2026年中考数学：锐角三角函数专题训练（含答案）

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2026年中考数学：锐角三角函数专题训练
一．选择题（共9小题）
1．（2025 青秀区校级模拟）如图是厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知AB＝10米，∠B＝36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（　　）
A．10sin36°米 B．10cos36°米
C．5tan36°米 D．10tan36°米
2．（2025 邢台模拟）如图为一个弯折的铁丝，∠ABC＝α，工人师傅对该铁丝进一步加工，在C处进行第二次弯折，最终保证弯折后的部分与AB保持平行，那么弯折后形成的∠BCD＝（　　）
A．a B．180°﹣α C．90°﹣α D．α或180°﹣α
3．（2025 港北区三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A．155° B．125° C．115° D．65°
4．（2025 安庆二模）如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则tanA的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 旬邑县校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝3，，则中线AD的长为（　　）
A． B．2 C． D．
6．（2025 莆田模拟）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出．若i＝30°，AB＝20cm，BC＝5cm，则该玻璃透镜的折射率n为（　　）
A．2 B．1.6 C．1.5 D．1.4
7．（2025 沁阳市二模）2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　）
A．asinθ千米 B．acosθ千米 C．千米 D．千米
8．（2025 上蔡县三模）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方面．如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为20cm，上部显示屏EF的长度为60cm，侧面支架EC的长度为130cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，则该机器人的最高点F距地面AB的高度为（　　）
A．（30+130sin80°）cm B．（50+130cos80°）cm
C． D．（50+130sin80°）cm
9．（2025 海淀区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC在第一象限内，其中A（a，0），B（0，b），C（m，n），∠ABC＝90°，CD⊥y轴于D，给出下面六个结论：
（1）对于任意符合条件的a，b，m，n，∠OAB＝∠CBD；
（2）当m＝a时，n＝a+b；
（3）当△ABO≌△BCD时，；
（4）；
（5）若AB平分∠OAC，则AC＝a+n；
（6）当b＝6，S△ABC＝18时，线段OC的长度的最大值为；
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．（1）（3）（4）（6） B．（1）（3）（5）（6）
C．（1）（3）（4） D．（2）（5）（6）
二．填空题（共7小题）
10．（2025 新宾县校级模拟）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC 的值为 　 　 ．
11．（2025 工业园区校级二模）如图，小球由地面沿坡度i＝1：5的坡面向上前进26m，则小球离地面的高度是 　 　 m．
12．（2025 红花岗区校级模拟）在△ABC中，，AC＞AB，则线段AC与AB长的差为 　 　 ．
13．（2025 泰兴市校级三模）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　 　 ．
14．（2025 洪山区模拟）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站观测得知AR的距离是6km，仰角∠ARL＝30°，又经过1s后火箭到达B点，此时测得仰角∠BRL＝45°，则这枚火箭从A到B的平均速度为 　 　 km/s．
15．（2025 扬州校级二模）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是 　 　 ．
16．（2025 芦淞区模拟）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝8米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，当水桶在井里时，∠AOD＝120°．如图2，此支点O到小竹竿AC的距离是　 　 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝135°，那么水桶水平移动的距离是　 　 米（精确到0.1米）（参考数据：）．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 栖霞区校级三模）如图，为了测量风力发电机风叶的长度，当其中一片风叶OA与塔干OD叠合时，小青在离塔底D水平距离为80m的E处，测得塔顶部O的仰角∠DEO＝45°，测得叶片C处的仰角∠DEC＝70°．已知三片风叶OA，OB，OC两两所成的角为120°，点A，C，O，D在同一平面内，求风叶OC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：
18．（2025 南雄市校级模拟）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为6cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，1.73）
