第十五章轴对称 测试卷
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列四种图案是巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是( D )
A B C D
2.如图，以点A为圆心画弧，交直线l于B，C两点，再分别以A，B为圆心大于AB长为半径画弧交于M，N两点，直线MN交直线l于点D，若∠BAC＝40°，则∠CAD的度数( C )
A.20° B.25° C.30° D.40°
第2题图 第4题图 第5题图
3.下列能判定△ABC为等腰三角形的是( B )
A.∠A＝30°，∠B＝60° B.∠A＝50°，∠B＝80°
C.∠A＝70°，∠B＝35° D.AB＝3，BC＝7，周长为15
4.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM，ON于点A，B.若GH的长为10 cm，则△PAB的周长为( B )
A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.15 cm
5.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，线段AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，连接BN，过点N作BC的垂线，垂足为D.若AN＝6，则DN的长度为( B )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.如果△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，已知点A(－4，6)，B(－6，2)，C(2，1)，现将△A1B1C1向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△A2B2C2，则点B2的坐标为( C )
A.(－11，－1) B.(－1，－5) C.(1，－1) D.(1，5)
7.如图，AB∥CD，点E为直线AB上方一点，连接BD，DE，BE.若DE⊥CD，BE＝DE，∠BDC＝25°，则∠ABE的度数是( D )
A.125° B.130° C.135° D.140°
第7题图 第8题图 第10题图
8.在平面直角坐标系中，有一点P(2，1.5)，OP＝2.5，连接OP，在x轴上找一点Q，使△OPQ是以OP为腰的等腰三角形，则点Q的坐标不可能是( D )
A.(－2.5，0) B.(2.5，0) C.(4，0) D.(，0)
9.把一张长方形纸片按图1、图2的方式从右向左连续对折两次后得到图3，再在图3中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是( C )
图1 图2 图3
A B C D
10.如图，在等边△ABC中，AB＝2，D为△ABC内一点，且DA＝DB，E为△ABC外一点，BE＝AB，且∠DBE＝∠DBC，连接DE，CE.有下列结论：①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB＝30°；④若EC∥AD，则S△EBC＝1.其中正确的结论有( B )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题5分，共20分)
11.若点A(a－1，2 025)与点B(2 026，b－1)关于y轴对称，则(a＋b)2 025＝ 1 .
12.如图，点O在直线l上，点A在直线l外，要在直线l上找出一点P使△APO为等腰三角形，这样的点P有 4 个.
第12题图 第13题图 第14题图
13.如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC＝ 34 °.
14.如图，在四边形ABCD中，BA＜BC，BD平分∠ABC，AD＝CD.
(1)点A关于直线BD的对称点 在 (选填“在”或“不在”)线段BC上；
(2)若∠ABC＝46°，∠ADB＝40°，则∠C＝ 63° .
三、解答题(共70分)
15.(4分)如图，已知△ABC.
(1)请用尺规作图作出AC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)连接CE，如果△ABC的周长为27，DC的长为5，求△BCE的周长.
解：(1)如图，DE为所作.
(2)∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，AD＝CD＝5，∴AC＝10.∵△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝27，∴AB＋BC＝27－10＝17，∴△BCE的周长＝BE＋EC＋BC＝BE＋AE＋BC＝AB＋BC＝17.
16.(6分)已知P(a＋1，b－2)，Q(4，3)两点.
(1)若P，Q两点关于x轴对称，求a＋b的值；
(2)若点P到y轴的距离是5，且PQ∥x轴，求点P的坐标.
解：(1)∵P，Q两点关于x轴对称，∴a＋1＝4，b－2＝－3，∴a＝3，b＝－1，
∴a＋b＝3＋(－1)＝2.
(2)∵P到y轴的距离是5，∴点P的横坐标为5或－5.∵PQ∥x轴，Q(4，3)，∴点P的纵坐标为3，∴点P的坐标为(5，3)或(－5，3).
17.(6分)如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0，1)，B(2，0)，C(4，3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点坐标；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标.
解：(1)如图所示，△ABC即为所求.
(2)如图所示，△A1B1C1即为所求.由图可知：A1(0，1)，B1(－2，0)，C1(－4，3).
