2026年中考数学：三角形专题训练（含答案）

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2026年中考数学：三角形专题训练
一．选择题（共10小题）
1．（2025 德惠市校级二模）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 邯郸模拟）如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，比线段BD短的是（　　）
A．线段AB B．线段AC C．线段BC D．线段CD
3．（2025 英德市一模）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则可以直接判定（　　）
A．△AEG≌△ABC B．△AEG≌△ACF C．△ABF≌△ADC D．△ABC≌△ADE
4．（2025 浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC和BD交于点E，若AE＝4，CE＝2，则BD长的最小值为（　　）
A．6 B． C．4 D．
5．（2025 西安校级三模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　）
A．142° B．128° C．98° D．92°
6．（2025 鹿城区校级一模）小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若EF＝1，GH＝7，则正方形ABCD的周长为（　　）
A．14 B．17 C．20 D．24
7．（2025 海口一模）已知等腰三角形的周长为30cm，则底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是（　　）
A．y＝30﹣2x（7.5＜x＜15） B．y＝2x﹣30（7.5＜x＜15）
C． D．
8．（2025 碑林区校级二模）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2025 杭州模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝3，BD＝4，点E，F分别是边AB，CD的中点，则EF的长度是（　　）
A． B．3 C． D．2
10．（2025 南昌模拟）如图，△ABC是等边三角形，分别以A和C点为圆心，一定的长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN，交AC于点D，又以C为圆心，以CD的长度为半径画弧交BC的延长线于E点，连接ED并延长交AB于点F，经过此操作后，下列结论错误的是（　　）
A．MN平分∠ABC B．∠BEF＝30°
C．CD＝DF D．BE＝2BF
二．填空题（共6小题）
11．（2025 泗阳县一模）如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C、D均在正方形网格格点上．图中∠B+∠D＝ 　 　 °．
12．（2025 浦东新区校级三模）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
13．（2025 汇川区二模）如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　 　 ．
14．（2025 齐齐哈尔四模）如图，在三角形ABC中，以点A为圆心画弧，交线段BC于点E和点F，分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，直线AM交线段BC于点D．若，AB＝5，AC＝3，则BD的长为　 　 ．
15．（2025 孝义市三模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AC⊥CD，BD平分∠ADC，AC与BD相交于点E，若CD＝3，AC＝4，则线段BE的长为　 　 ．
16．（2025 济宁校级二模）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3， Mn为边B1B2，B2B3，B3B4， ，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2， △Bn nMn的面积为Sn，则S10＝　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 永寿县校级模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠B＝∠E，∠BCE＝∠DCA，AB＝DE．求证：BC＝EC．
18．（2025 鹿城区校级一模）如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，AD与BE交于点F，CD＝4，∠BEA＝∠BAD+∠C．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求BE EF的值．
