2026年中考数学：二次函数（含答案）
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2026年中考数学：二次函数
一．选择题（共8小题）
1．（2025 淮安区校级二模）已知关于x的方程mx2m＝0（m、n为常数，且mn≠0）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．一个实数根 B．两个实数根
C．三个实数根 D．没有实数根
2．（2025 紫金县校级一模）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4
3．（2025 惠州模拟）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
4．（2025 雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0且﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
5．（2025 青秀区校级三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025 滁州三模）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2
C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2
7．（2025 万山区三模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＜0；②b+2a＝0；③a﹣b＜am2+bm（m≠﹣1）；④ax2+bx+c＝0两根分别为x1＝﹣1，x2＝1；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的项有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2025 即墨区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．a+c＜0
C．a﹣b+c＞0
D．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
二．填空题（共9小题）
9．（2025 番禺区校级二模）把二次函数y＝2x2+4x﹣1配方成顶点式为 ．
10．（2025 兰陵县一模）若抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝m只有一个公共点，则m的值为 ．
11．（2025 河南校级三模）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m n（填“＞”“＜”“≥”“≤”或“＝”）．
x ﹣3 ﹣2 1 2 3
y ﹣7 ﹣2 m n ﹣2
12．（2025 高要区校级三模）抛物线y＝x2+bx+c如图所示，则它的解析式是 ．
13．（2025 武侯区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x0，m）（x0＞0）和N（m，n）是抛物线y＝x2﹣2x上的两个点，且 n＞m恒成立，则x0的取值范围为 ．
14．（2025 武侯区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x1，y1）和点N（x2，y2）是二次函数y＝ax2﹣a2x（a≠0）图象上的两点．若对于，都有y1＜y2，则a的取值范围是 ；若对于x1＝2a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，则a的取值范围是 ．
15．（2025 静宁县校级三模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度y（m）和水平距离x（m）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 m．
16．（2025 望花区模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点B坐标为（﹣3，0）．如果点P在x轴正半轴上，且△ABP是等腰三角形，则P的坐标为 ．
17．（2025 新宾县校级模拟）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中，如图，拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN，要在拱门中设置矩形框架ABCD，当AB＝3m时，矩形框架ABCD的周长为 ．
三．解答题（共7小题）
18．（2025 张掖模拟）抛物线G：y＝x2﹣2mx+m+5（m为常数）的顶点为C．
（1）求点C的坐标（用含m的式子表示）；
（2）经过探究发现，随着m的变化，点C始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移n（n＞0）个单位后，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上．
①求n与m之间的关系；
②若y＝x2﹣2mx﹣m+5在x≤3时，都有y随x的增大而减小，设抛物线H的顶点为E，求直线CE与x轴交点的横坐标的最大值．
19．（2025 封开县一模）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为10元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系：当x＝12时，y＝96；当x＝20时，y＝80．
（1）若该公司获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的函数解析式；
（2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？
20．（2025 虞城县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2ax+2的图象与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点，求此抛物线的对称轴．
（2）点M为y轴上一点，M（0，m）（m＞2），过点M且垂直于y轴的直线l与抛物线交于P、Q两点，若PM+QM＝4，求点M的纵坐标m的取值范围．
21．（2025 泌阳县二模）在校园科技节期间，物理老师为同学们进行了水火箭的发射表演．图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图2所示，以水平地面为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yx2+x+c和直线y＝﹣x+n．已知，当水火箭飞行的水平距离为10m时，自动进入滑行阶段．
（1）若水火箭刚进入滑行阶段时的高度为3.2m．
①求c的值和落地点与起抛点的水平距离；
②起抛点前方有一堵7.2m高的围栏，起抛点与围栏的水平距离的范围为多少米时，水火箭可以顺利飞过围栏？（不包含临界点）
（2）若落地点与起抛点的水平距离不超过12m，求出c的最大值．
22．（2025 海州区校级一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有“和点”构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“和抛物线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“和抛物线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：
（1）点P（1，2）的“和点”是 ；
（2）如果抛物线y＝x2+bx+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“和抛物线”；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“和点”是B1（﹣1，1）．若该抛物线的顶点坐标为（p，q），该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为（m，n）．
①当0≤c≤5时，求n的取值范围．
②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点（p，q）组成一条新的抛物线，设为yp，所有的顶点（m，n）也组成一条新的抛物线，设为ym，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