19．（2025 蓬江区校级一模）综合与实践：小刚学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到距A点最近的AC的三等分点E处时，停止注水．（直线HG为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，G，H在同一平面内，测得AC＝30cm，∠A＝60°，折射角∠DOG＝53°．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求BC的长（结果用根式表示）；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：°≈1.33）
20．（2025 任丘市模拟）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与CD平行），层高AD为8m，坡角∠ACD＝20°．
（1）要使身高1.8m的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B之间的距离要大于多少米？
【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：AE段（上坡段自动扶梯）、EF段（水平平台，即EF∥DC）、FC段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．AE段和FC段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过1：2，商场希望尽可能延长平台EF的长度，以方便顾客休息．
（2）求出平台EF的最大长度（结果保留小数点后一位）．
（参考数据：sin20°取0.34，cos20°取0.94，tan20°取0.36）
21．（2025 西华县二模）古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式（如图1）．另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式（如图2）．卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今．
某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图3），木架水平放置．即绳轮⊙O与水平面DE相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳CD与⊙O相切于点C，过切点E的直径与⊙O交于点A（图中点O、A、E、D、C在同一平面内）．
（1）求证：∠AOC＝∠CDE；
（2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径OE为40cm，且圆心O与D处锭子之间的水平距离DE在70～120cm之间时，纺线较为舒适．若∠CDE＝30°，OE＝40cm，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：）
22．（2025 祁阳市校级模拟）阅读下列材料．
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，可以得到：S△ABCabsin Cacsin BbcsinA．
证明：如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB，∴AD＝c sinB，
∴S△ABCa ADacsinB．
同理，S△ABCabsinC，S△ABCbcsinA，
∴S△ABCabsin Cacsin BbcsinA．
（1）通过上述材料证明：．
（2）运用（1）中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A，B，C三点围成的三角形的面积．（sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，1.4．结果取整数）
2026年中考数学：锐角三角函数专题训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D C B D A A D A
一．选择题（共9小题）
1．（2025 青秀区校级模拟）如图是厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知AB＝10米，∠B＝36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（　　）
A．10sin36°米 B．10cos36°米
C．5tan36°米 D．10tan36°米
【解答】解：∵AB＝AC＝10米，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∠B＝36°，
∴AD＝AB sin36°＝10sin36°（米），
故选：A．
2．（2025 邢台模拟）如图为一个弯折的铁丝，∠ABC＝α，工人师傅对该铁丝进一步加工，在C处进行第二次弯折，最终保证弯折后的部分与AB保持平行，那么弯折后形成的∠BCD＝（　　）
A．a B．180°﹣α C．90°﹣α D．α或180°﹣α
【解答】解：一个弯折的铁丝，∠ABC＝α，工人师傅对该铁丝进一步加工，在C处进行第二次弯折，最终保证弯折后的部分与AB保持平行，
根据平行线的性质，当点D在C点左侧时，∠BCD＝α，
当点D在C点右侧时，∠BCD＝180°﹣α，
故选：D．
3．（2025 港北区三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A．155° B．125° C．115° D．65°
【解答】解：∵重力G的方向竖直向下，
∴重力G与水平方向夹角为90°，
由题意可得：
∴β＝∠1＝α+90°＝115°，
故选：C．
4．（2025 安庆二模）如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则tanA的值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：取格点D，连接CD，
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
，，，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴△ACD为Rt△，且∠ADC＝90°，
∴tanA，
故选：B．
5．（2025 旬邑县校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝3，，则中线AD的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
设AE＝x，
在Rt△ABE中，∠B＝45°，
∴BE＝AE tan45°＝x，
在Rt△AEC中，tanC
∴，
∴CE＝2AE＝2x，