19．（2025 从江县校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P是线段BC上的一个动点，过点B作BD⊥AP交AP的延长线于点D，射线BD交直线AC于点E，连接CD．
（1）若点P不与端点B，C重合，求证：∠CBE＝∠CAP；
（2）求证：；
（3）若点P在线段BC的延长线上时，用等式表示线段DA，DB，DC之间的数量关系并说明理由．
20．（2025 黑龙江一模）在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE．
（1）当∠BAC＝90°时，如图①，线段BD，CD，DE之间的数量关系是 　 　 ；
（2）当∠BAC＝60°时，如图②，当∠BAC＝120°时，如图③，分别写出线段BD，CD，DE之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
21．（2025 江汉区模拟）已知等边三角形ABC中，D，E分别是在边AC，AB上，且CD＝nAE．
（1）如图1，若n＝1，，CE，BD交于点F．
①求证：△ABD≌△BCE；
②求的值；
（2）如图2，若n＝2，直接写出的最小值 　 　 ．
22．（2025 永寿县校级模拟）问题提出
（1）如图①，在等边△ABC中，AC＝4，D为BC边上一点，则AD的最小值为 　 　 ；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，∠B＝60°，AC＝6，AD为△ABC的中线，过点D作DE⊥AC于点E，当DE取得最大值时，求△ABC的面积；
问题解决
（3）宝鸡是进出西北地区的重要交通城市，因多条铁路干线交汇于此，被称为“火车拉来的城市”．如图③，某开发商计划在废弃铁轨AD上改造一个三角形火车主题公园ABC，为了满足群众拍照打卡的需求，要求公园占地面积尽可能的大，已知∠BAC＝120°，AD＝100m，BD＝3CD．问是否存在符合要求的△ABC？若存在，请求出△ABC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
23．（2025 前进区校级二模）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，△ABC和△DMN均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠MDN＝90°，点D为BC中点，△DMN绕点D旋转，连接AM、CN．在△DMN旋转过程中，易证AM＝CN（不需要证明）．
（1）当点M、N在△ABC内且C、M、N三点共线时，如图2，线段AM、CM、DM之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（2）当点M、N在△ABC外且C、M、N三点共线时，如图3，猜想AM、CM、DM之间的数量关系，直接写出结论，不需要证明．
24．（2025 朝阳区校级三模）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．D、E分别是边AB、AC上的两个动点，AD＝CE．连结BE、CD，试探究BE+CD的最小值．
【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用B、E、F三点线，将上述问题解决．
【问题解决】如图②，过C点作CF∥AB，且CF＝AC，连结EF；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：△ACD≌△CFE．
（2）BE+CD的最小值为 　 　 ．
【方法运用】如图③，在菱形ABCD中，AB＝3，∠D＝60°，E、F分别是边AB、AC上的两个动点，AE＝CF．连结BF、CE，则BF+CE的最小值为 　 　 ．
【拓展迁移】如图④，在等边△ABC中，CD是高，点E在线段CD上，点F在边AC上，CE＝AF，连结AE，BF，若，则AE+BF的最小值为 　 　 ．
2026年中考数学：三角形专题训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B C C A D C C
一．选择题（共10小题）
1．（2025 德惠市校级二模）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：选项D中的AD是△ABC的高，
故选：D．
2．（2025 邯郸模拟）如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，比线段BD短的是（　　）
A．线段AB B．线段AC C．线段BC D．线段CD
【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则BD＝3，
由勾股定理得，AB，ACBC，CD5，
∴比线段BD短的是线段AB，
故选：A．
3．（2025 英德市一模）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则可以直接判定（　　）
A．△AEG≌△ABC B．△AEG≌△ACF C．△ABF≌△ADC D．△ABC≌△ADE
【解答】解：根据三角形全等的判定定理可得，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