23．（2025 孝南区校级三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上不与A、C重合的一动点，过点P作直线AC的平行线交x轴于点D，交y轴于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图①，当点P在第二象限时，若PD＝PE，求m的值；
（3）将C，E两点间的距离记为d，当两点重合时其距离为0．
①求d关于m的函数解析式；
②当PD≤AC时，请直接写出m的取值范围及对应的d的取值范围．
24．（2025 清远一模）综合应用
如图1，顶点为P的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点C（1，0），与y轴交于点B，连接AB、BP．
（1）求b、c的值及∠PBA的度数；
（2）如图2，动点M从点O出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于E，NF⊥x轴交抛物线于F，连接MN、EF．
①当EF∥MN时，求点F的坐标；
②直接写出在运动过程中，使得△BNP与△BMN相似的t的值．
2026年中考数学：二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C C D D B B
一．选择题（共8小题）
1．（2025 淮安区校级二模）已知关于x的方程mx2m＝0（m、n为常数，且mn≠0）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．一个实数根 B．两个实数根
C．三个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵x的方程mx2m＝0（m、n为常数，且mn≠0），
∴mx2+m，
设y1＝mx2+m，y2，
①当m＞0，n＞0时，如图1，两个函数有一个交点，即关于x的方程mx2m＝0有一个实数根；
②当m＞0，n＜0时，如图2，两个函数有一个交点，即关于x的方程mx2m＝0有一个实数根；
③当m＜0，n＜0时和当m＜0，n＞0时，两个函数有一个交点，即关于x的方程mx2m＝0有一个实数根；
故选：A．
2．（2025 紫金县校级一模）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4
【解答】解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4．
故选：A．
3．（2025 惠州模拟）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，且a＝﹣3＜0，
∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意；
顶点坐标是（1，2），故选项C符合题意；
当x＞3时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意．
故选：C．
4．（2025 雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0且﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
【解答】解：因为y＝ax2﹣2ax+2＝a（x﹣1）2+2﹣a（a＞0），
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为（1，2﹣a）．
因为1﹣（﹣1）＝3﹣1，
所以x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
因为﹣1≤x≤t﹣1，当x＝﹣1时，函数取得最大值，
所以t﹣1≤3，
又因为当x＝1时，函数取得最小值，
所以t﹣1≥1，
所以1≤t﹣1≤3，
解得2≤t≤4．
故选：C．
5．（2025 青秀区校级三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选：D．
6．（2025 滁州三模）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2
C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2
【解答】解：∵该地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作x，
∴第二天销售额为a（1+x）万元，第三天销售额为a（1+x）2万元．
根据题意得：y＝x+a（1+x）+a（1+x）2．
故选：D．
7．（2025 万山区三模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＜0；②b+2a＝0；③a﹣b＜am2+bm（m≠﹣1）；④ax2+bx+c＝0两根分别为x1＝﹣1，x2＝1；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的项有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①图象可知：a＞0，c＜0，对称轴在y轴的左侧可知：b＞0，
∴abc＜0，故①正确，符合题意；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴，即b＝2a，
∴b﹣2a＝0，故②错误，不符合题意；
③由抛物线的性质可知，当时x＝﹣1，y有最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c（m≠﹣1），
即a﹣b＜am2+bm（m≠﹣1），故③正确，符合题意；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且与x轴的一个交点的横坐标为1，
∴另一个交点的横坐标为﹣3，
∴方程的两根分别是1，﹣3，故④错误，不符合题意；
⑤由图象可得，当x＝2时，y＞0，即：4a+2b+c＞0，故⑤正确，符合题意；
故正确选项有①③⑤共3个，
故选：B．
8．（2025 即墨区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．a+c＜0
C．a﹣b+c＞0
D．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x2，
∴b＝4a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，故A错误；
∵抛物线过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+c＝﹣b，
∵﹣b＜0，
∴a+c＜0，故B正确；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故C错误；
当点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）到对称轴的距离时，则y1＞y2，故D错误．
故选：B．
二．填空题（共9小题）
9．（2025 番禺区校级二模）把二次函数y＝2x2+4x﹣1配方成顶点式为 y＝2（x+1）2﹣3 ．
【解答】解：y＝2x2+4x﹣1
＝2（x2+2x）﹣1
＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1
＝2（x+1）2﹣3，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣3．
10．（2025 兰陵县一模）若抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝m只有一个公共点，则m的值为 m＝﹣1 ．
【解答】解：∵抛物线与直线y＝m只有一个公共点，
∴x2﹣2x＝m，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：m＝﹣1．
11．（2025 河南校级三模）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m ＞ n（填“＞”“＜”“≥”“≤”或“＝”）．
x ﹣3 ﹣2 1 2 3
y ﹣7 ﹣2 m n ﹣2
【解答】解：由题意，根据表格数据可得，图象过（﹣2，﹣2），（3，﹣2），
∴对称轴是直线x．
