【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练11四边形（含解析）

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【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练11四边形
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题）
（2025 广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（　　）
A．20° B．40° C．70° D．110°
（2025 陕西）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2025 泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
（2025 湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
（2025 湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
（2025 山西）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A．OEAD B．OEBC C．OEAB D．OEAC
（2025 大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t s，当QP＝QH时，t的值为（　　）
A． B．4 C． D．
（2025 广元）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
（2025 黑龙江）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
（2025 河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（　　）
A． B． C． D．
2 、填空题（本大题共10小题）
（2025 福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长为 　 　 m．
（2025 湖北）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是　 　 ．
（2025 青海）如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为 　 　 ．
（2025 乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD，②AC＝BD，③∠ADC＝90°．则正确的组合是 　 　 （只需填一种组合即可）．
（2025 兰州）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若，则AF＝ 　 　 ．
（2025 内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是　 　 ．
（2025 扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是　 　 ．
（2025 辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为　 　 ．
（2025 北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为　 　 ．
（2025 河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为 　 　 ．（写出一个即可）
3 、解答题（本大题共10小题）
（2025 长春）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3．求证： ABCD是菱形．
（2025 泸州）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE．
（2025 吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
（2025 徐州）已知：如图，在 ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证：
（1）△AGF≌△CGE，
（2）四边形AECF是菱形．
（2025 大庆）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．点B，点D关于AC所在直线对称．
（1）求证：四边形ABCD是菱形，
（2）过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE＝3，AD＝5，求线段OC长．
（2025 青岛）如图，在 ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG∥AF交FE的延长线于点G，连接AG．
（1）求证：△AEF≌△BEG，
（2）已知 　 　 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论．
条件①：EFCD，
条件②：EF⊥CD．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
（2025 青海）如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形，
（2）若AB＝AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明．
（2025 长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形，
（2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．
（2025 云南）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB．连接AD，CD．记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3．
（1）求证：四边形ABCD是矩形，
（2）若l2﹣l1＝2，l3＝28，求AC的长．
（2025 德阳）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O（两个门E、F的大小忽略不计）．
（1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由，
（2）同学们测得AD＝4米，AE＝3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．
【备考2026】中考数学真题2025分类精编精练11四边形答案解析
1 、选择题
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AC，根据平行线的性质得到∠DEB＝∠A＝70°，同理得到DF∥AB，得到∠EDF＝∠DEB＝70°．
解：∵点D，E分别BC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠DEB＝∠A＝70°，
同理可得：DF∥AB，
∴∠EDF＝∠DEB＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．
【考点】直角三角形斜边上的中线，余角和补角．
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝AD＝BD，推出∠B＝∠BCD，∠ADE＝∠CDE，而∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，即可得到答案．
解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∴CDAB，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵AD＝CD，DE⊥AC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴图中与∠A互余的角共有4个．