(3)∵P为x轴上一点，A(0，1)，B(2，0)，∴OA＝1，S△ABP＝OA·BP＝×1×BP＝4，∴BP＝8.∵B(2，0)，∴P点的横坐标为2＋8＝10或2－8＝－6，∴P(10，0)或P(－6，0).
18.(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E.
(1)求证：△BCD是等腰三角形；
(2)若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长.
(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝(180°－∠A)＝72°.∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠A＝∠ACD＝36°，∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝72°，∴∠CDB＝∠B＝72°，∴CD＝CB，∴△BCD是等腰三角形.
(2)解：∵△BCD的周长是13，∴BC＋BD＋CD＝13.∵AD＝CD，∴BC＋BD＋AD＝13，∴BC＋AB＝13.∵BC＝5，∴AB＝13－5＝8，∴AC＝AB＝8.
19.(8分)如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝8.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠CAB的平分线AD，交BC的垂直平分线于点D(不写作法，保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下，作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N.求线段AM的长.
解：(1)如图所示
(2)如图，连接DB，DC.由题意，得DB＝DC.∵AD平分∠CAB，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∠DAB＝∠DAC.在△DAM和△DAN中，∴△DAM≌△DAN(AAS)，∴AM＝AN.在Rt△DBM和Rt△DCN中，
Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，∴BM＝CN，即AB－AM＝AN－AC，∴AB－AM＝AM－AC，∴AM＝(AB＋AC)＝×(8＋6)＝7.
20.(8分)如图，在△ABC中，AB＜AC，点D为BC边中点，∠BAD＝α.作点B关于直线AD的对称点B'，连接BB'交AD于点E，过点C作CF∥AB交直线AB'延长线于点F.请依题意补全图形，并写出∠AB'E和∠AFC的度数(用含α的式子表示).
解：补全图形后如图所示.∵点B关于直线AD的对称点为点B'，∴AB＝AB'，AE⊥BB'，BE＝B'E，∴Rt△ABE≌Rt△AB'E(HL)，∴∠B'AE＝∠BAD＝α.∵∠AEB＝∠AEB'＝90°，∴∠AB'E＝90°－α.∵CF∥AB，∴∠AFC＝180°－∠FAB＝180°－∠B'AE－∠BAD＝180°－2α.
21.(10分)如图所示，在等边△ABC中，AB＝9 cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5 cm/s的速度移动.P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t s.
(1)用含t的式子表示BP和BQ的长度；
(2)请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？
(3)若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝9 cm.∵点P的运动速度为2 cm/s，运动时间为t s，∴BP＝BC－CP＝(9－2t)cm.∵点Q的运动速度为5 cm/s，运动时间为t s，∴BQ＝5t cm.
(2)若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9－2t＝5t，解得t＝，∴ s时，△PBQ第一次为等边三角形.
(3)设t s时，Q与P第一次相遇，根据题意得5t－2t＝18，解得t＝6，即6 s时，两点第一次相遇.当t＝6 s时，P走过的路程为2×6＝12 cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，∴经过6 s后点P与点Q在AB上第一次相遇.
22.(10分)
(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由；
(2)如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第(1)题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE，CF之间类似的数量关系？ 图1 图2
解：(1)∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD.又∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，∴BE＝ED，CF＝FD，∴EF＝ED＋DF＝BE＋CF.
(2)不成立.EF＝BE－CF.理由如下(如图2)：∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG.∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，∴BE＝DE，DF＝CF，∴EF＝BE－CF.
23.(12分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.
(1)求证：OC＝AD.
(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会发生变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由.
(3)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
(1)证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB＝AB，CB＝DB，∠OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，∴∠OBC＝∠ABD.在△OBC和△ABD中，∴△OBC≌△ABD(SAS)，∴OC＝AD.
(2)解：在点C的运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化.∵AOB是等边三角形，∴∠BOA＝∠OAB＝60°.∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∴∠CAD＝180°－∠OAB－∠BAD＝60°.