由表格数据可得，当x时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下．
∴当x时，y随x的增大而减小．
又∵1＜2，
∴m＞n．
故答案为：＞．
12．（2025 高要区校级三模）抛物线y＝x2+bx+c如图所示，则它的解析式是 y＝x2﹣4x+3 ．
【解答】解：设二次函数的解析数为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线经过（0，3），
∴a×（﹣1）×（﹣3）＝3．
∴a＝1．
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．
故答案为：y＝x2﹣4x+3．
13．（2025 武侯区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x0，m）（x0＞0）和N（m，n）是抛物线y＝x2﹣2x上的两个点，且 n＞m恒成立，则x0的取值范围为 0＜x0＜2或x0＞3 ．
【解答】解：∵M（x0，m）和N（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x上，
∴m2x0，n＝m2﹣2m，
∴n﹣m＝（m﹣x0）（m+x0﹣2）＞0，
∴（3x0）（x0﹣2）＞0，
∴x0（x0﹣3）（x0﹣2）（x0+1）＞0，
∵x0＞0，
∴x0（x0+1）＞0，
∴（x0﹣3）（x0﹣2）＞0，
∴x0＞3或x0＜2，
∴x0＞3或0＜x0＜2．
故答案为：0＜x0＜2或x0＞3．
14．（2025 武侯区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x1，y1）和点N（x2，y2）是二次函数y＝ax2﹣a2x（a≠0）图象上的两点．若对于，都有y1＜y2，则a的取值范围是 a＞0 ；若对于x1＝2a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，则a的取值范围是 a≤﹣4或0＜a ．
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣a2x的对称轴为直线xa，
令y＝0，则x＝0或a，
∵x1存在，
∴a＞0，
∵0＜x1a，
∴a＜a﹣x1＜a，
∴y2＞y1恒成立，
即a＞0；
∵x1＝2a，
∴y1＝2a3，
∴y2﹣y1＝aa2x2﹣2a3＝a（x2﹣2a）（x2+a）≥0，在3≤x2≤4时恒成立，
当a＞0时，2a≤3或﹣a≥4，
∴0＜a，
当a＜0时，2a≤3且﹣a≥4，
∴a≤﹣4，
综上所述，a≤﹣4或0＜a．
故答案为：a＞0，a≤﹣4或0＜a．
15．（2025 静宁县校级三模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度y（m）和水平距离x（m）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 50 m．
【解答】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为（50，30），
∴当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是50m，
故答案为：50．
16．（2025 望花区模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点B坐标为（﹣3，0）．如果点P在x轴正半轴上，且△ABP是等腰三角形，则P的坐标为 （3，0）或 ．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点B坐标为（﹣3，0），
∴A（0，3），
∴OA＝3，OB＝3，
在Rt△AOB中，，
因为△ABP是等腰三角形，
①当AB＝AP时，OB＝OP＝3，点P的坐标为（3，0），
②当时，点P的坐标为或（舍去），
③当AP＝BP时，设点P的坐标为（x，0），
根据题意，，BP＝|x+3|，
∴，
整理，得x2+9＝x2+6x+9．
解得x＝0（不合题意，舍去）．
综上所述，点P的坐标为（3，0）或．
故答案为：（3，0）或．
17．（2025 新宾县校级模拟）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中，如图，拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN，要在拱门中设置矩形框架ABCD，当AB＝3m时，矩形框架ABCD的周长为 18m ．
【解答】解：由题意得，抛物线的顶点P（6，4），
∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，
把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，
∴a．
∴y（x﹣6）2+4．
令y（x﹣6）2+4＝3，
∴x＝3或x＝9，
∴BC＝9﹣3＝6（m），
∴矩形框架ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（3+6）＝18（m）．
故答案为：18m．
三．解答题（共7小题）
18．（2025 张掖模拟）抛物线G：y＝x2﹣2mx+m+5（m为常数）的顶点为C．
（1）求点C的坐标（用含m的式子表示）；
（2）经过探究发现，随着m的变化，点C始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移n（n＞0）个单位后，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上．
①求n与m之间的关系；
②若y＝x2﹣2mx﹣m+5在x≤3时，都有y随x的增大而减小，设抛物线H的顶点为E，求直线CE与x轴交点的横坐标的最大值．
【解答】解：（1）抛物线G：y＝x2﹣2mx+m+5＝（x﹣m）2﹣m2+m+5的顶点为C，
∴顶点C（m，﹣m2+m+5）；
（2）当x＝m，即m＝x时，得：y＝x2﹣2x x+x+5＝y＝﹣x2+x+5，
∴抛物线H的解析式为y＝﹣x2+x+5，
抛物线G向右平移n个单位后，抛物线为y＝（x﹣m﹣n）2﹣m2+m+5，
此时的顶点D（m+n，﹣m2+m+5），
①∵抛物线顶点D仍在抛物线H上，
∴﹣m2+m+5＝﹣（m+n）2+（m+n）+5，
整理得n2+2mn﹣n＝0，即n（n+2m﹣1）＝0．
∵n＞0，
∴n＝﹣2m+1；
②∵y＝x2﹣2mx﹣m+5在x≤3时，y随x的增大而减小，
∴对称轴x＝m≥3，
∵抛物线，
∴，
设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点C，点E的坐标分别代入得：
，
解得，
∴，
当y＝0时，得：，
又∵m≥3，
∴x随m的增大而减小，
∴当m＝3时，x有最大值，
∴直线CE与x轴交点的横坐标的最大值为．
19．（2025 封开县一模）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为10元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系：当x＝12时，y＝96；当x＝20时，y＝80．
（1）若该公司获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的函数解析式；
（2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？
【解答】解：（1）设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为y＝kx+b，
∵当x＝12时，y＝96；当x＝20时，y＝80．
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+120，
∴W＝（x﹣10） （﹣2x+120）
＝﹣2x2+140x﹣1200；
（2）∵W＝﹣2x2+140x﹣1200＝﹣2（x﹣35）2+1250，
∵x≤30，抛物线开口向下，在x＝35的左侧，y随x的增大而增大，
∴x＝30时，W有最大值，最大值为1200元．
答：当销售单价定为30元时，商场可获最大利润，最大利润是1200元．
20．（2025 虞城县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2ax+2的图象与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点，求此抛物线的对称轴．