故选：D．
4．（2025 浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC和BD交于点E，若AE＝4，CE＝2，则BD长的最小值为（　　）
A．6 B． C．4 D．
【解答】解：如图，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∵AC为直径．
∴取AC的中点即圆心O，当弦BD⊥AC时，BD取到最小值．
∵AE＝4，CE＝2，
∴AC＝6，
∴OB＝OC＝3，
∴OE＝OC﹣CE＝3﹣2＝1，
在Rt△OEB 中，由勾股定理得，
，
∴，
即BD长的最小值为4，
故选：B．
5．（2025 西安校级三模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　）
A．142° B．128° C．98° D．92°
【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示：
∵∠1＝38°，
∴∠ADE＝∠1＝38°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠AEF为△ADE的一个外角，
∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠AEF＝98°．
故选：C．
6．（2025 鹿城区校级一模）小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，若EF＝1，GH＝7，则正方形ABCD的周长为（　　）
A．14 B．17 C．20 D．24
【解答】解：设每个三角形的长直角边为a，短直角边为b，
由题意可得，，
解得，
∴AB5，
∴正方形ABCD的周长为4AB＝4×5＝20，
故选：C．
7．（2025 海口一模）已知等腰三角形的周长为30cm，则底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是（　　）
A．y＝30﹣2x（7.5＜x＜15） B．y＝2x﹣30（7.5＜x＜15）
C． D．
【解答】解：由条件可得y＝30﹣2x，
∴30﹣2x＞0，
∴x＜15，
∴2x＞30﹣2x，
∴x＞7.5，
∴7.5＜x＜15，
故选：A．
8．（2025 碑林区校级二模）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中
，
∴△ADB≌△ADH（ASA）
∴AH＝AB＝4，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝6﹣4＝2，
∵BD＝DH，BM＝MC，
∴DM是△BCH的中位线，
∴，
故选：D．
9．（2025 杭州模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝3，BD＝4，点E，F分别是边AB，CD的中点，则EF的长度是（　　）
A． B．3 C． D．2
【解答】解：取AD的中点M，连接ME，MF，
∵E、F分别是AB和CD的中点，
∴EM是△ABD的中位线，FM是△ADC的中位线，
∴ME∥BD，MF∥AC，MEBD，MFAC，
∵AC⊥BD，
∴ME⊥MF，
∵AC＝3，BD＝4，
∴ME＝2，MF，
∴EF．
故选：C．
10．（2025 南昌模拟）如图，△ABC是等边三角形，分别以A和C点为圆心，一定的长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN，交AC于点D，又以C为圆心，以CD的长度为半径画弧交BC的延长线于E点，连接ED并延长交AB于点F，经过此操作后，下列结论错误的是（　　）
A．MN平分∠ABC B．∠BEF＝30°
C．CD＝DF D．BE＝2BF
【解答】解：根据作图可得，MN垂直平分线段AC，
由条件可知BD⊥AC，BD平分∠ABC，点D是AC中点，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴MN与BD重复，
∴MN平分∠ABC，故A选项正确，不符合题意；
由条件可知∠CDE+∠CED＝∠ACB＝60°，∠CDE＝∠CED，
∴∠CED＝30°，即∠BEF＝30°，故B选项正确，不符合题意；
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AD，
∵∠A＝60°，∠ADF＝∠CDE＝30°，
∴∠AFD＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
在Rt△ADF中，AD是斜边，DF是直角边，
∴AD＞DF，
∴CD＞DF，故C选项错误，符合题意；
∵∠AFD＝90°，
∴∠BFE＝90°，且∠BEF＝30°，
∴在Rt△BEF中，BE＝2BF，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．（2025 泗阳县一模）如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C、D均在正方形网格格点上．图中∠B+∠D＝ 　45　 °．