(3)解：∵OC＞1，∴点C在点A右侧.∵∠OAB＝∠BAD＝60°，∴∠OAE＝180°－60°－60°＝60°，∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰.∵A(1，0)，∴OA＝1.∵∠OEA＝30°，∴AE＝2OA＝2，∴AC＝AE＝2，∴OC＝OA＋AC＝1＋2＝3，∴当点C的坐标为(3，0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形.第十五章轴对称 测试卷
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列四种图案是巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是( )
A B C D
2.如图，以点A为圆心画弧，交直线l于B，C两点，再分别以A，B为圆心大于AB长为半径画弧交于M，N两点，直线MN交直线l于点D，若∠BAC＝40°，则∠CAD的度数( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
第2题图 第4题图 第5题图
3.下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A＝30°，∠B＝60° B.∠A＝50°，∠B＝80°
C.∠A＝70°，∠B＝35° D.AB＝3，BC＝7，周长为15
4.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM，ON于点A，B.若GH的长为10 cm，则△PAB的周长为( )
A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.15 cm
5.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，线段AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点N，连接BN，过点N作BC的垂线，垂足为D.若AN＝6，则DN的长度为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.如果△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，已知点A(－4，6)，B(－6，2)，C(2，1)，现将△A1B1C1向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△A2B2C2，则点B2的坐标为( )
A.(－11，－1) B.(－1，－5) C.(1，－1) D.(1，5)
7.如图，AB∥CD，点E为直线AB上方一点，连接BD，DE，BE.若DE⊥CD，BE＝DE，∠BDC＝25°，则∠ABE的度数是( )
A.125° B.130° C.135° D.140°
第7题图 第8题图 第10题图
8.在平面直角坐标系中，有一点P(2，1.5)，OP＝2.5，连接OP，在x轴上找一点Q，使△OPQ是以OP为腰的等腰三角形，则点Q的坐标不可能是( )
A.(－2.5，0) B.(2.5，0) C.(4，0) D.(，0)
9.把一张长方形纸片按图1、图2的方式从右向左连续对折两次后得到图3，再在图3中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是( )
图1 图2 图3
A B C D
10.如图，在等边△ABC中，AB＝2，D为△ABC内一点，且DA＝DB，E为△ABC外一点，BE＝AB，且∠DBE＝∠DBC，连接DE，CE.有下列结论：①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB＝30°；④若EC∥AD，则S△EBC＝1.其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题5分，共20分)
11.若点A(a－1，2 025)与点B(2 026，b－1)关于y轴对称，则(a＋b)2 025＝ .
12.如图，点O在直线l上，点A在直线l外，要在直线l上找出一点P使△APO为等腰三角形，这样的点P有 个.
第12题图 第13题图 第14题图
13.如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC＝ °.
14.如图，在四边形ABCD中，BA＜BC，BD平分∠ABC，AD＝CD.
(1)点A关于直线BD的对称点 (选填“在”或“不在”)线段BC上；
(2)若∠ABC＝46°，∠ADB＝40°，则∠C＝ .
三、解答题(共70分)
15.(4分)如图，已知△ABC.
(1)请用尺规作图作出AC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)连接CE，如果△ABC的周长为27，DC的长为5，求△BCE的周长.
16.(6分)已知P(a＋1，b－2)，Q(4，3)两点.
(1)若P，Q两点关于x轴对称，求a＋b的值；
(2)若点P到y轴的距离是5，且PQ∥x轴，求点P的坐标.
17.(6分)如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0，1)，B(2，0)，C(4，3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点坐标；
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标.
18.(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E.
(1)求证：△BCD是等腰三角形；
(2)若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长.
19.(8分)如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝8.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠CAB的平分线AD，交BC的垂直平分线于点D(不写作法，保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下，作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N.求线段AM的长.
20.(8分)如图，在△ABC中，AB＜AC，点D为BC边中点，∠BAD＝α.作点B关于直线AD的对称点B'，连接BB'交AD于点E，过点C作CF∥AB交直线AB'延长线于点F.请依题意补全图形，并写出∠AB'E和∠AFC的度数(用含α的式子表示).
21.(10分)如图所示，在等边△ABC中，AB＝9 cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5 cm/s的速度移动.P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t s.
(1)用含t的式子表示BP和BQ的长度；
(2)请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？
(3)若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
22.(10分)
(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由；
(2)如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第(1)题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE，CF之间类似的数量关系？ 图1 图2
23.(12分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.
(1)求证：OC＝AD.
(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会发生变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由.
(3)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