（2）点M为y轴上一点，M（0，m）（m＞2），过点M且垂直于y轴的直线l与抛物线交于P、Q两点，若PM+QM＝4，求点M的纵坐标m的取值范围．
【解答】解：（1）把代入y＝﹣x2+2ax+2得到，
，
解得a＝1，
∴y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+2，的对称轴为直线x＝1；
（2）当y＝m时，﹣x2+2ax+2＝m，
∴x2﹣2ax+m﹣2＝0，
∵PM+QM＝4，
∴PM＝|xP|，QM＝|xQ|，
|xP+|xQ|＝4，
∴a＝2或a＝﹣2
当a＝2时，y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
即此时抛物线的最高点为（2，6），则2＜m＜6，
当a＝﹣2时，y＝﹣x2﹣4x+2＝﹣（x+2）2+6，
即此时抛物线的最高点为（﹣2，6），则2＜m＜6，
∴m的取值范围是2＜m＜6．
21．（2025 泌阳县二模）在校园科技节期间，物理老师为同学们进行了水火箭的发射表演．图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图2所示，以水平地面为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yx2+x+c和直线y＝﹣x+n．已知，当水火箭飞行的水平距离为10m时，自动进入滑行阶段．
（1）若水火箭刚进入滑行阶段时的高度为3.2m．
①求c的值和落地点与起抛点的水平距离；
②起抛点前方有一堵7.2m高的围栏，起抛点与围栏的水平距离的范围为多少米时，水火箭可以顺利飞过围栏？（不包含临界点）
（2）若落地点与起抛点的水平距离不超过12m，求出c的最大值．
【解答】解：（1）①∵抛物线yx2+x+c经过点（10，3.2），
∴3.2102+10+c，
解得：c＝5.7；
∵y＝﹣x+n经过点（10，3.2），
∴3.2＝﹣10+n，
解得：n＝13.2；
②当y＝7.2时，7.2x2+x+5.7，
解得：x1＝6（不合题意，舍去），x2＝2，
7.2＝﹣x+13.2，
解得：x＝6．
∴起抛点与围栏的水平距离的范围为2≤x≤6米时，火箭可以顺利飞过围栏；
（2）由题意得：y＝﹣x+n经过点（12，0），
∴0＝﹣12+n，
解得：n＝12，
∴y＝﹣x+12，
当x＝12时，y＝0，
∴yx2+x+c经过点（12，0），
∴0122+12+c，
解得：c＝6．
故c的最大值为：6．
22．（2025 海州区校级一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有“和点”构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“和抛物线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“和抛物线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：
（1）点P（1，2）的“和点”是 （1，3） ；
（2）如果抛物线y＝x2+bx+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“和抛物线”；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“和点”是B1（﹣1，1）．若该抛物线的顶点坐标为（p，q），该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为（m，n）．
①当0≤c≤5时，求n的取值范围．
②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点（p，q）组成一条新的抛物线，设为yp，所有的顶点（m，n）也组成一条新的抛物线，设为ym，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
【解答】解：（1）由新定义知，1+2＝3，即“和点”是（1，3），
故答案为：（1，3）；
（2）将点M的坐标代入函数表达式得：﹣3＝1+b+3，则b＝﹣7，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣7x+3，
则该抛物线的“和抛物线”为：y＝x2﹣7x+3+x＝x2﹣6x+3；
（3）①B（x，y）的“和点”是B1（﹣1，1），则点B（﹣1，2），
将点B的坐标代入抛物线表达式得：2＝1﹣b+c，则c＝b+1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+bx+b+1，
则抛物线的“和抛物线”为y＝x2+（b+1）x+b+1，
则顶点的坐标为：（，b+1），
则nb+1c2+c，
当0≤c≤5时，
当c＝2时，nmax4+2＝1，
当c＝5时，nminc2+c，
故n≤1；
②由①知，顶点的坐标为：（，b+1），
令x，则b+1＝﹣2x，
则ymb+1＝﹣x2﹣2x，顶点坐标为：（﹣1，1）；
同理可得：则yp＝﹣x2﹣2x+1，顶点坐标为：（﹣1，2）；
则两条新抛物线顶点之间的距离2﹣1＝1．
23．（2025 孝南区校级三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上不与A、C重合的一动点，过点P作直线AC的平行线交x轴于点D，交y轴于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图①，当点P在第二象限时，若PD＝PE，求m的值；
（3）将C，E两点间的距离记为d，当两点重合时其距离为0．
①求d关于m的函数解析式；
②当PD≤AC时，请直接写出m的取值范围及对应的d的取值范围．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2﹣2m+3），
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
直线AC的解析式为y＝x+3，
∵DE∥AC，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣m2﹣3m+3，
∴E（0，﹣m2﹣3m+3），D（m2+3m﹣3，0），
∵PD＝PE，
∴P点是DE的中点，
∴2m＝m2+3m﹣3，
解得m，
∵P点在第二象限，
∴m＜0，
∴m；
（3）①∵C（0，3），E（0，﹣m2﹣3m+3），
∴d＝|m2+3m|；
②∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴AC＝3，
∵D（m2+3m﹣3，0），P（m，﹣m2﹣2m+3），
∴PD|m2+3m﹣3|，
∵PD≤AC，
∴|m2+3m﹣3|≤3，
解得﹣1m≤﹣2或0≤m≤﹣1，
当﹣1m≤﹣2时，0≤d≤5；
当0≤m≤﹣1时，0≤d≤5+5；
∴0≤d≤5+5．
24．（2025 清远一模）综合应用
如图1，顶点为P的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点C（1，0），与y轴交于点B，连接AB、BP．
（1）求b、c的值及∠PBA的度数；
（2）如图2，动点M从点O出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于E，NF⊥x轴交抛物线于F，连接MN、EF．
①当EF∥MN时，求点F的坐标；
②直接写出在运动过程中，使得△BNP与△BMN相似的t的值．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣3，0）和点C（1，0），
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，
∴b＝2，c＝﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴P（﹣1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AB＝3，BP，PA＝2，
∴PA2＝PB2+BA2，
∴∠PBA＝90°；
（2）①∵OA＝OB＝3，
∴∠OAB＝45°，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵ANt，
∴N（﹣3+t，﹣t），
∴F（﹣3+t，t2﹣4t），
∵M（﹣t，0），ME⊥x轴，
∴E（﹣t，t﹣3），
∵MN∥EF，
∴t﹣3＝t2﹣3t，
解得t＝3（舍）或t＝1，
∴F（﹣2，﹣3）；
②∵∠NBP＝90°，
△MNB中只能是∠MNB＝90°，此时MN∥PB，
∴∠PNB＝∠MBN，
∴△MNB∽△PBN，
