第二十一章 一元二次方程 必考题检测卷（含解析）2025-2026学年数学九年级上册人教版

第二十一章 一元二次方程 必考题检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、选择题
1．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．已知实数a，b分别满足 ，且a≠b，则 的值是（　　）
A．7 B．－7 C．11 D．－11
3．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1 x2等于（　　）
A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4
4．某工厂2024年治理污水花费成本144万元，经技术革新，计划到2026年治理污水花费成本降到100万元，若设每年成本的下降率是x，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
5．淇淇初一时的体重是，到初三时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为（　　）
A． B． C． D．
6．等腰三角形一条边的边长为，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是（　　）
A．或 B． C．或 D．
7．小颖在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（　　）
A． B． C． D．
8．小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和6．则此方程正确的解为（　　）
A． B．， C．， D．此方程无解
二、填空题
9．一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式为：　 　．
10．若是关于的方程的解，则的值是　 　．
11．某校九年级举行篮球赛（每两班比赛一场），共比赛了15场，则九年级共有　 　个班.
12．若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则c的值可以是　 　（写出一个即可）.
13．某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件，如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？设该服装每件降价x元，根据题意可列方程　 　．
14．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为　 　.
三、解答题
15．按要求解下列方程
（1）；（配方法）
（2）（公式法）
（3）（因式分解法）
16．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求k的取值范围；
（2）若两根，满足，求k的值．
17．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）在盈利的同时给顾客最大的实惠，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗 请说明理由.
18．如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
19．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？
20．若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“知己方程”．例如x2＝9和（x＋2）（x－3）＝0有且只有一个相同的实数根 x＝3，所以这两个方程为“知己方程”．
（1）下列方程中属于“知己方程”的是：　 　（只填写序号即可）；
①（x－1）2＝9； ②x2＋4x＋4＝0 ③x2＋2x－8＝0；
（2）关于x的一元二次方程x2－2x＝0与x2＋x＋m－1－0为“知己方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）同时满足a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0，且与（x－n）（x＋3）＝0互为“知己方程”，求n的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a，b分别满足 ，且a≠b，
∴a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根.
∴根据一元二次方程根与系数的关系，得a+b=6，ab=4.
∴则 .
故答案为：A.
【分析】观察两方程可知a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，可得到a+b=6，ab=4，然后将分式通分后整体代入求值.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵方程x2-4x-1=0的两个根是x1，x2，
∴x1 x2=-1．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根与系数的关系，可得x1+x2=，x1 x2=，据此解答即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，可列方程为 ，
故答案为：A.
【分析】根据“2021年成本=2019年成本 （1-每年成本的下降率）2”即可得.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：设她的体重平均每年的增长率为，则她初二时的体重是，初三时的体重是，
由题意得：，
解得：，（舍去），
她的体重平均每年的增长率为，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，根据题意准确找到等量关系是解题关键.
设她的体重平均每年的增长率为，则她初二时的体重是，初三时的体重是，根据“到初三时，体重增加到”可得到方程：，解得x的值即可得出答案．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：当其他两条边中有一个为时，将代入原方程，
得：
解得：
将代入原方程，得：
解得，
，，不能组成三角形，不符合题意舍去；
当为底时，则其他两边相等，即
此时：
解得：
将代入原方程，得：
解得：
，，能够组成三角形，符合题意，
故的值为
故选：．
【分析】结合等腰三角形边的分类讨论(腰或底)与一元二次方程根的情况(判别式，代入求解)当其他两条边中有一个为时，将代入原方程求出，然后解方程和三角形三边关系讨论即可，当为底时，则其他两边相等，即，求出，然后解方程和三角形三边关系讨论即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：根据表格可知，当时，；当时，
所以当时，一个解的范围是
故方程的其中一个解的整数部分是
故选：．
【分析】利用函数值符号变化确定方程解的区间，通过表格中x=1和x=2时函数值的正负，判断方程解的范围，进而确定整数部分.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵小明在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和5；
，
又∵小红写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2和6．
，
A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项符合题意；
D、由C分析可知，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别根据小明和小红的错误情况，确定原方程正确的两根之和与两根之积，进而找出正确的根.
9．【答案】
【解析】【解答】解： x2＋6x＝3x＋2
移项得：
故答案为：
【分析】先求出，再求解即可。
10．【答案】2021
【解析】【解答】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2021．
【分析】x=3代入方程可得，化简代数值再整体代入即可求出答案.
11．【答案】6
【解析】【解答】解：设九年级共有x个班级.
依题意得： x（x-1）=15.
解得：x1=6，x2=-5（不合题意舍去）.
故答案为：6.
