第二十二章 二次函数 必考题检测卷（含解析）2025-2026学年数学九年级上册人教版

第二十二章 二次函数 必考题检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、选择题
1．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
3．二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（　　）
0 1 2 4
2 4.5 5 0
A． B．
C． D．
4．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4
C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+4
5．已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（　　）
A． B． C． D．
6．在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（　　）
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（　　）
A．7 B．9 C．10 D．8
二、填空题
9．若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　 　．
10．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为　 　.
11．已知二次函数与一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为　 　.
12．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的序号是　 　（填写正确的序号）．
13．如图，宝珠桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为（），小明骑自行车从拱梁一段O匀速穿过拱梁部分的桥面，当小明骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需　 　秒．
14．如图，某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF，则夜景灯带EF的长是　 　m．
三、解答题
15．已知二次函数的图像经过点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）求出该抛物线的顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小．
16．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该图象与x轴的另一个交点坐标；
（3）观察图象，当时，求自变量x的取值范围．
17．掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分10分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．
18．足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
19．合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司.市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元.汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆.已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元.
（1）汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？
（2）每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润=总租金-总支出）
20．如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的顶点坐标为解题即可．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：将代入函数解析式，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
故选：B．
【分析】根据待定系数法将点代入解析式可得，再将x=4代入解析式可得n值.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：设二次函数解析式为
根据题意得，
解得
∴
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，配方成顶点式求出对称轴即可解题．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．
故选A．
【分析】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵由图象可得抛物线的对称轴为x=-1.5，∴点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2），
当-3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故不符合题意；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项符合题意；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项符合题意；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题需结合一次函数与二次函数的图象性质，通过一次函数图象判断a的符号，再依据a的符号分析二次函数图象的开口方向和对称轴位置，从而筛选出符合条件的选项.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由图可知，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，，
则，
∵抛物线与轴的交点在，之间，
∴，
则，故①错误；
设抛物线与轴另一个交点，
∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，解得，
则，故②错误；
∵，，，
∴，解得，故③正确；
根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为满足，故④正确；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数，一次函数图象，性质与系数关系逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：，
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
∴对称轴为：，
∵点的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B，满足，
故答案为：D．
【分析】根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式为，令该解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得到点B的坐标；再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可设第二次着地钱抛物线的解析式为，然后将点B的坐标代入可得到第二次着地前抛物线的解析式；再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，的值，进而得到的取值范围，从而得到答案．
9．【答案】
【解析】【解答】解：当时，函数是二次函数，令，即，
当时，二次函数的图象与轴有交点，
解得：，
当时，函数是一次函数，其解析式为，
直线与轴有交点，
故的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据二次函数与坐标轴的有交点，分“”、“”两种情况下，函数与轴有交点时的取值范围．
10．【答案】6
【解析】【解答】解：当y=0时，-x2+x+2=0
解之：x1=-1，x2=2，
∴当0＜x＜2时y＞0
设点P（x，-x2+x+2），
∴矩形OAPB的周长为2（x-x2+x+2）=-2（x-1）2+6，
∵-2＜0，抛物线的开口向下，
∴当x=1时矩形OAPB的周长最大值为6.
故答案为：6.
【分析】由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到y＞0时x的取值范围；设点P（x，-x2+x+2），可得到矩形OAPB的周长与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质和x的取值范围可得到矩形OAPB的周长的最大值.
11．【答案】1＜x＜3
【解析】【解答】∵二次函数与一次函数的图像的交点的横坐标是：x=1，x=3，
∴结合图象，可知：的解集是：1＜x＜3
∴的解集是：1＜x＜3，
故答案是：1＜x＜3.
【分析】
本题主要考查函数图象和不等式的解集的关系，掌握数形结合的思想方法，是解题的关键.
根据二次函数与一次函数的图像的交点的横坐标以及两个函数图象的上下位置关系，可得的解集，进而得到答案.
12．【答案】②③⑤
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），
∴9a-3b+c=0，所以③正确；
∵点（-0.5，y1）到直线x=-1的距离比点（-2，y2）到直线x=-1的距离小，
而抛物线开口向上，
∴y1＜y2；所以④错误；
∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确，
故答案为：②③⑤．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
13．【答案】32
【解析】【解答】解：∵当小明骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴，
令，则，
将代入上式，得，
解得：，
∴小强骑自行车通过拱梁部分的桥面的时间为（秒），
故答案为：32．
【分析】先根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，从而可以得到，然后令，代入的值，即可得到抛物线与轴的交点横坐标，进而可以得到的长.