∵∠OAB＝45°，
∴△ANM是等腰直角三角形，
∴﹣3+t，
解得t＝1．
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2026年中考数学：二次函数
一．选择题（共8小题）
1．（2025 淮安区校级二模）已知关于x的方程mx2m＝0（m、n为常数，且mn≠0）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．一个实数根 B．两个实数根
C．三个实数根 D．没有实数根
2．（2025 紫金县校级一模）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4
3．（2025 惠州模拟）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
4．（2025 雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0且﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
5．（2025 青秀区校级三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025 滁州三模）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2
C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2
7．（2025 万山区三模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＜0；②b+2a＝0；③a﹣b＜am2+bm（m≠﹣1）；④ax2+bx+c＝0两根分别为x1＝﹣1，x2＝1；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的项有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2025 即墨区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．a+c＜0
C．a﹣b+c＞0
D．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
二．填空题（共9小题）
9．（2025 番禺区校级二模）把二次函数y＝2x2+4x﹣1配方成顶点式为 ．
10．（2025 兰陵县一模）若抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝m只有一个公共点，则m的值为 ．
11．（2025 河南校级三模）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m n（填“＞”“＜”“≥”“≤”或“＝”）．
x ﹣3 ﹣2 1 2 3
y ﹣7 ﹣2 m n ﹣2
12．（2025 高要区校级三模）抛物线y＝x2+bx+c如图所示，则它的解析式是 ．
13．（2025 武侯区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x0，m）（x0＞0）和N（m，n）是抛物线y＝x2﹣2x上的两个点，且 n＞m恒成立，则x0的取值范围为 ．
14．（2025 武侯区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x1，y1）和点N（x2，y2）是二次函数y＝ax2﹣a2x（a≠0）图象上的两点．若对于，都有y1＜y2，则a的取值范围是 ；若对于x1＝2a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，则a的取值范围是 ．
15．（2025 静宁县校级三模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度y（m）和水平距离x（m）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 m．
16．（2025 望花区模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点B坐标为（﹣3，0）．如果点P在x轴正半轴上，且△ABP是等腰三角形，则P的坐标为 ．
17．（2025 新宾县校级模拟）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中，如图，拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN，要在拱门中设置矩形框架ABCD，当AB＝3m时，矩形框架ABCD的周长为 ．
三．解答题（共7小题）
18．（2025 张掖模拟）抛物线G：y＝x2﹣2mx+m+5（m为常数）的顶点为C．
（1）求点C的坐标（用含m的式子表示）；
（2）经过探究发现，随着m的变化，点C始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移n（n＞0）个单位后，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上．
①求n与m之间的关系；
②若y＝x2﹣2mx﹣m+5在x≤3时，都有y随x的增大而减小，设抛物线H的顶点为E，求直线CE与x轴交点的横坐标的最大值．
19．（2025 封开县一模）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为10元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系：当x＝12时，y＝96；当x＝20时，y＝80．
（1）若该公司获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的函数解析式；
（2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？
20．（2025 虞城县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2ax+2的图象与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点，求此抛物线的对称轴．
（2）点M为y轴上一点，M（0，m）（m＞2），过点M且垂直于y轴的直线l与抛物线交于P、Q两点，若PM+QM＝4，求点M的纵坐标m的取值范围．
21．（2025 泌阳县二模）在校园科技节期间，物理老师为同学们进行了水火箭的发射表演．图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图2所示，以水平地面为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yx2+x+c和直线y＝﹣x+n．已知，当水火箭飞行的水平距离为10m时，自动进入滑行阶段．
（1）若水火箭刚进入滑行阶段时的高度为3.2m．
①求c的值和落地点与起抛点的水平距离；
②起抛点前方有一堵7.2m高的围栏，起抛点与围栏的水平距离的范围为多少米时，水火箭可以顺利飞过围栏？（不包含临界点）
（2）若落地点与起抛点的水平距离不超过12m，求出c的最大值．
22．（2025 海州区校级一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有“和点”构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“和抛物线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“和抛物线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：
（1）点P（1，2）的“和点”是 ；
（2）如果抛物线y＝x2+bx+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“和抛物线”；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“和点”是B1（﹣1，1）．若该抛物线的顶点坐标为（p，q），该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为（m，n）．
①当0≤c≤5时，求n的取值范围．