【解答】解：如图，在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SAS），
∴∠B＝∠DAE，
∵∠DCE＝∠DAE+∠ADC＝45°，
∴∠B+∠ADC＝45°，
故答案为：45．
12．（2025 浦东新区校级三模）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为 　12　 ．
【解答】解：连接OC、OD，
∵点O是菱形ABCD的对称中心，
∴AC⊥BD，O是AC与BD的交点，
∴CO＝AO＝4，DO＝BO＝6，
∴AC＝8，BD＝12，
∵EF为过点O的一条直线，
∴四边形ABFE的面积＝四边形CDEF的面积菱形ABCD的面积，
∵菱形ABCD的面积AC×BD＝48，
∴四边形ABFE的面积24，
∵阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，S△ABOAO×BO＝12，
∴阴影部分的面积＝24﹣12＝12，
故答案为：12．
13．（2025 汇川区二模）如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　24　 ．
【解答】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角△ABC直角边平移得到的，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角△ABC直角边重合，
∴内部四个小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长，
∴内部四个小直角三角形的周长为：AB+AC+BC＝10+6+8＝24．
故答案为：24．
14．（2025 齐齐哈尔四模）如图，在三角形ABC中，以点A为圆心画弧，交线段BC于点E和点F，分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，直线AM交线段BC于点D．若，AB＝5，AC＝3，则BD的长为　　 ．
【解答】解：由题意得：AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACD中，，AC＝3，
∴CD＝AC cosC＝31.5，
∴AD，
在Rt△ABD中，AB＝5，
∴BD，
故答案为：．
15．（2025 孝义市三模）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AC⊥CD，BD平分∠ADC，AC与BD相交于点E，若CD＝3，AC＝4，则线段BE的长为　　 ．
【解答】解：作EL⊥DA于点L，则∠ALE＝90°，
∵AC⊥CD，CD＝3，AC＝4，
∴∠ACD＝90°，
∴DA5，
∵BD平分∠ADC，AC与BD相交于点E，且EC⊥DC，EL⊥DA，
∴EC＝EL，∠ADC＝2∠CDE，
∵sin∠CAD，
∴EC＝ELAE，
∴AEAE＝4，
解得AE，
∴EC，
作BH⊥DA于点H，BF⊥DC交DC的延长线于点F，则∠AHB＝∠F＝90°，BH＝BF，
在Rt△ABH和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABH≌Rt△CBF（HL），
∴∠BAH＝∠BCF，
∵∠BCD+∠BCF＝180°，
∴∠BCD+∠BAH＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠BCD+∠BAH）＝180°，
∴2∠CDE+∠ABC＝180°
∵AB＝BC，
∴∠BAE＝∠BCE，
∴2∠BAE+∠ABC＝180°，
∴2∠BAE+∠ABC＝2∠CDE+∠ABC，
∴∠BAE＝∠CDE，
∴∠ABE＝∠AED﹣∠BAE＝∠AED﹣∠CDE＝∠ECD＝90°，
∴tan∠BAE＝tan∠CDE，
∴AB＝2BE，
∵AEBE，
∴BE，
故答案为：．
16．（2025 济宁校级二模）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3， Mn为边B1B2，B2B3，B3B4， ，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2， △Bn nMn的面积为Sn，则S10＝　　 ．
【解答】解：∵点M1，M2，M3， Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
∴，
，
，
，
，
由平行线性质可得△Bn nMn∽△B1C1Mn，
∴，
即，
∴，
∴当n＝10时，，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 永寿县校级模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠B＝∠E，∠BCE＝∠DCA，AB＝DE．求证：BC＝EC．
【解答】证明：∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴BC＝EC．
