x2-20xy+16y2
A.①② B.①③ C.②③ D.①⑤
解：①x2-4x+4=(x-2)2；③4x2-4x+1=(2x-1)2，
则能用完全平方公式分解的是①③．
B
2. 分解多项式:
(1) 4x2y-4xy2+y3； (2) x2 (x-2)+(2-x)；(3) (x2+1)2-4x2.
解: (1) 4x2y-4xy2+y3
= y(4x2-4xy+y2)
= y(2x-y)2 ；
(2) x2 (x-2)+(2-x)
= (x-2)(x2-1)
= (x-2)(x-1)(x+1) ；
(3) (x2+1)2-4x2
= (x2+1+2x)(x2+1-2x)
= (x+1)2(x-1)2 .
3. 利用简便方法计算:
(1) 73.562-26.442； (2) 8002-2×800×799+7992.
解：
(1) 73.562-26.442
=(73.56+26.44)(73.56-26.44)
=100×47.12
=4 712；
(2) 8002-2×800×799+7992
= (800-799)2
= 12
= 1.
4. 已知x-y=1，xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：因为x-y=1，xy=2，
所以x3y-2x2y2+xy3
= xy(x2-2xy+y2)
= xy(x-y)2
= 2×1
= 2．
公式法分解因式：
平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b).
完全平方公式： a2+2ab+b2 =(a+b)2，
a2-2ab+b2 = (a-b)2 ．
因式分解的步骤：
(1)先观察多项式各项是否有公因式，有公因式的要
先提公因式．
(2)当多项式各项没有公因式时，观察多项式是否
符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合则
利用公式法分解．
(3)当用上述方法不能直接分解时，可将其适当地
变形整理，再进行分解．
(4)每个因式必须分解到不能再继续分解为止．