∴BC＝BE+CE，
∴x+2x＝3，
解得：x＝1，
∴AE＝BE＝1，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CDBC＝1.5，
∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，
在Rt△ADE中，
故选：D．
6．（2025 莆田模拟）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出．若i＝30°，AB＝20cm，BC＝5cm，则该玻璃透镜的折射率n为（　　）
A．2 B．1.6 C．1.5 D．1.4
【解答】解：如图，
∵折射光线沿垂直AC边的方向射出β+∠A＝90°，
∵法线垂直于AB，
∴r+β＝90°，
∴r＝∠A，
∴，
∵折射率，
故选：A．
7．（2025 沁阳市二模）2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　）
A．asinθ千米 B．acosθ千米 C．千米 D．千米
【解答】解：由题意得：∠ALR＝90°，
在Rt△ALR中，AR＝a千米，∠ARL＝θ，
∴AL＝AR sinθ＝asinθ（米），
故选：A．
8．（2025 上蔡县三模）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方面．如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为20cm，上部显示屏EF的长度为60cm，侧面支架EC的长度为130cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，则该机器人的最高点F距地面AB的高度为（　　）
A．（30+130sin80°）cm B．（50+130cos80°）cm
C． D．（50+130sin80°）cm
【解答】解：过点E，F分别作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足分别为H，N，过点E作EM⊥FN，垂足为M，则四边形EMNH为矩形，
∴MN＝EH，
∵，
∴EH＝CE sin∠ECH＝130sin80°（cm），
∴MN＝130sin80°（cm），
∵∠EHC＝90°，
∴∠CEH＝90°﹣80°＝10°，
∴∠FEM＝∠FEC﹣∠MEH﹣∠CEH＝130°﹣90°﹣10°＝30°，
∴，
∴点F距地面AB的高度为FM+MN+BC＝30+130sin80°+20＝（50+130sin80°）cm，
故选：D．
9．（2025 海淀区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC在第一象限内，其中A（a，0），B（0，b），C（m，n），∠ABC＝90°，CD⊥y轴于D，给出下面六个结论：
（1）对于任意符合条件的a，b，m，n，∠OAB＝∠CBD；
（2）当m＝a时，n＝a+b；
（3）当△ABO≌△BCD时，；
（4）；
（5）若AB平分∠OAC，则AC＝a+n；
（6）当b＝6，S△ABC＝18时，线段OC的长度的最大值为；
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．（1）（3）（4）（6） B．（1）（3）（5）（6）
C．（1）（3）（4） D．（2）（5）（6）
【解答】解：（1）∵∠CBA＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBD，故（1）正确；
（2）当m＝a时，AC⊥x轴，
∴四边形AOCD为矩形，
∴CD＝OA＝a，n＝AC＝OB+BD，
∵∠OAB＝∠CBD，
∴△OAB∽△BDC，
∴，
∴BD，
∴n＝b，不一定等于a+b，故（2）错误；
（3）∵△AOB≌△BDC，
∴BD＝OA＝a，CD＝OB＝b，AB＝BC，
∴n＝a+b，ACAB，
∴ACn，故（3）正确；
（4）由（2）知，△AOB∽△BDC，
∴，
∴tan∠ACB，故（4）正确；
（5）过B作BF⊥AC于F，如图：
∵AB平分∠OAC，
∴OB＝BF，∠OBA＝∠CBF，AF＝OB，
∴∠DCB＝∠BCF，
∴BD＝BF，CF＝CD，
∴n＝2b，
∴AC＝AF+CF＝b+m，不一定等于a+n，故（5）错误；
（6）∵△OAB∽△DBC，
∴，
∵S△ABC＝18，
∴BC AB＝36，
∴BC2＝36，
∴m2+（n﹣6）2＝6m，
∴（m﹣3）2+（n﹣6）2＝9，
根据两点之间距离公式可知，点C到M（3，6）的距离为3，
∴点C在以M（3，6）为圆心，3为半径的圆上，
∴OC≤OM+MC＝33，故（6）正确；
综上所述，正确的结论是（1）（3）（4）（6）．
故选：A．
二．填空题（共7小题）
10．（2025 新宾县校级模拟）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC 的值为 　　 ．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示：
设网格中的小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AC，BC，AB，
设AD＝x，则BD＝AB﹣AD，
在Rt△ACD和Rt△BCD中，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，
∴，
解得：x＝4√10/5，
∴AD＝x，
∴CD，
在Rt△BCD中，sin∠ABC．
11．（2025 工业园区校级二模）如图，小球由地面沿坡度i＝1：5的坡面向上前进26m，则小球离地面的高度是 　　 m．
【解答】解：小球沿着坡面向上前进了26m假设到C处，过C作CB⊥AB，
∵i＝1：5，
∴，
设BC＝x cm，AB＝5x cm，
AB2+BC2＝AC2，AC＝26m，
∴x2+（5x）2＝262，
∴或（舍去），
即，
故答案为：．
12．（2025 红花岗区校级模拟）在△ABC中，，AC＞AB，则线段AC与AB长的差为 　1　 ．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，设AC＝x，AB＝y，
∴∠AHB＝90°，
∴∠ABH＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴AHABy，
∴BHAHABy，
∵△ABC的面积AC BHAC AB，
∴xy＝4，
∵CH＝AC﹣AH＝xy，
∵CH2+BH2＝BC2，
∴，
∴x2﹣xy+y2＝5，
∴x2﹣2xy+y2＝1，
∴（x﹣y）2＝1，
∵AC＞AB，