18．（2025 鹿城区校级一模）如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，AD与BE交于点F，CD＝4，∠BEA＝∠BAD+∠C．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求BE EF的值．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠BEA＝∠BAD+∠C＝∠CBE+∠C，
∴∠BAD＝∠CBE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，
由（1）知，BD＝CE，
∴AE＝CD＝4，
∵∠BAD＝∠CBE，
∴∠AFE＝∠ABF+∠BAD＝∠ABF+∠CBE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°＝∠BAE，
又∵∠AEB＝∠AEF，
∴△ABE∽△FAE，
∴，
∴BE EF＝AE2，
∴BE EF＝16．
19．（2025 从江县校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P是线段BC上的一个动点，过点B作BD⊥AP交AP的延长线于点D，射线BD交直线AC于点E，连接CD．
（1）若点P不与端点B，C重合，求证：∠CBE＝∠CAP；
（2）求证：；
（3）若点P在线段BC的延长线上时，用等式表示线段DA，DB，DC之间的数量关系并说明理由．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AP，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADB，
∵∠APC＝∠BPD，
∴∠CBE＝∠CAP；
（2）证明：如图1，
作CF⊥CD交AD于F，
∴∠DCP＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DCP，
∴∠ACB﹣∠PCF＝∠DCP﹣∠PCF，
∴∠ACF＝∠PCD，
由（1）知∠CBE＝∠CAP，
又∵AC＝BC，
∴△AFC≌△BDC（ASA），
∴CF＝CD，AF＝BD
∴DFDC，
∴AD＝AF+DF＝DBDC；
（3）解：DB＝DADC．如图2，
作CF⊥CD交BD于F，
同理（2）得，
∠ACD＝∠BCF，∠DAC＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△ACF（ASA），
∴CD＝CF，DA＝FB
∴DFDC，
∴DB＝FB+DF＝DADC．
20．（2025 黑龙江一模）在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE．
（1）当∠BAC＝90°时，如图①，线段BD，CD，DE之间的数量关系是 　BD2+CD2＝DE2　 ；
（2）当∠BAC＝60°时，如图②，当∠BAC＝120°时，如图③，分别写出线段BD，CD，DE之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
【解答】解：（1）线段BD，CD，DE的数量关系是：BD2+CD2＝DE2，理由如下：
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CE2+CD2＝DE2，
∴BD2+CD2＝DE2；
（2）在图2中，线段BD，CD，DE的数量关系是：BD2+CD2+BD CD＝DE2，证明如下：
过点E作EH⊥BC交BC的延长线于点H，如图②所示：
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
同（1）可证明：△BAD≌△CAE，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BD＝CE，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝120°，
∴∠ECH＝180°﹣∠DCE＝60°，
∵EH⊥BC
∴在Rt△ECH中，∠CEH＝90°﹣∠ECH＝30°，
∴CHCEBD，
∴DH＝CD+CH＝CDBD，
由勾股定理得：EHBD，
在Rt△DCH中，由勾股定理得：DH2+EH2＝DE2，
∴，
整理得：BD2+CD2+BD CD＝DE2；
在图3中，线段BD，CD，DE的数量关系是：BD2+CD2﹣BD CD＝DE2，证明如下：
过点E作EH⊥BC于点H，如图③所示：
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB（80°﹣∠BAC）＝30°，
同（1）可证明：△BAD≌△CAE，
∴∠B＝∠ACE＝30°，BD＝CE，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝60°，
∵EH⊥BC，
∴在Rt△ECH中，∠CEH＝90°﹣∠DCE＝30°，
∴CHCEBD，
∴DH＝CD﹣CH＝CDBD，
由勾股定理得：EHBD，
在Rt△DEH中，由勾股定理得：DH2+EH2＝DE2，
∴，
整理得：BD2+CD2﹣BD CD＝DE2．