14．【答案】20
【解析】【解答】解：由题意得yE=yF=6，
解得：x1=10，x2=-10，
∴EF=xF-xE=20，
故答案为：20.
【分析】根据题意得到yE=yF=6，代入解析式求解即可.
15．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴其顶点坐标为，
∵，
∴二次函数的图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小．
【解析】【分析】（1）根据 二次函数的图像经过点，利用待定系数法求解二次函数解析式
（2）将二次函数转化为顶点式，求得顶点坐标，再利用增减性求解．
（1）∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）∵，
∴其顶点坐标为，
∵，
∴二次函数的图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小．
16．【答案】（1）解：设抛物线解析式为，
将，代入得：，
解得，
∴二次函数的解析式为：
（2）解：把代入得：，
解得：或，
∴该图象与x轴的另一个交点坐标为
（3）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为或，
∴由函数图象得：当时，自变量x的取值范围是
【解析】【分析】（1）由对称轴为直线，可设抛物线解析式为，再用待定系数法即可求解；
（2）由题意，把y=0代入（1）中的解析式可得关于x的一元一次方程，解方程即可求解；
（3）由y＞0可知，自变量的取值范围就是抛物线在x轴上方的图象所对应的x的值，结合抛物线与x轴的交点坐标即可求解．
（1）解：设抛物线解析式为，
将，代入得：，
解得，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：把代入得：，
解得：或，
∴该图象与x轴的另一个交点坐标为；
（3）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为或，
∴由函数图象得：当时，自变量x的取值范围是．
17．【答案】（1）解：∵抛物线顶点为设函数表达式为，
∵抛物线过点
∴，
解得，
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）解：令，即解得，不合题意，舍去，
∵，
∴该男生在此项考试中得满分．
【解析】【分析】（）根据二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数表达式； ；
（）根据题意只需求得抛物线与x轴的交点的横坐标（负值舍去），然后与比较大小即可，
（1）解：∵抛物线顶点为
设函数表达式为，
∵抛物线过点
∴，
解得，
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）解：令，即
解得，不合题意，舍去，
∵，
∴该男生在此项考试中得满分．
18．【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；

（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）当时，求出y值，与2.44作比较解答即可．
（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
19．【答案】（1）解：设每辆汽车的日租金为x元，
依题意得：
解得：65≤x≤150，
又∵x为10的整数倍，
x的最小值为70.
答：每辆汽车的日租金至少为70元；
（2）（2）解：设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元，
当m≤150时，w = 40m-20x40-1800 = 40m-2600，
∵40>0，
w随m的增大而增大，
当m = 150时，w取得最大值，最大值= 40 x 150 -2600＝ 3400 （元）；
当m >150时，每天可租出40-x2＝（70-）辆
∴w=（70-）m-（70-）×20-[40-（（70-）]×10-1800
∴当m=180时，w取得最大值，最大值为3580．
又∵3400<3580，
∴该汽车租赁公司一天总利润最多为3580元.
【解析】【分析】{1)设每辆汽车的日租金为x元，根据°40辆汽车能全部租出，且每天总租金不低于总支出”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为10的整数倍即可得出结论；
(2)设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元，分m＜150及m >150两种情况考虑，当m＜150时，利用总利润=总租金-总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出w的最大值；当m> 150时，每天可租出(70-）
辆，利用总利润=总租金-总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可找出w的最大值．再将两个最大值比较后即可得出结论.
20．【答案】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，
直线的解析式为，
解
得，
∴点B的坐标为(-1，3)，
不等式>的解集为或；
（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【解析】【解答】解：（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴AA1=BB1=3，且AA1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特点，把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；
（2）联立两函数解析式组成方程组，求解得点B的坐标为(-1，3)，然后找出抛物线在直线上方部分对应的自变量的取值范围即可得到不等式x2+mx＞-x+b的解集；
（3）设A、B向左移3个单位得到A1、B1，根据平移的性质得到AA1=BB1=3，且AA1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，将个抛物线的解析式配成顶点式，得到顶点坐标（1，-1），然后分当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线y=x2-2x只有一个公共点，当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线y=x2+2x也只有一个公共点，分别得到点M的横坐标取值范围即可.