∴x﹣y＝1，
∴AC﹣AB＝1．
故答案为：1．
13．（2025 泰兴市校级三模）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　　 ．
【解答】解：如图：连接CE并延长交AB的延长线于点G，
设正六边形的边长为a，则AB＝4a，
在△DEC中，DE＝DC＝a，∠EDC＝120°，
∴∠DCE＝∠DEC30°，
在Rt△CDF中，DFCDa，CFDFa，
∵DE＝DC，DF⊥CE，
∴CE＝2CFa，
∴CG＝2.5EC＝2.5a，
在Rt△AGC中，AG＝AB+BG＝4a+0.5a＝4.5a，
∴tan∠BAC，
故答案为：．
14．（2025 洪山区模拟）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站观测得知AR的距离是6km，仰角∠ARL＝30°，又经过1s后火箭到达B点，此时测得仰角∠BRL＝45°，则这枚火箭从A到B的平均速度为 　（3）　 km/s．
【解答】解：在Rt△ALR中，LR＝AR cos30°＝63（km），
AL＝AR sin30°＝63（km），
在Rt△BLR中，BL＝LR tan45°＝3（km），
则BA＝3（km）．
故答案为：（3）．
15．（2025 扬州校级二模）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是 　　 ．
【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．
∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，
∴△OAT是等边三角形，
∵A（4，0），
∴TO＝TA＝TB＝4，
∵OK＝KT，OM＝MB，
∴KMTB＝2，
∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，
当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，
∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，
∴AK⊥OT，
∴AK2，
∵AM是切线，KM是半径，
∴AM⊥KM，
∴AM2，
过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．
∵∠PML＝∠AMK＝90°，
∴∠PMK＝∠LMA，
∵∠P＝∠MLA＝90°，
∴△MPK∽△MLA，
∴，
设PK＝x，PM＝y，则有MLy，ALx，
∴yx①，y＝3x，
解得，x，y，
∴MLy，
∴sin∠OAM．
故答案为：．
16．（2025 芦淞区模拟）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝8米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，当水桶在井里时，∠AOD＝120°．如图2，此支点O到小竹竿AC的距离是　3.5　 米（结果精确到0.1米）；如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝135°，那么水桶水平移动的距离是　0.7　 米（精确到0.1米）（参考数据：）．
【解答】解：如图2：作OM⊥AC于点M，则∠AMO＝∠CMO＝90°，
由题意得：AC⊥EF，OD⊥EF，
∴∠ACD＝∠ODC＝90°，
∴∠MOD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOM＝30°，
∵AB＝8米，O为AB的中点，
∴OA＝4米，
∴OM＝4×cos30°＝23.5（米），
如图3：作ON⊥A1C1于点N，则∠A1NO＝90°，
同理可得OA1＝4，∠A1ON＝135°﹣90°＝45°，
∴ON＝4×cos45°＝22.8米，
∴水桶水平移动的距离为3.5﹣2.8≈0.7（米），
故答案为：2.8，0.7．
三．解答题（共6小题）
17．（2025 栖霞区校级三模）如图，为了测量风力发电机风叶的长度，当其中一片风叶OA与塔干OD叠合时，小青在离塔底D水平距离为80m的E处，测得塔顶部O的仰角∠DEO＝45°，测得叶片C处的仰角∠DEC＝70°．已知三片风叶OA，OB，OC两两所成的角为120°，点A，C，O，D在同一平面内，求风叶OC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：
【解答】解：过点C作CF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥CF．垂足为G．
∴四边形ODFG是矩形．
∴OD＝GF，OG＝DF．
∵∠DOC＝120°，∠DOG＝90°，
∴∠COG＝30°．
在Rt△ODE中，
∵∠DEO＝45°，
∴∠DOE＝45°．
∴OD＝DE＝GF＝80m．
在Rt△CEF中，
∵tan∠DEC，
∴CF＝tan∠DEC EF＝tan70° EF≈2.75EF．
在Rt△OCG中，
∵OG＝DF＝（80﹣EF），tan∠COG，
∴CG＝tan∠COG OG（80﹣EF），OC＝2CG．
∵CF＝CG+GF，
∴2.75EF（80﹣EF）+80．
∴8.25EF＝138.4﹣1.73EF+240，
∴EF≈37.92．
∴CG＝CF﹣FG
＝2.75EF﹣80
＝104.28﹣80
＝24.28．
∴OC＝2CG＝2×24.28＝48.56≈48.6（米）．
答：风叶OC的长度约为48.6米．
18．（2025 南雄市校级模拟）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN垂直）的高为6cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，1.73）
【解答】解：如图，过点A作AH⊥MN于点H，过点B作BK⊥AH于点K，延长DC交BK于点J．
∵∠CDH＝∠KHD＝∠JKH＝90°，
∴四边形DHKJ是矩形，
∴DJ＝KH，∠DJK＝∠BJC＝90°，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BCJ＝30°，∠CBJ＝60°，
∵∠ABC＝106°，
∴∠ABK＝46°，
∴CJ＝BC cos30°＝201017.3（cm），
AK＝AB sin46°＝25×0.72＝18（cm），
∴AH＝AK+KH＝AK+JC+CD＝18+17.3+6≈41（cm），
∴台灯的旋钮A到桌面MN的距离约为41cm．
