2026年中考数学：整式与因式分解（含答案）

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2026年中考数学：整式与因式分解
一．选择题（共9小题）
1．（2025 城区校级三模）下列计算正确的是（　　）
A．a4+a5＝a9 B．a3 a4＝a12
C．（﹣a2）4＝a8 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
2．（2025 慈利县一模）若整式（2x+m）（x﹣1）不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
3．（2025 雁塔区校级模拟）若am＝2，an＝5，则am+n等于（　　）
A．7 B．10 C．25 D．32
4．（2025 河北模拟）如图，一块正方形菜地被分割成四部分，其面积分别为2mn，4n2，m2，2mn，其中m＞0，n＞0，则原正方形菜地的边长为（　　）
A．m+n B．m﹣n C．m+2n D．2m+n
5．（2025 阜阳三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足a2+b2+c﹣3ab＝0，则下列结论错误的是（　　）
A．ab＞c B．若c＝﹣ab，则
C．若b＝0，则c＜0 D．若c＝0，则a＝2b
6．（2025 安徽模拟）下列四个式子中能因式分解的是（　　）
A．x2+1 B．x2+x C．x2+x+1 D．x2﹣x+1
7．（2025 光明区二模）已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 镇平县模拟）对任意整数m，（2m﹣1）2﹣25都能（　　）
A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除
9．（2025 嘉陵区模拟）将多项式x2﹣ax+6分解因式为：x2﹣ax+6＝（x﹣6）（x+b），则a+b2025＝（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣6 D．6
二．填空题（共7小题）
10．（2025 朝阳区校级模拟）单项式的系数是a，次数是b，则a+b＝　 　 ．
11．（2025 海淀区校级模拟）因式分解：ab2﹣4a＝　 　 ．
12．（2025 慈利县一模）若 x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，则m＝　 　 ．
13．（2025 盐湖区校级一模）公园里有一个长方形花坛，原来长为2x m，宽为x m，现在要把花坛四周均向外扩展2y m，扩展后的长方形花坛的长为（2x+2y）m，宽为（x+2y）m，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加　 　 m2．
14．（2025 路南区校级三模）有一个数学游戏，如图，A、B、C均为含x的整式，且x的系数均为正整数．若“ ”上是两个对应整式相乘的结果，则“？”处应填 　 　 ．
15．（2025 工业园区校级二模）已知a＝2，2a﹣b＝3，则代数式2a3﹣a2b的值是　 　 ．
16．（2025 兰陵县一模）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则m2n+mn2的值为　 　 ．
三．解答题（共7小题）
17．（2025 台江区校级模拟）因式分解：
（1）3ax2﹣6ax+3a；
（2）（m2+1）2﹣4m2．
18．（2025 永寿县校级模拟）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（xy2+4y3）÷y，其中x．
19．（2025 信都区二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了．
x（x+2）﹣3（◆） ＝x2+2x﹣6x+3 ＝■
（1）被污染的整式◆＝　 　 ；■＝　 　 ；
（2）已知x≠1，判断整式◆与■的和与1的大小关系，并说明理由．
20．（2025 秦皇岛模拟）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式：
M＝﹣2a2+4a；N＝﹣2（a2﹣2a+2）．
（1）比较M，N的大小；
（2）若P+2N＝M﹣6，证明：P不可能小于0．
21．（2025 邯山区校级模拟）如图1和图2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式．
（1）先求出代数式M，再计算当x＝﹣1时，代数式M的值；
