专题01 一元二次方程
目录
【题型一 辨别一元二次方程】 1
【题型二 由一元二次方程的定义求字母的值】 2
【题型三 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】 4
【题型四 由一元二次方程的一般形式求值】 5
【题型五 由一元二次方程的解求字母的值】 6
【题型六 由一元二次方程的解求代数式的值】 7
【题型七 一元二次方程的解的估算】 8
【题型一 辨别一元二次方程】
例题：（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、，方程是一元二次方程，符合题意；
D、，方程是一元一次方程，不符合题意；
故选：C．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的识别，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，形如的形式，由此判断即可．
【详解】解：A，是一元一次方程，不合题意；
B，中，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不合题意；
C，是一元二次方程，符合题意；
D，中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
故选C．
2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意；
．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
．是一元二次方程，故该选项符合题意；
．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
故选：C．
【题型二 由一元二次方程的定义求字母的值】
例题：（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（ ）
A．3 B．2 C．2或3 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，由常数项为2，
则，
解得：或，
∵，
∴，
∴或都符合题意．
故选：C．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义得到，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
2．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A． B．4 C．2或 D．4或
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，求解可得答案．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：．
故选：C．
【题型三 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】
例题：（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解．
【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程，
∴，
∴；
故答案为：．
2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，解得：，
故选：．
【题型四 由一元二次方程的一般形式求值】
例题：（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知一元二次方程，则它的一次项系数为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，形如，且a，b，c为常数，分别称为二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可求解．
【详解】解：一元二次方程，则它的一次项系数为，
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是 )
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可．
【详解】解：方程整理得：，
则，，的值分别是，，．
故选：B．
2．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可．
【详解】解：
，
整理得：
故答案为：
【题型五 由一元二次方程的解求字母的值】
例题：（2025·湖南·模拟预测）已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根是2，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练】
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知是关于的方程的解，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．把代入方程，解之即可得到的值．
【详解】解：是关于的方程的解，
，
解得．
故答案为：3．
2．（2025·江苏镇江·二模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键．
把代入原方程可得答案．
【详解】解：把代入原方程：，
．
故答案为：．
【题型六 由一元二次方程的解求代数式的值】
例题：（2025·吉林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】2031
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴
，
故答案为：2031．
【变式训练】
1．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
把m代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，即，
∴，
故选C
2．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
【答案】1
【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可．
【详解】解：将代入，
得，即，
∵，
∴，
故答案为：1．
【题型七 一元二次方程的解的估算】
例题：（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（ ）
x 0 1 2
5
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是．
【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0，
当时，的值小于0，
因此的一个解的取值范围是．
故选：A．
【变式训练】
1．（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ．
x 1 1.1 1.2
13 14.41 15.84
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足．
【详解】解：由题意得
x 1 1.1 1.2
13 14.41 15.84
∴当时，；
当时，，
∴当时，必有一个解，
∴x的取值范围是．
故答案为：．
2．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解．
利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解．
【详解】解：∵时，，时，；
∴一元二次方程的一个解为，更接近，
∴方程的一个近似解是．
故选：C．
一、单选题
1．（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意；
B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
故选：A．
2．（2025·浙江丽水·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解的意义，由题意可得，将原式变形后代入数值计算即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（ ）
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是．
【详解】解：，
由表中数据可知：当时，，
一元二次方程的解是．
故选：C．
4．（2025·北京顺义·二模）若是方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．代入到方程，得到关于的方程，即可求解．
【详解】解：代入得，，
解得：．
故选：D．
5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义；
根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根．
【详解】解：把代入一元二次方程，得，
，
两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得，
，
．
∴当时，方程成立．
∴方程必有一根为 ，
故选：D．
二、填空题
6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）当 时，是关于的一元二次方程．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案．
【详解】解：时，，时，，
∴一元二次方程的解的范围是．
故答案为：
8．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键．由2是一元二次方程的一个根，把代入方程，解之即可求得．
【详解】解：一元二次方程的一个根是2，
，
解得．
故答案为：．
9．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3，
∴一次项的系数为，
故答案为：．
10．（2025·吉林长春·二模）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据题意得出，再整体代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴
∴
∴
故答案为：．
三、解答题
11．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程
(1)为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
【答案】(1)
(2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为
【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
（1）利用一元一次方程的定义判断即可；
（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．
【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
由题意得：，
．
当时此方程是一元一次方程；
（2）由题意得：，
．
当时，此方程是一元二次方程．
此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m.
12．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）已知a是方程的解，求代数式的值．
【答案】；
【分析】本题主要考查了代数式求值，方程的解，整式乘法运算，解题的关键是熟练掌握整体代入法的应用．先化简得出，然后根据是方程的解，得出， 最后整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵是方程的解，
∴，
∴，
∴
．
13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由．
【答案】是等腰三角形，理由见解析
【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状．
【详解】解：是等腰三角形，
理由如下：把代入得到，
，
则，
∴是等腰三角形．
14．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考
阅读下列材料，然后完成相应任务．
方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以．
任务：
(1)已知方程，则____________．
(2)若是方程的根，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可．
【详解】（1）解：，
两边同时除以x（），得
，
∴，
故答案为：3；
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
两边同时除以（），得
，
∴，
∴，
∴
∴．
15．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根；
(3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值．
【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键．
（1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可；
（2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可；
（3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可．
【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下：
，
，
，
，，，
，
一元二次方程是“有爱方程”．
（2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”，
，
，
，
为“有爱方程”的根．
（3）是关于的“有爱方程”，
，
，
是该“有爱方程”的一个根，
，
，
或．专题01 一元二次方程
目录
【题型一 辨别一元二次方程】 1
【题型二 由一元二次方程的定义求字母的值】 2
【题型三 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】 2
【题型四 由一元二次方程的一般形式求值】 2
【题型五 由一元二次方程的解求字母的值】 3
【题型六 由一元二次方程的解求代数式的值】 3
【题型七 一元二次方程的解的估算】 3
【题型一 辨别一元二次方程】
例题：（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型二 由一元二次方程的定义求字母的值】
例题：（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（ ）
A．3 B．2 C．2或3 D．5
【变式训练】
1．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ．
2．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A． B．4 C．2或 D．4或
【题型三 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】
例题：（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ．
2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【题型四 由一元二次方程的一般形式求值】
例题：（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知一元二次方程，则它的一次项系数为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是 )
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ．
【题型五 由一元二次方程的解求字母的值】
例题：（2025·湖南·模拟预测）已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式训练】
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知是关于的方程的解，则的值为 ．
2．（2025·江苏镇江·二模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ．
【题型六 由一元二次方程的解求代数式的值】
例题：（2025·吉林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ．
【变式训练】
1．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
2．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
【题型七 一元二次方程的解的估算】
例题：（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（ ）
x 0 1 2
5
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ．
x 1 1.1 1.2
13 14.41 15.84
2．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A． B． C． D．
一、单选题
1．（24-25八年级下·北京西城·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江丽水·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（ ）
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A． B． C． D．
4．（2025·北京顺义·二模）若是方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．6
5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）当 时，是关于的一元二次方程．
7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ．
8．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则 ．
9．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ．
10．（2025·吉林长春·二模）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
三、解答题
11．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程
(1)为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
12．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）已知a是方程的解，求代数式的值．
13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由．
14．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考
阅读下列材料，然后完成相应任务．
方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以．
任务：
(1)已知方程，则____________．
(2)若是方程的根，求的值．
15．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根；
(3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值．