②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点（p，q）组成一条新的抛物线，设为yp，所有的顶点（m，n）也组成一条新的抛物线，设为ym，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
23．（2025 孝南区校级三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上不与A、C重合的一动点，过点P作直线AC的平行线交x轴于点D，交y轴于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图①，当点P在第二象限时，若PD＝PE，求m的值；
（3）将C，E两点间的距离记为d，当两点重合时其距离为0．
①求d关于m的函数解析式；
②当PD≤AC时，请直接写出m的取值范围及对应的d的取值范围．
24．（2025 清远一模）综合应用
如图1，顶点为P的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点C（1，0），与y轴交于点B，连接AB、BP．
（1）求b、c的值及∠PBA的度数；
（2）如图2，动点M从点O出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于E，NF⊥x轴交抛物线于F，连接MN、EF．
①当EF∥MN时，求点F的坐标；
②直接写出在运动过程中，使得△BNP与△BMN相似的t的值．
2026年中考数学：二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C C D D B B
一．选择题（共8小题）
1．（2025 淮安区校级二模）已知关于x的方程mx2m＝0（m、n为常数，且mn≠0）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．一个实数根 B．两个实数根
C．三个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵x的方程mx2m＝0（m、n为常数，且mn≠0），
∴mx2+m，
设y1＝mx2+m，y2，
①当m＞0，n＞0时，如图1，两个函数有一个交点，即关于x的方程mx2m＝0有一个实数根；
②当m＞0，n＜0时，如图2，两个函数有一个交点，即关于x的方程mx2m＝0有一个实数根；
③当m＜0，n＜0时和当m＜0，n＞0时，两个函数有一个交点，即关于x的方程mx2m＝0有一个实数根；
故选：A．
2．（2025 紫金县校级一模）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4
【解答】解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4．
故选：A．
3．（2025 惠州模拟）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，且a＝﹣3＜0，
∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意；
顶点坐标是（1，2），故选项C符合题意；
当x＞3时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意．
故选：C．
4．（2025 雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0且﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
【解答】解：因为y＝ax2﹣2ax+2＝a（x﹣1）2+2﹣a（a＞0），
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为（1，2﹣a）．
因为1﹣（﹣1）＝3﹣1，
所以x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
因为﹣1≤x≤t﹣1，当x＝﹣1时，函数取得最大值，
所以t﹣1≤3，
又因为当x＝1时，函数取得最小值，
所以t﹣1≥1，
所以1≤t﹣1≤3，
解得2≤t≤4．
故选：C．
5．（2025 青秀区校级三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选：D．
6．（2025 滁州三模）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2
C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2
【解答】解：∵该地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作x，
∴第二天销售额为a（1+x）万元，第三天销售额为a（1+x）2万元．
根据题意得：y＝x+a（1+x）+a（1+x）2．
故选：D．
7．（2025 万山区三模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＜0；②b+2a＝0；③a﹣b＜am2+bm（m≠﹣1）；④ax2+bx+c＝0两根分别为x1＝﹣1，x2＝1；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的项有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①图象可知：a＞0，c＜0，对称轴在y轴的左侧可知：b＞0，
∴abc＜0，故①正确，符合题意；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴，即b＝2a，
∴b﹣2a＝0，故②错误，不符合题意；
③由抛物线的性质可知，当时x＝﹣1，y有最小值，
∴a﹣b+c＜am2+bm+c（m≠﹣1），
即a﹣b＜am2+bm（m≠﹣1），故③正确，符合题意；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且与x轴的一个交点的横坐标为1，
∴另一个交点的横坐标为﹣3，
∴方程的两根分别是1，﹣3，故④错误，不符合题意；
⑤由图象可得，当x＝2时，y＞0，即：4a+2b+c＞0，故⑤正确，符合题意；
故正确选项有①③⑤共3个，
故选：B．
8．（2025 即墨区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．a+c＜0
C．a﹣b+c＞0
D．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x2，
∴b＝4a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，故A错误；
∵抛物线过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+c＝﹣b，
∵﹣b＜0，
∴a+c＜0，故B正确；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故C错误；
当点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）到对称轴的距离时，则y1＞y2，故D错误．
故选：B．
二．填空题（共9小题）
9．（2025 番禺区校级二模）把二次函数y＝2x2+4x﹣1配方成顶点式为 y＝2（x+1）2﹣3 ．
【解答】解：y＝2x2+4x﹣1
＝2（x2+2x）﹣1
＝2（x2+2x+1﹣1）﹣1
＝2（x+1）2﹣3，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣3．
10．（2025 兰陵县一模）若抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝m只有一个公共点，则m的值为 m＝﹣1 ．
【解答】解：∵抛物线与直线y＝m只有一个公共点，
∴x2﹣2x＝m，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：m＝﹣1．
11．（2025 河南校级三模）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m ＞ n（填“＞”“＜”“≥”“≤”或“＝”）．
x ﹣3 ﹣2 1 2 3
y ﹣7 ﹣2 m n ﹣2
【解答】解：由题意，根据表格数据可得，图象过（﹣2，﹣2），（3，﹣2），
∴对称轴是直线x．
由表格数据可得，当x时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下．
∴当x时，y随x的增大而减小．