（2）嘉淇说：“只要x的值不取﹣1，M的值就一定大于N的值．”你同意她的说法吗？说明理由．
22．（2025 玉田县校级三模）如图，甲、乙、丙三张卡片分别写有关于x的整式．
（1）若甲、乙两张卡片上的整式的和可以用完全平方公式进行因式分解，求符合条件的k的一个值；
（2）嘉淇设计了一个数学闯关游戏，规则是：当选取的两张卡片上的整式相减等于第三张卡片上的整式时，闯关成功．
①求出卡片甲上的整式减去卡片丙上的整式的计算结果，并判断能否闯关成功；
②若卡片乙上的整式减去卡片甲上的整式能闯关成功．直接写出k的值．
23．（2025 宁德二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中a，b，m，n都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根．
（1）判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由；
（2）若完整根式的完整平方根是，请用含m，n的代数式分别表示a，b；
（3）若是完整根式，证明：a2﹣4b一定是完全平方数．
2026年中考数学：整式与因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C D B C D B D A D
一．选择题（共9小题）
1．（2025 城区校级三模）下列计算正确的是（　　）
A．a4+a5＝a9 B．a3 a4＝a12
C．（﹣a2）4＝a8 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
【解答】解：a4与a5不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
a3 a4＝a7，则B不符合题意；
（﹣a2）4＝a8，则C符合题意；
（﹣2a2）3＝﹣8a6，则D不符合题意；
故选：C．
2．（2025 慈利县一模）若整式（2x+m）（x﹣1）不含x的一次项，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【解答】解：（2x+m）（x﹣1）＝2x2+（m﹣2）x﹣m．
由（2x+m）（x﹣1）不含x的一次项，得
m﹣2＝0．
解得m＝2，
故选：D．
3．（2025 雁塔区校级模拟）若am＝2，an＝5，则am+n等于（　　）
A．7 B．10 C．25 D．32
【解答】解：∵am＝2，an＝5，
∴am+n＝am an＝2×5＝10．
故选：B．
4．（2025 河北模拟）如图，一块正方形菜地被分割成四部分，其面积分别为2mn，4n2，m2，2mn，其中m＞0，n＞0，则原正方形菜地的边长为（　　）
A．m+n B．m﹣n C．m+2n D．2m+n
【解答】解：设原正方形的边长为x，
由图可得：x2＝（2mn+4n2+m2+2mn），
∴x2＝（m+2n）2，
∴x＝m+2n，
故选：C．
5．（2025 阜阳三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足a2+b2+c﹣3ab＝0，则下列结论错误的是（　　）
A．ab＞c B．若c＝﹣ab，则
C．若b＝0，则c＜0 D．若c＝0，则a＝2b
【解答】解：A、∵a2+b2+c﹣3ab＝0，
∴a2+b2﹣2ab＝ab﹣c，
∴（a﹣b）2＝ab﹣c＞0，
∴ab＞c，选项说法正确，不符合题意；
B、若c＝﹣ab，由于a≠0，b≠0，
∵a2+b2+c﹣3ab＝0，
∴a2+b2＝4ab，
∴，
∴，选项正确，不符合题意；
C、若b＝0，
∵a2+b2+c﹣3ab＝0，
∴a2＝﹣c＞0，即c＜0，选项正确，不符合题意；
D、若c＝0，则a2+b2+c﹣3ab＝0，
∴a2+b2＝3ab，
将a＝2b代入等式a2+b2＝3ab，
左边＝（2b）2+b2＝5b2，右边＝3×2b b＝6b2，
左边≠右边，选项错误，符合题意．
故选：D．
6．（2025 安徽模拟）下列四个式子中能因式分解的是（　　）
A．x2+1 B．x2+x C．x2+x+1 D．x2﹣x+1
【解答】解：因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．根据因式分解的方法逐项分析如下：
A．x2+1不能因式分解，故不符合题意；
B．x2+x＝x（x+1），故符合题意；
C．x2+x+1不能因式分解，故不符合题意；
D．x2﹣x+1不能因式分解，故不符合题意．
故选：B．
7．（2025 光明区二模）已知两实数的差为m，用它们“平均数的平方”，减去它们“平方的平均数”，得到的差用m可表示为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设这两个实数分别是a、b，