21．（2025 江汉区模拟）已知等边三角形ABC中，D，E分别是在边AC，AB上，且CD＝nAE．
（1）如图1，若n＝1，，CE，BD交于点F．
①求证：△ABD≌△BCE；
②求的值；
（2）如图2，若n＝2，直接写出的最小值 　　 ．
【解答】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵n＝1，且CD＝nAE，
∴CD＝AE，
∵AD＝AC﹣CD，BE＝AB﹣AE，
∴AD＝BE，
∵在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
②解：过点C作CG∥AB交BD的延长线于点G．
∵CG∥AB，
∴∠G＝∠ABD，∠GCD＝∠A＝60°；
∵△ABD≌△∠BCE，
∴∠ABD＝∠BCE，
∴∠G＝∠BCE；
∵，设AD＝3x，则AC＝5x，
∴CD＝2x，AE＝2x，BE＝3x；
∵CG∥AB，
∴△CDG∽△ADB，
∴，，
解得CG，
∵∠G＝∠BCE，∠GFC＝∠BFE，
∴△CFG∽△BFE，则，
代入数据得，
∴；
（2）解：过点D作DM∥BC交AB于点M；
∵n＝2，
∴CD＝2AE，
设AE＝x，则CD＝2x，AC＝AB＝3x，AD＝x，
∵DM∥BC，△ABC是等边三角形，
∴△AMD是等边三角形，
AM＝AD＝x，DM＝AD＝x，BM＝2x，
∵∠MDE+∠BDM＝∠BDM+∠DBC＝60°，
∴∠MDE＝∠DBC，
∵∠DME＝∠BCD＝60°，
∴△DME∽△BCD．则，
∵DM＝x，BC＝3x，
∴，
即的最小值为．
22．（2025 永寿县校级模拟）问题提出
（1）如图①，在等边△ABC中，AC＝4，D为BC边上一点，则AD的最小值为 　　 ；
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，∠B＝60°，AC＝6，AD为△ABC的中线，过点D作DE⊥AC于点E，当DE取得最大值时，求△ABC的面积；
问题解决
（3）宝鸡是进出西北地区的重要交通城市，因多条铁路干线交汇于此，被称为“火车拉来的城市”．如图③，某开发商计划在废弃铁轨AD上改造一个三角形火车主题公园ABC，为了满足群众拍照打卡的需求，要求公园占地面积尽可能的大，已知∠BAC＝120°，AD＝100m，BD＝3CD．问是否存在符合要求的△ABC？若存在，请求出△ABC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵D为BC边上一点，
∴当AD⊥BC时，AD有最小值，
∵△ABC是等边三角形，AC＝4，
∴BD＝CD＝2，
∴AD；
故答案为：；
（2）如图，过点B作 BF⊥AC 于点F，
∵DE⊥AC，
∴BF∥DE，
∵AD是△ABC 的中线，
∴D是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴，
∴当BF取得最大值时，DE取得最大值，
作△ABC 的外接圆⊙O，连接OB，过点O作OG⊥AC 于点G，
则OB+OG≥BF，
∴当B，O，G三点共线，即点G与点F重合时，BF取得最大值，
此时DE取得最大值，
∵F为AC的中点，BF⊥AC，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC＝6，
∴；
（3）存在，如图，过点B作 BH∥AC交AD的延长线于点H，
则△ADC∽△HDB，
∴，∠DCA＝∠DBH，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∴∠ABH＝∠DBI+∠ABD＝∠DCA+∠ABD＝60°，
∵BD＝3CD，AD＝100m，
∴DH＝3DA＝300m，
∴AH＝400m，
作△ABH的外接圆⊙O'，连接O'A，O'B，O'H过点O'作O′I⊥AH于点I，过点B作BJ⊥AH于点J，
则m，
∵∠ABH＝60°，∠AO'H＝120°，
∵O′A＝O′H，
∴∠AHO'＝∠HAO'＝30°，
在Rt△HIO′中，O'Hm，O'IO'Hm，
∴m，
∵O′B+O′I≥BJ，
∴当B，O'，I三点共线，即点I与点J重合时，BJ取得最大值，
∴，
即，
∴BJ的最大值为m，
∵BD＝3CD，
∴，
∵BJ⊥AH，
∴当BJ取最大值时，S△ABD最大，
此时（m2），
∴存在符合要求的△ABC，△ABC 面积的最大值为．
23．（2025 前进区校级二模）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，△ABC和△DMN均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠MDN＝90°，点D为BC中点，△DMN绕点D旋转，连接AM、CN．在△DMN旋转过程中，易证AM＝CN（不需要证明）．
（1）当点M、N在△ABC内且C、M、N三点共线时，如图2，线段AM、CM、DM之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（2）当点M、N在△ABC外且C、M、N三点共线时，如图3，猜想AM、CM、DM之间的数量关系，直接写出结论，不需要证明．
【解答】解：（1），