又∵1＜2，
∴m＞n．
故答案为：＞．
12．（2025 高要区校级三模）抛物线y＝x2+bx+c如图所示，则它的解析式是 y＝x2﹣4x+3 ．
【解答】解：设二次函数的解析数为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线经过（0，3），
∴a×（﹣1）×（﹣3）＝3．
∴a＝1．
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．
故答案为：y＝x2﹣4x+3．
13．（2025 武侯区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x0，m）（x0＞0）和N（m，n）是抛物线y＝x2﹣2x上的两个点，且 n＞m恒成立，则x0的取值范围为 0＜x0＜2或x0＞3 ．
【解答】解：∵M（x0，m）和N（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x上，
∴m2x0，n＝m2﹣2m，
∴n﹣m＝（m﹣x0）（m+x0﹣2）＞0，
∴（3x0）（x0﹣2）＞0，
∴x0（x0﹣3）（x0﹣2）（x0+1）＞0，
∵x0＞0，
∴x0（x0+1）＞0，
∴（x0﹣3）（x0﹣2）＞0，
∴x0＞3或x0＜2，
∴x0＞3或0＜x0＜2．
故答案为：0＜x0＜2或x0＞3．
14．（2025 武侯区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x1，y1）和点N（x2，y2）是二次函数y＝ax2﹣a2x（a≠0）图象上的两点．若对于，都有y1＜y2，则a的取值范围是 a＞0 ；若对于x1＝2a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，则a的取值范围是 a≤﹣4或0＜a ．
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣a2x的对称轴为直线xa，
令y＝0，则x＝0或a，
∵x1存在，
∴a＞0，
∵0＜x1a，
∴a＜a﹣x1＜a，
∴y2＞y1恒成立，
即a＞0；
∵x1＝2a，
∴y1＝2a3，
∴y2﹣y1＝aa2x2﹣2a3＝a（x2﹣2a）（x2+a）≥0，在3≤x2≤4时恒成立，
当a＞0时，2a≤3或﹣a≥4，
∴0＜a，
当a＜0时，2a≤3且﹣a≥4，
∴a≤﹣4，
综上所述，a≤﹣4或0＜a．
故答案为：a＞0，a≤﹣4或0＜a．
15．（2025 静宁县校级三模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度y（m）和水平距离x（m）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 50 m．
【解答】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为（50，30），
∴当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是50m，
故答案为：50．
16．（2025 望花区模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点B坐标为（﹣3，0）．如果点P在x轴正半轴上，且△ABP是等腰三角形，则P的坐标为 （3，0）或 ．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点B坐标为（﹣3，0），
∴A（0，3），
∴OA＝3，OB＝3，
在Rt△AOB中，，
因为△ABP是等腰三角形，
①当AB＝AP时，OB＝OP＝3，点P的坐标为（3，0），
②当时，点P的坐标为或（舍去），
③当AP＝BP时，设点P的坐标为（x，0），
根据题意，，BP＝|x+3|，
∴，
整理，得x2+9＝x2+6x+9．
解得x＝0（不合题意，舍去）．
综上所述，点P的坐标为（3，0）或．
故答案为：（3，0）或．
17．（2025 新宾县校级模拟）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中，如图，拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN，要在拱门中设置矩形框架ABCD，当AB＝3m时，矩形框架ABCD的周长为 18m ．
【解答】解：由题意得，抛物线的顶点P（6，4），
∴可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，
把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，
∴a．
∴y（x﹣6）2+4．
令y（x﹣6）2+4＝3，
∴x＝3或x＝9，
∴BC＝9﹣3＝6（m），
∴矩形框架ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（3+6）＝18（m）．
故答案为：18m．
三．解答题（共7小题）
18．（2025 张掖模拟）抛物线G：y＝x2﹣2mx+m+5（m为常数）的顶点为C．
（1）求点C的坐标（用含m的式子表示）；
（2）经过探究发现，随着m的变化，点C始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移n（n＞0）个单位后，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上．
①求n与m之间的关系；
②若y＝x2﹣2mx﹣m+5在x≤3时，都有y随x的增大而减小，设抛物线H的顶点为E，求直线CE与x轴交点的横坐标的最大值．
【解答】解：（1）抛物线G：y＝x2﹣2mx+m+5＝（x﹣m）2﹣m2+m+5的顶点为C，
∴顶点C（m，﹣m2+m+5）；
（2）当x＝m，即m＝x时，得：y＝x2﹣2x x+x+5＝y＝﹣x2+x+5，
∴抛物线H的解析式为y＝﹣x2+x+5，
抛物线G向右平移n个单位后，抛物线为y＝（x﹣m﹣n）2﹣m2+m+5，
此时的顶点D（m+n，﹣m2+m+5），
①∵抛物线顶点D仍在抛物线H上，
∴﹣m2+m+5＝﹣（m+n）2+（m+n）+5，
整理得n2+2mn﹣n＝0，即n（n+2m﹣1）＝0．
∵n＞0，
∴n＝﹣2m+1；
②∵y＝x2﹣2mx﹣m+5在x≤3时，y随x的增大而减小，
∴对称轴x＝m≥3，
∵抛物线，
∴，
设直线CE的表达式为y＝kx+b，将点C，点E的坐标分别代入得：
，
解得，
∴，
当y＝0时，得：，
又∵m≥3，
∴x随m的增大而减小，
∴当m＝3时，x有最大值，
∴直线CE与x轴交点的横坐标的最大值为．
19．（2025 封开县一模）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为10元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系：当x＝12时，y＝96；当x＝20时，y＝80．
（1）若该公司获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的函数解析式；
（2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？
【解答】解：（1）设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为y＝kx+b，
∵当x＝12时，y＝96；当x＝20时，y＝80．
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+120，
∴W＝（x﹣10） （﹣2x+120）
＝﹣2x2+140x﹣1200；
（2）∵W＝﹣2x2+140x﹣1200＝﹣2（x﹣35）2+1250，
∵x≤30，抛物线开口向下，在x＝35的左侧，y随x的增大而增大，
∴x＝30时，W有最大值，最大值为1200元．
答：当销售单价定为30元时，商场可获最大利润，最大利润是1200元．
20．（2025 虞城县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2ax+2的图象与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点，求此抛物线的对称轴．
（2）点M为y轴上一点，M（0，m）（m＞2），过点M且垂直于y轴的直线l与抛物线交于P、Q两点，若PM+QM＝4，求点M的纵坐标m的取值范围．
【解答】解：（1）把代入y＝﹣x2+2ax+2得到，
，
解得a＝1，