a﹣b＝m，
．
故选：D．
8．（2025 镇平县模拟）对任意整数m，（2m﹣1）2﹣25都能（　　）
A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除
【解答】解：原式＝（2m﹣1+5）（2m﹣1﹣5）
＝4（m+2）（m﹣3），
则4（m+2）（m﹣3）为4的倍数，从而能被4整除；
故选：A．
9．（2025 嘉陵区模拟）将多项式x2﹣ax+6分解因式为：x2﹣ax+6＝（x﹣6）（x+b），则a+b2025＝（　　）
A．﹣8 B．8 C．﹣6 D．6
【解答】解：∵（x﹣6）（x+b）＝x2﹣（6﹣b）x﹣6b，
∴x2﹣ax+6＝x2﹣（6﹣b）x﹣6b，
∴a＝6﹣b，6＝﹣6b，
∴a＝7，b＝﹣1，
∴a+b2025＝7+（﹣1）2025＝6．
故选：D．
二．填空题（共7小题）
10．（2025 朝阳区校级模拟）单项式的系数是a，次数是b，则a+b＝　　 ．
【解答】解：∵单项式的系数是a，次数是b，
∴a，b＝3，
∴a+b3．
故答案为：．
11．（2025 海淀区校级模拟）因式分解：ab2﹣4a＝　a（b+2）（b﹣2）　 ．
【解答】解：原式＝a（b2﹣4）
＝a（b+2）（b﹣2），
故答案为：a（b+2）（b﹣2）
12．（2025 慈利县一模）若 x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，则m＝　5或﹣3　 ．
【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，
∴m﹣1＝±2×1×2，
解得：m＝5或﹣3，
故答案为：5或﹣3．
13．（2025 盐湖区校级一模）公园里有一个长方形花坛，原来长为2x m，宽为x m，现在要把花坛四周均向外扩展2y m，扩展后的长方形花坛的长为（2x+2y）m，宽为（x+2y）m，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加　（6xy+4y2）　 m2．
【解答】解：由题意得：改变后花坛的长（2x+2y） m，宽（x+2y） m，
这个花坛的面积将增加：（2x+2y）（x+2y）﹣2x2
＝2x2+4xy+2xy+4y2﹣2x2
＝6xy+4y2．
故答案为：（6xy+4y2）．
14．（2025 路南区校级三模）有一个数学游戏，如图，A、B、C均为含x的整式，且x的系数均为正整数．若“ ”上是两个对应整式相乘的结果，则“？”处应填 　x2+2x　 ．
【解答】解：因为AB＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
BC＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
因为A、B、C均为含x的整式，且x的系数均为正整数，
所以B＝x﹣2，A＝x+2，C＝x，
AC＝x（x+2）＝x2+2x．
故答案为：x2+2x．
15．（2025 工业园区校级二模）已知a＝2，2a﹣b＝3，则代数式2a3﹣a2b的值是　12　 ．
【解答】解：∵a＝2，2a﹣b＝3，
∴原式＝a2（2a﹣b），
＝22×3
＝12；
故答案为：12．
16．（2025 兰陵县一模）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则m2n+mn2的值为　12　 ．
【解答】解：由条件可知2（m+n）＝8，mn＝3，
即m+n＝4，
则原式＝mn（m+n）＝12，
故答案为：12．
三．解答题（共7小题）
17．（2025 台江区校级模拟）因式分解：
（1）3ax2﹣6ax+3a；
（2）（m2+1）2﹣4m2．
【解答】解：（1）3ax2﹣6ax+3a
＝3a（x2﹣2x+1）
＝3a（x﹣1）2；
（2）（m2+1）2﹣4m2
＝（m2+1）2﹣（2m）2
＝（m2+1+2m）（m2+1﹣2m）
＝（m+1）2（m﹣1）2．
18．（2025 永寿县校级模拟）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（xy2+4y3）÷y，其中x．
【解答】解：（x+2y）（x﹣2y）+（xy2+4y3）÷y
＝x2﹣4y2+xy+4y2
＝x2+xy，
当x时，原式＝32+39+1＝10．
19．（2025 信都区二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了．
x（x+2）﹣3（◆） ＝x2+2x﹣6x+3 ＝■