【分析】设九年级共有x个班级，则每一个班要进行（x-1）场比赛，由于每两班比赛一场则需要进行的比赛总场次为 x（x-1）场，从而列出方程，求解即可.
12．【答案】答案不唯一（只要c<4即可），如：0，1等
【解析】【解答】解：已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△=16-4c＞0，解得c＜4，只要符合这个条件c的值即可.
【分析】开放性的命题，答案不唯一；已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，故其根的判别式的值应该大于0，从而列出不等式，求解即可得出c的取值范围，在其取值范围内随便取一个值即可。
13．【答案】
【解析】【解答】解：设每件应降价x元，
依题意得：，
故答案为：．
【分析】设每件应降价x元，根据总利润=每件的利润×销售量列出方程即可.
14．【答案】 x（x﹣1）=36
【解析】【解答】解：设一共有x个球队参赛，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）=36.
故答案为 ： x（x﹣1）=36.
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为 ，即可列方程.
15．【答案】（1）解：
∴
∴
∴，
解得：；
（2）解：，
∵，，
∴
解得：；
（3）解：
∴
∴
即或
解得：.
【解析】【分析】（1）首先将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式求出方程的根；
（3）将2x+1看成一个整体，将方程右边整体移到方程的左边，从而将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：
∴
∴
∴，
解得：
（2）解：，
∵，，
∴
解得：
（3）解：
∴
∴
即或
解得：
16．【答案】（1）解：由题意得，，
解得：；
（2）解：由题意得，，，
∵
∴
整理得，
∴
或
解得，．
【解析】【分析】（1）利用根的判别式解题即可；
（2）根据韦达定理可得，，整体代入得到关于k的一元二次方程，即可解题．
（1）解：由题意得，，
解得：；
（2）解：由题意得，，，
∵
∴
整理得，
∴
或
解得，．
17．【答案】（1）解：设每件童装降价 x 元
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20
为给顾客最大的实惠，取 x＝20
答：每件童装降价 20 元时，平均每天盈利 1200元
（2）解：不可能每天盈利 2000 元，理由如下：
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝2000
整理得：x2﹣30x+600＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0，
∴该方程无实数根，即不可能每天盈利 2000 元
【解析】【分析】（1）设每件童装降价 x 元，根据“一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”即可列出一元二次方程，从而结合题意解方程，取符合题意的解即可；
（2）根据题意列出方程，再根据一元二次方程根的判别式即可求解。
18．【答案】（1）解：∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，
∴AB=-2x+44；
（2）解：由题意得，（-2x+44） x=192，
即2x2-44x+192=0，
解得x1=6，x2=16，
∵x2=16＞ （舍去），
∴AD=6，
∴AB=-2×6+44=32．
答：AD长为6米，AB长为32米．
【解析】【分析】（1）根据图形可得AD+BC-2+AB-2=40，利用已知AD=BC=x，可得AB与x的代数式；
（2）由（1）中的代数式和矩形场地的面积为192可得关于x的一元二次方程，解方程判断x的值是否满足条件即可.
19．【答案】（1）解：根据道路的宽为米，
根据题意得，，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米.
（2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让利居民，
∴，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
【解析】【分析】(1)通过矩形面积公式列方程，结合实际意义舍去不合理解；(2)依据租金收入=单价×租出数量列方程，根据让利需求选较小上涨金额.
（1）解：根据道路的宽为米，
根据题意得，，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米；
（2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵尽可能让利居民，
∴，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
20．【答案】（1）①②
（2）解：一元二次方程x2－2x＝0的解为，
当相同的根是x＝0时，则m－1＝0，解得m＝1；
当相同的根是x＝2时，则4＋2＋m－1＝0，解得m＝－5；
综上，m的值为1或－5；
（3）解：∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是；
∵（x－n）（x＋3）＝0的两个根是，
∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）与（x－n）（x＋3）＝0互为“知己方程”，
∴n＝－1或3
【解析】【解答】解：（1） ①（x－1）2＝9 ，x-1=3或x-1=-3，解得：x1=4，x2=-2；
②x2＋4x＋4＝0 ，分解因式，得（x+2)2=0，解得：x1=x2=-2，
③x2＋2x－8＝0 ，分解因式，得（x+4)(x-2)=0，解得：x1=-4，x2=2；
∴ 于“知己方程”的是①② 。
故答案为： ①② 。
【分析】（1）先解三个一元二次方程，再结合”知 己方程 “的定义判定即可；
（2）先解方程x2－2x＝0 ，确定相同的实数根代入求出m的值；
（3）由 同时满足a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0， 可得方程的根为，再利用“知己方程”的定义求解即可。