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，余角和补角，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝AD＝BD，掌握余角的概念．
【考点】矩形的性质，菱形的性质．
【分析】对于选项A，根据矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等即可对该选项进行判断，
对于选项B，根据矩形和菱形的对角线都互相平分即可对该选项进行判断，
对于选项C，根据菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直即可对该选项进行判断，
对于选项D，根据矩形和菱形的对角都相等即可对该选项进行判断，
综上所述即可得出答案．
解：对于选项A，
∵矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，
∴该选项矩形具有而菱形不具有，
故选项A符合题意，
对于选项B，
∵矩形和菱形的对角线都互相平分，
∴该选项矩形和而菱形都具有，
故选项B不符合题意，
对于选项C，
∴菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直，
∴该选项菱形具有而矩形不具有，
故选项C不符合题意，
对于选项D，
∵矩形和菱形的对角都相等，
∴该选项矩形和而菱形都具有，
故选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形和菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解决问题的关键．
【考点】平行四边形的性质，坐标与图形性质．
【分析】由题意A，C关于原点对称，可得点C的坐标．
解：由题意A，C关于原点对称，
∵A（﹣1，2），
∴C（1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【考点】菱形的判定与性质．
【分析】根据菱形的判定定理得到四边形ABCD为菱形，再根据菱形的性质计算即可．
解：∵对角线AC与BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD为菱形，
∵AB＝3，
∴四边形ABCD的周长为：3×4＝12，
故选：C．
【点评】本题考查的是菱形的判定和性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质，三角形中位线定理．
【分析】根据平行四边形的性质、三角形中位线定理求解即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC的中点，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵点E是边AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OECDAB，
故A．B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．
【考点】矩形的判定和性质，等腰三角形的性质
【分析】由题意得 AP＝t，BH＝2t，CQ＝4t，求得PH＝20﹣3t，根据等腰三角形的性质得到，再利用CQ＝BE，列式计算即可求解．
解：作QE⊥AB于点E，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形BCQE是矩形，
∴CQ＝BE，
由题意得AP＝t，BH＝2t，CQ＝4t，
∴PH＝20﹣AP﹣BH＝20﹣3t，
∵QP＝QH，QE⊥AB，
∴，
∵CQ＝BE，
∴，
解得，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质，三角形中位线定理．
【分析】由平行四边形的性质得BO＝DO，因为AB＝8，点P是AB的中点，所以BP＝AP＝4，由点O是DB的中点，点E是DP的中点，根据三角形中位线定理得OEBP＝2，于是得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴BO＝DO，
∵AB＝8，点P是AB的中点，
∴BP＝APAB＝4，
∵点O是DB的中点，点E是DP的中点，
∴OEBP＝2，
故选：C．
【点评】此题重点考查线段中点的定义、平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，求得BP＝4，并且推导出BO＝DO是解题的关键．
【考点】勾股定理，三角形中位线定理．
【分析】连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK，由三角形中位线定理推出MK∥AB，NK∥BC，MKAD＝2，NKCE，由勾股定理即可求出MN的长．
解：连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK，
∵点M、N分别是AC、DE的中点，
∴MK、NK分别是△ACD和△DCE的中位线，
∴MK∥AB，NK∥BC，MKAD，NKCE，
∵AD＝4，CE＝3，
∴MK＝2，NK，
∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∴MK⊥NK，
∴∠MKN＝90°，
∴MN．
故选：A．
【点评】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出MK∥AB，NK∥BC，MKAD，NKCE．
【考点】正方形的性质，坐标与图形变化﹣平移．
【分析】待定系数法求得直线FG的解析式为y＝﹣2x﹣1，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．
解：设直线 FG的解析式为 y＝kx+b，代入（﹣1，1），（0，﹣1），
∴，解得，
∴直线FG的解析式为 y＝﹣2x﹣1，
∵E（1，2），
A．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为，此时经过原点，对应的EH经过整点（2，1），符合题意，
B．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为，此时原点在FG下方，对应的EH在整点（2，1）上方，不符合题意，
C．当E为时，平移方式为向右平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为，此时点H在正方形内部，不符合题意，
D．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为y＝﹣2（x）﹣12x，此时点E和（2，1）在EF边上，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2 、填空题
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵E是AB的中点，
∴DEAB8＝4（m）．
故答案为：4．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长x宽即可解答．
解：根据题意可得矩形的面积是2m，
故答案为：2m．
【点评】该题考查了列代数式，正确列出式子是解题的关键．
【考点】菱形的性质，三角形中位线定理．
【分析】由三角形中位线定理得到AC＝2EF＝4，由菱形的面积公式即可求出菱形ABCD的面积．
解：∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AC＝2EF＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的面积BD AC6×4＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半，菱形的面积公式．
【考点】正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质．
【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．
解：正确的组合是①②或①③，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：①②或①③．
【点评】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