（1）被污染的整式◆＝　2x﹣1　 ；■＝　x2﹣4x+3　 ；
（2）已知x≠1，判断整式◆与■的和与1的大小关系，并说明理由．
【解答】解：（1）由条件可得◆＝2x﹣1，■＝x2﹣4x+3；
故答案为：2x﹣1，x2﹣4x+3；
（2）由条件可得：◆+■﹣1＝2x﹣1+x2﹣4x+3﹣1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＞0，
∴◆与■的和大于1．
20．（2025 秦皇岛模拟）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式：
M＝﹣2a2+4a；N＝﹣2（a2﹣2a+2）．
（1）比较M，N的大小；
（2）若P+2N＝M﹣6，证明：P不可能小于0．
【解答】解：（1）M﹣N
＝﹣2a2+4a﹣[﹣2（a2﹣2a+2）]
＝﹣2a2+4a+2a2﹣4a+4
＝4＞0，
故M＞N．
（2）证明：由条件可知：
P＝M﹣2N﹣6
＝﹣2a2+4a﹣2[﹣2（a2﹣2a+2）]﹣6
＝﹣2a2+4a+4（a2﹣2a+2）﹣6
＝﹣2a2+4a+4a2﹣8a+8﹣6
＝2a2﹣4a+2
＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2≥0，
故P不可能小于0．
21．（2025 邯山区校级模拟）如图1和图2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式．
（1）先求出代数式M，再计算当x＝﹣1时，代数式M的值；
（2）嘉淇说：“只要x的值不取﹣1，M的值就一定大于N的值．”你同意她的说法吗？说明理由．
【解答】解：（1）根据题意可知，x2﹣3x﹣2+M＝3x2﹣6x﹣1，
∴M＝3x2﹣6x﹣1﹣（x2﹣3x﹣2）
＝3x2﹣6x﹣1﹣x2+3x+2
＝2x2﹣3x+1，
当x＝﹣1时，
2x2﹣3x+1
＝2×（﹣1）2﹣3×（﹣1）+1
＝2+3+1
＝6；
（2）同意，理由如下：
根据题意可知，（x﹣1）（x+1）﹣5x+1＝N，
∴N＝x2﹣1﹣5x+1＝x2﹣5x，
∴M﹣N＝2x2﹣3x+1﹣（x2﹣5x）
＝2x2﹣3x+1﹣x2+5x
＝x2+2x+1
＝（x+1）2，
当x＝﹣1时，（x+1）2＝0，此时M﹣N＝0，M＝N；
当x不取﹣1，（x+1）2恒大于0，M的值就一定大于N的值．
22．（2025 玉田县校级三模）如图，甲、乙、丙三张卡片分别写有关于x的整式．
（1）若甲、乙两张卡片上的整式的和可以用完全平方公式进行因式分解，求符合条件的k的一个值；
（2）嘉淇设计了一个数学闯关游戏，规则是：当选取的两张卡片上的整式相减等于第三张卡片上的整式时，闯关成功．
①求出卡片甲上的整式减去卡片丙上的整式的计算结果，并判断能否闯关成功；
②若卡片乙上的整式减去卡片甲上的整式能闯关成功．直接写出k的值．
【解答】解：（1）2x2﹣3x﹣1+（﹣x2+kx+5）
＝2x2﹣3x﹣1﹣x2+kx+5
＝x2+（k﹣3）x+4，
由题意知k﹣3＝±4，
解得k＝﹣1或7；
（2）①（2x2﹣3x﹣1）﹣（﹣3x2﹣x+6）
＝2x2﹣3x﹣1+3x2+x﹣6
＝5x2﹣2x﹣7≠﹣x2+kx+5，
闯关失败；
②（﹣x2+kx+5）﹣（2x2﹣3x﹣1）
＝﹣x2+kx+5﹣2x2+3x+1
＝﹣3x2+（k+3）x+6，
由题意知﹣3x2+（k+3）x+6＝﹣3x2﹣x+6，
∴k+3＝﹣1，
则k＝﹣4．
23．（2025 宁德二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中a，b，m，n都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根．
（1）判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由；
（2）若完整根式的完整平方根是，请用含m，n的代数式分别表示a，b；
（3）若是完整根式，证明：a2﹣4b一定是完全平方数．
【解答】解：（1）是的完整平方根，理由如下：
，
即．
∴是的完整平方根．
（2）由条件可知．
∴．
∵a，b，m，n都是整数，
∴a＝m+n，b＝mn．
（3）不妨设，其中m，n都是整数．
由（2）得，a＝m+n，b＝mn．
∴a2﹣4b＝（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2．
∵m，n都是整数，
∴（m﹣n）2为完全平方数．
∴a2﹣4b一定是完全平方数．
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