19．（2025 蓬江区校级一模）综合与实践：小刚学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到距A点最近的AC的三等分点E处时，停止注水．（直线HG为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，G，H在同一平面内，测得AC＝30cm，∠A＝60°，折射角∠DOG＝53°．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求BC的长（结果用根式表示）；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：°≈1.33）
【解答】解：（1）AC＝30cm，∠A＝60°，
根据题意得，
答：BC的长为；
（2）根据题意得，
，
∴DG≈1.33×20≈26.6（cm），
，
∴，
答：B，D的距离为8.0cm．
20．（2025 任丘市模拟）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与CD平行），层高AD为8m，坡角∠ACD＝20°．
（1）要使身高1.8m的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B之间的距离要大于多少米？
【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：AE段（上坡段自动扶梯）、EF段（水平平台，即EF∥DC）、FC段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．AE段和FC段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过1：2，商场希望尽可能延长平台EF的长度，以方便顾客休息．
（2）求出平台EF的最大长度（结果保留小数点后一位）．
（参考数据：sin20°取0.34，cos20°取0.94，tan20°取0.36）
【解答】解：（1）如图1，过点B作 BG⊥AB交AC于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠ACD＝20°，
∵在Rt△ABG中，，
∴（米），
∴A，B之间的距离要大于5米；
（2）如图2，延长AE交CD于点H，
∵AE段和FC 段的坡度相同，
∴∠EHD＝∠FCD，
∴EH∥FC，
∵EF∥CD，
∴四边形CHEF为平行四边形，
∴EF＝CH，
当AE段和FC段的坡度取1：2时，CH的长度最大，即EF的长度最大，
∴，
∴DH＝2AD＝16（米），
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝20°，，
∴（米），
∴EF＝CH＝CD﹣DH＝22.22﹣16＝6.2（米），
∴平台EF的最大长度为6.2米．
21．（2025 西华县二模）古代纺纱工具——手摇纺车，据推测出现在战国时期，常见由木架、锭子、绳轮和手柄四部分组成，常见的手摇纺车是锭子在左，绳轮和手柄在右，中间用绳弦传动，称为卧式（如图1）．另一种手摇纺车，则是把锭子安装在绳轮之上，也是用绳弦传动，称为立式（如图2）．卧式由一人操作，而立式需要两人同时配合操作，因卧式更适合一家一户的农村副业之用，故一直沿习流传至今．
某数学实践小组对卧式手摇铲车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图3），木架水平放置．即绳轮⊙O与水平面DE相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳CD与⊙O相切于点C，过切点E的直径与⊙O交于点A（图中点O、A、E、D、C在同一平面内）．
（1）求证：∠AOC＝∠CDE；
（2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径OE为40cm，且圆心O与D处锭子之间的水平距离DE在70～120cm之间时，纺线较为舒适．若∠CDE＝30°，OE＝40cm，请判断该纺车纺线时是否舒适并说明理由．（参考数据：）
【解答】（1）证明：在四边形OCDE中，
∵∠OCD+∠OED＝180°，
∵DC和DE为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，OE⊥DE．
∴∠OCD＝∠OED＝90°．
∴∠CDE+∠COE＝180°．
又∵∠AOC+∠COE＝180°，
∴∠AOC＝∠CDE．
（2）解：该纺车纺线时不舒适．
理由如下：
过点C分别作CF⊥AE于点F，CG⊥DE于点G，如解图所示，则四边形EFCG是矩形．
∴CF＝EG，EF＝CG．
由题意，得OE＝OC＝40．
在Rt△OCF中，
∴，．
∴．
在Rt△CGD中，∠CDG＝30°，
∴．
∴．
∵148＞120，
∴该纺车纺线时不舒适．
22．（2025 祁阳市校级模拟）阅读下列材料．
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，可以得到：S△ABCabsin Cacsin BbcsinA．
证明：如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB，∴AD＝c sinB，
∴S△ABCa ADacsinB．
同理，S△ABCabsinC，S△ABCbcsinA，
∴S△ABCabsin Cacsin BbcsinA．
（1）通过上述材料证明：．
（2）运用（1）中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A，B，C三点围成的三角形的面积．（sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，1.4．结果取整数）
【解答】解：（1）∵absinCacsinB，
∴bsinC＝csinB，
∴，
：同理得：，
∴；
（2）由题意得：∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，
∴，即，
∴，
∴AC≈40×0.3＝12；
答：AC的长度是12．
（3）由题意得：∠ABC＝90°﹣75°＝15°，∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
∠A＝180°﹣15°﹣45°＝120°，
由得：，
∴AC≈6km，
∴S△ABCAC×BC×sin∠ACB6×18×0.7≈38（km2）．
答：A、B、C三点围成的三角形的面积是38km2．
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