【考点】菱形的性质，线段垂直平分线的性质,勾股定理
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD，由锐角三角函数可求∠BAE＝30°，由直角三角形的性质可得AF＝BF，EF＝2，即可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD，
∵BE＝CE，
∴BE＝CE＝2，
∵sin∠BAE，
∴∠BAE＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
∴∠BAE＝∠CBD＝∠ABD，BF＝2EF，BEEF，
∴AF＝BF，EF＝2，
∴AF＝BF＝2EF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
【考点】矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【分析】由勾股定理可求BD的长，由三角形中位线定理可得BF＝2GH，当BF有最大值时，GH有最大值，即当点F与点D重合时，BF有最大值为10，即可求解．
解：如图，连接BD，BF，
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD10，
∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴BF＝2GH，
∴当BF有最大值时，GH有最大值，
∵点F是CD的点，
∴当点F与点D重合时，BF有最大值为10，
∴GH的最大值为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键．
【考点】三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求出DF．
解：∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAC4＝2，
在Rt△BFC中，E是斜边BC的中点，BC＝8，
则FEBC8＝4，
∴DF＝DE+FE＝2+4＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
【考点】菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．
【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得，AC⊥BD，取OE中点H，连接GH，则，GH∥OB，再用勾股定理解Rt△GHF即可．
解：方法一：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，
∴，AC⊥BD，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，
如图，取OE中点H，连接GH，
∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，
∴GH是三角形EBO的中位线，
∴，GH∥OB，
∴∠GHE＝∠BOA＝90°，
∵OF＝1，
∴，
在直角三角形GFH中，由勾股定理得：，
方法二：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，AE＝2，OF＝1，
∴OB＝6，OC＝4，
∴CE＝8﹣2＝6，CF＝OC﹣OF＝4﹣1＝3，
∴F为CE的中点，
又∵点G为BE的中点，
∴GF为△BCE的中位线，
∵BC2，
∴FG．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解答本题的关键．
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，先根据平行线间的距离处处相等得出FN＝BM，继而得出S△ABF＝S△ABM，通过解直角三角形得出，即可求解．
解：过点F分别作FM⊥BC，FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠FMC，
∴AB∥FM，
∴FN＝BM，
∵，，
∴S△ABF＝S△ABM，
∵CF⊥BE，垂足为F，AB＝1＝BC，∠EBC＝30°，
∴∠BFC＝90°，，
∴∠CFM＝90°﹣∠BCF＝30°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质，三角形的三边关系
【分析】由平行四边形两个邻边长分别为3和4，根据三角形的三边关系，即可求得它的一条对角线长n的取值范围．
解：如图，
∵平行四边形两个邻边长分别为3和4，
∴它的一条对角线长n的取值范围是：4﹣3＜n＜4+3，
即它的一条对角线长n的取值范围是：1＜n＜7．
∴n＝2或3或4或5或6．
故答案为：2或3或4或5或6．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握三角形三边关系的应用．
3 、解答题
【考点】菱形的判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质．
【分析】由勾股定理定理的逆定理可证AC⊥BD，由菱形的判定方法可证 ABCD是菱形．
证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3，
∴AB2＝25＝9+16＝OA2+OB2，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
【考点】菱形的性质，全等三角形的判定与性质．
【分析】由菱形的性质得AB＝BC，再证明BE＝BF，然后证明△ABF≌△CBE（SAS），即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝BC﹣CF，
即BE＝BF，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【考点】矩形的性质，全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据矩形的性质得AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，然后利用ASA即可证明△ABE≌△DCF，
（2）由（1）△ABE≌△DCF，得AE＝DF＝13，根据勾股定理即可求出BE的长．
（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
【考点】菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得AE＝BE＝EC，由等腰三角形的性质可得AG＝GC，由ASA可证△AGF≌△CGE，
（2）由全等三角形的性质可得AF＝CE，可证四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，可证 AECF是菱形．
证明：（1）∵AB⊥AC，E为BC的中点，
∴AE＝BE＝EC，
∵EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，
∴AG＝GC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
又∵∠AGF＝∠CGE，
∴△AGF≌△CGE（ASA），
（2）∵△AGF≌△CGE，
∴AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴ AECF是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明△AGF≌△CGE是解题的关键．
【考点】菱形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）证明△ABO≌△CDO（ASA），得AB＝CD，再证明四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论，
（2）由菱形的性质得OC＝OAAC，AD＝BC＝CD＝5，则BE＝BC+CE＝8，再由勾股定理求出DE＝4，BD＝4，然后由菱形面积求出OC的长即可．
（1）证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称，
∴BD⊥AC，BO＝DO，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形，