∴y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+2，的对称轴为直线x＝1；
（2）当y＝m时，﹣x2+2ax+2＝m，
∴x2﹣2ax+m﹣2＝0，
∵PM+QM＝4，
∴PM＝|xP|，QM＝|xQ|，
|xP+|xQ|＝4，
∴a＝2或a＝﹣2
当a＝2时，y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
即此时抛物线的最高点为（2，6），则2＜m＜6，
当a＝﹣2时，y＝﹣x2﹣4x+2＝﹣（x+2）2+6，
即此时抛物线的最高点为（﹣2，6），则2＜m＜6，
∴m的取值范围是2＜m＜6．
21．（2025 泌阳县二模）在校园科技节期间，物理老师为同学们进行了水火箭的发射表演．图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图2所示，以水平地面为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yx2+x+c和直线y＝﹣x+n．已知，当水火箭飞行的水平距离为10m时，自动进入滑行阶段．
（1）若水火箭刚进入滑行阶段时的高度为3.2m．
①求c的值和落地点与起抛点的水平距离；
②起抛点前方有一堵7.2m高的围栏，起抛点与围栏的水平距离的范围为多少米时，水火箭可以顺利飞过围栏？（不包含临界点）
（2）若落地点与起抛点的水平距离不超过12m，求出c的最大值．
【解答】解：（1）①∵抛物线yx2+x+c经过点（10，3.2），
∴3.2102+10+c，
解得：c＝5.7；
∵y＝﹣x+n经过点（10，3.2），
∴3.2＝﹣10+n，
解得：n＝13.2；
②当y＝7.2时，7.2x2+x+5.7，
解得：x1＝6（不合题意，舍去），x2＝2，
7.2＝﹣x+13.2，
解得：x＝6．
∴起抛点与围栏的水平距离的范围为2≤x≤6米时，火箭可以顺利飞过围栏；
（2）由题意得：y＝﹣x+n经过点（12，0），
∴0＝﹣12+n，
解得：n＝12，
∴y＝﹣x+12，
当x＝12时，y＝0，
∴yx2+x+c经过点（12，0），
∴0122+12+c，
解得：c＝6．
故c的最大值为：6．
22．（2025 海州区校级一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有“和点”构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“和抛物线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“和抛物线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：
（1）点P（1，2）的“和点”是 （1，3） ；
（2）如果抛物线y＝x2+bx+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“和抛物线”；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“和点”是B1（﹣1，1）．若该抛物线的顶点坐标为（p，q），该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为（m，n）．
①当0≤c≤5时，求n的取值范围．
②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点（p，q）组成一条新的抛物线，设为yp，所有的顶点（m，n）也组成一条新的抛物线，设为ym，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
【解答】解：（1）由新定义知，1+2＝3，即“和点”是（1，3），
故答案为：（1，3）；
（2）将点M的坐标代入函数表达式得：﹣3＝1+b+3，则b＝﹣7，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣7x+3，
则该抛物线的“和抛物线”为：y＝x2﹣7x+3+x＝x2﹣6x+3；
（3）①B（x，y）的“和点”是B1（﹣1，1），则点B（﹣1，2），
将点B的坐标代入抛物线表达式得：2＝1﹣b+c，则c＝b+1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+bx+b+1，
则抛物线的“和抛物线”为y＝x2+（b+1）x+b+1，
则顶点的坐标为：（，b+1），
则nb+1c2+c，
当0≤c≤5时，
当c＝2时，nmax4+2＝1，
当c＝5时，nminc2+c，
故n≤1；
②由①知，顶点的坐标为：（，b+1），
令x，则b+1＝﹣2x，
则ymb+1＝﹣x2﹣2x，顶点坐标为：（﹣1，1）；
同理可得：则yp＝﹣x2﹣2x+1，顶点坐标为：（﹣1，2）；
则两条新抛物线顶点之间的距离2﹣1＝1．
23．（2025 孝南区校级三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上不与A、C重合的一动点，过点P作直线AC的平行线交x轴于点D，交y轴于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图①，当点P在第二象限时，若PD＝PE，求m的值；
（3）将C，E两点间的距离记为d，当两点重合时其距离为0．
①求d关于m的函数解析式；
②当PD≤AC时，请直接写出m的取值范围及对应的d的取值范围．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2﹣2m+3），
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
直线AC的解析式为y＝x+3，
∵DE∥AC，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣m2﹣3m+3，
∴E（0，﹣m2﹣3m+3），D（m2+3m﹣3，0），
∵PD＝PE，
∴P点是DE的中点，
∴2m＝m2+3m﹣3，
解得m，
∵P点在第二象限，
∴m＜0，
∴m；
（3）①∵C（0，3），E（0，﹣m2﹣3m+3），
∴d＝|m2+3m|；
②∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴AC＝3，
∵D（m2+3m﹣3，0），P（m，﹣m2﹣2m+3），
∴PD|m2+3m﹣3|，
∵PD≤AC，
∴|m2+3m﹣3|≤3，
解得﹣1m≤﹣2或0≤m≤﹣1，
当﹣1m≤﹣2时，0≤d≤5；
当0≤m≤﹣1时，0≤d≤5+5；
∴0≤d≤5+5．
24．（2025 清远一模）综合应用
如图1，顶点为P的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点C（1，0），与y轴交于点B，连接AB、BP．
（1）求b、c的值及∠PBA的度数；
（2）如图2，动点M从点O出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于E，NF⊥x轴交抛物线于F，连接MN、EF．
①当EF∥MN时，求点F的坐标；
②直接写出在运动过程中，使得△BNP与△BMN相似的t的值．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣3，0）和点C（1，0），
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，
∴b＝2，c＝﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴P（﹣1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AB＝3，BP，PA＝2，
∴PA2＝PB2+BA2，
∴∠PBA＝90°；
（2）①∵OA＝OB＝3，
∴∠OAB＝45°，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵ANt，
∴N（﹣3+t，﹣t），
∴F（﹣3+t，t2﹣4t），
∵M（﹣t，0），ME⊥x轴，
∴E（﹣t，t﹣3），
∵MN∥EF，
∴t﹣3＝t2﹣3t，
解得t＝3（舍）或t＝1，
∴F（﹣2，﹣3）；
②∵∠NBP＝90°，
△MNB中只能是∠MNB＝90°，此时MN∥PB，
∴∠PNB＝∠MBN，
∴△MNB∽△PBN，
∵∠OAB＝45°，
∴△ANM是等腰直角三角形，
∴﹣3+t，
解得t＝1．
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