证明如下：如图所示，连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ACD＝∠DAC＝49，
∴AD＝CD，
∵△DMN为等腰直角三角形，∠MDN＝90°，
∴DM＝DN，∠MDA+∠ADN＝∠ADN+∠NDC＝90°，
∴∠MDA＝∠NDC，
在△AMD和△CND中，
∴△AMD≌△CND（SAS），
∴∠MAD＝∠NCD，AM＝CN，
∴CM＝CN+MN＝AM+MN，
∴CM﹣AM＝CM﹣CN＝MN，
∵△DMN是等腰直角三角形，即DM＝DN，
∴MN2＝DM2+DN2＝2DM2，
∴，
∴；
（2）；
证明：如图所示，连接AD，
根据（1）中的证明可知，AD＝CD，∠ADM+∠MDC＝∠MDC+∠CDN＝90°，
∴∠ADM＝∠CDN，
在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN（SAS），
∴AM＝CN，
∴CN+CM＝AM+CM＝MN，
∵△DMN是等腰直角三角形，即DM＝DN，
∴MN2＝DM2+DN2＝2DM2，
∴MNDMDN，
∴AM+CNDM．
24．（2025 朝阳区校级三模）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．D、E分别是边AB、AC上的两个动点，AD＝CE．连结BE、CD，试探究BE+CD的最小值．
【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用B、E、F三点线，将上述问题解决．
【问题解决】如图②，过C点作CF∥AB，且CF＝AC，连结EF；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：△ACD≌△CFE．
（2）BE+CD的最小值为 　　 ．
【方法运用】如图③，在菱形ABCD中，AB＝3，∠D＝60°，E、F分别是边AB、AC上的两个动点，AE＝CF．连结BF、CE，则BF+CE的最小值为 　　 ．
【拓展迁移】如图④，在等边△ABC中，CD是高，点E在线段CD上，点F在边AC上，CE＝AF，连结AE，BF，若，则AE+BF的最小值为 　　 ．
【解答】【问题解决】（1）证明：过C点作CF∥AB，且CF＝AC，连结EF，如图②﹣1所示：
∴∠CAD＝∠FCE，
在△ACD和△CFE中，
，
∴△ACD≌△CFE（SAS）；
（2）解：连接BF，过点F作FH⊥BA于点H，如图②﹣2所示：
∴∠H＝90°，
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠CAD＝∠FCE＝∠H＝90°，
∴四边形ACFH是矩形，
又∵CF＝AC＝4，
∴矩形ACFH是正方形，
∴FH＝AH＝AC＝4，
∴AH＝AB+AH＝8，
在Rt△BHF中，由勾股定理得：BF，
∵△ACD≌△CFE，
∴CD＝FE，
∴BE+CD＝BE+FE，
∴当BE+FE为最小时，BE+CD为最小，
根据“两点之间，线段最短”得：BE+FE≥BF，
∴当B，E，F共线时，BE+FE为最小，最小值为，
∴BE+CD的最小值为，
故答案为：；
【方法运用】解：连接BD交AC于点O，连接DF，如图③所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，AC⊥BD，OA＝OC，BD＝2OD，
∴△ACD和△ABC都是等边三角形，
∴AC＝CD＝3，∠EAC＝∠FCD＝60°，
∴OA＝OCAC，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD，
∴BD＝2OD，
在△AEC和△CFD中，
，
∴△AEC≌△CFD（SAS），
∴CE＝DF，
∴BF+CE＝BF+DF，
∴当BF+DF为最小时，BF+CE为最小，
根据“两点之间，线段最短”得：BF+DF≥BD，
∴当B，F，D共线时，BF+DF为最小，最小值为，
∴BF+CE的最小值为，
故答案为：；
【拓展迁移】解：过点A作AP⊥AB，且使AP＝AB，连接PF，PB，如图④所示：
∵△ABC是等边三角形，CD是高，AB，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝60°，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，∠ACE＝90°﹣∠BAC＝30°，
∵AP⊥AB，AP＝AB，
∴∠BAP＝90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BPAB，
∴BP，
∵∠PAF＝∠BAP﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠PAF＝∠ACE＝30°，
在△PAF和△ACE中，
，
∴△PAF≌△ACE（SAS），
∴PF＝AE，
∴AE+BF＝PF+BF，
∴当PF+BF为最小时，AE+BF为最小，
根据“两点之间，线段最短”得：PF+BF≥BP，
∴当B，F，P共线时，PF+BF为最小，最小值为，
∴AE+BF的最小值为，
故答案为：．
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