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OAAC，AD＝BC＝CD＝5，
∴BE＝BC+CE＝5+3＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
在Rt△CED中，由勾股定理得：DE4，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BD4，
∵S菱形ABCD＝DE BC，S菱形ABCDAC BD＝OC BD，
∴DE BC＝OC BD，
∴OC．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定
【分析】（1）由平行线的性质推出∠AFE＝∠BGE，∠FAE＝∠GBE，由线段的中点定义得到AE＝BE，即可证明△AEF≌△BEG（AAS），
（2）判定四边形AGBF是平行四边形，推出EFFG，由平行四边形的性质得到AB＝CD，而EFCD，得到FG＝AB，判定四边形AGBF是矩形．
（1）证明：∵BG∥AF，
∴∠AFE＝∠BGE，∠FAE＝∠GBE，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEF和△BEG中，
，
∴△AEF≌△BEG（AAS），
（2）解：已知①，四边形AGBF是矩形，理由如下：
由（1）知△AEF≌△BEG（AAS），
∴AF＝BG，
∵AF∥BG，
∴四边形AGBF是平行四边形，
∴EFFG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵EFCD，
∴FG＝AB，
∴四边形AGBF是矩形．
故答案为：①．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定，关键是掌握AAS，对角线相等的平行四边形是矩形．
【考点】平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理．
【分析】（1）证明OD是△ABC的中位线，得OD∥AC，再证明四边形AEDC是平行四边形，得AE＝CD，进而证明AE＝BD，然后由平行四边形的判定即可得出结论，
（2）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝90°，再由矩形的判定即可得出结论．
（1）证明：∵点O，D分别是边AB，BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵AE∥BC，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AE＝CD，
∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
（2）解：当AB＝AC时，四边形AEBD是矩形，证明如下：
∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
由（1）可知，四边形AEBD是平行四边形，
∴平行四边形AEBD是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理
【分析】（1）根据正方形性质得AB＝CD，AB∥CD，再根据BE＝DF得AE＝CF，由此根据平行四边形的判定即可得出结论，
（2）过点E作EH⊥CD于点H，证明四边形EBCH是矩形得EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，进而得DH＝7，再根据BE＝DF＝5得HF＝2，然后在Rt△EFH中，由勾股定理即可求出EF的长．
（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∵BE＝DF，
∴AB﹣BE＝CD﹣DF，
∴AE＝CF，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
（2）解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示：
∴∠EHC＝∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，BC＝12，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°，
∴四边形EBCH是矩形，
∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，
∴DH＝CD﹣CH＝12﹣5＝7，
∵BE＝DF＝5，
∴HF＝DH﹣DF＝7﹣5＝2，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握平行四边形的判定，勾股定理是解决问题的关键．
【考点】矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理．
【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是矩形，
（2）根据矩形的性质得l2﹣l1＝BC﹣AB＝b﹣a＝2，l3＝2（AB+BC）＝2（a+b）＝28，解方程组可得AB＝6，BC＝8，再利用勾股定理即可解决问题．
（1）证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
（2）解：∵记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3，
∴l2﹣l1＝BC﹣AB＝b﹣a＝2，l3＝2（AB+BC）＝2（a+b）＝28，
∴，
∴，
∴AB＝6，BC＝8，
∴AC10．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【考点】正方形的性质，全等三角形的应用，勾股定理的应用．
【分析】（1）根据正方形性质得BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，根据DE＝CF得AE＝DF，进而可依据“SAS”判定△BAE和△ADF全等，则BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，由此可证明∠AOB＝90°，据此可得出这道路AF与BE等长，且相互垂直，
（2）先由勾股定理求出BE＝5（米），由（1）得AF＝BE＝5米，AF⊥BE，再由三角形的面积公式OA＝2.4米，则OF＝2.6米，根据“垂线段最短”得点F到路段OB的最短距离为2.6米，因此路段OB上不存在点P，设点P在边界BC上时，由勾股定理得PC，则BP，然后根据即可得出答案．
解：（1）两条路等长，它们有什么位置关系是：互相垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，
∵DE＝CF，
∴AD﹣DE＝CD﹣CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS）
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，
∵∠BAE＝∠BAO+∠DAF＝90°，
∴∠BAO+∠ABE＝90°，
在△AOB中，∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABE）＝90°，
∴AF⊥BE，
∴道路AF与BE等长，且它们相互垂直，
（2）能建成一条这样的直路，且点P在边界BC上，理由如下：
∵AD＝AB＝CD＝4米，AE＝3米，
∴DE＝CF＝1米，
在RtABE中，由勾股定理得：BE5（米），
由（1）得：AF＝BE＝5米，AF⊥BE，
∴由三角形的面积公式得：S△ABEBE OAAB AE，
∴OA2.4（米），
∴OF＝AF﹣OA＝5﹣2.4＝2.6（米），
根据“垂线段最短”得：点F到路段OB的最短距离为2.6米，
∴路段OB上不存在点P到点F的距离等于2.5米，
∴点P不在路段OB上，
设点P在边界BC上时，
在Rt△PCF中，由勾股定理得：PC，
∴BP＝BC﹣PC，
∵，
∴，
∴点P符合题意，
即能建成一条这样的直路．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
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