第二十一章 一元二次方程 单元 检测试题（含答案） 2025--2026学年人教版九年级数学上册

中小学教育资源及组卷
第二十一章《一元二次方程》单元检测题
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围（　　）
A． B． C．且 D．且
3．已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（　　）
A．1 B． C．4 D．
4．若的值使得成立，则的值为（ ）
A．5 B． C．3 D．
5．若是方程一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知方程的两根是等腰三角形的两条边长，则等腰三角形的周长是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．12或15
7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
8．若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　）
A． B． C． D．
9．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
10．某商品经过两次降价，每件零售价由25元降为16元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A．20% B．25% C．30% D．36%
二、填空题(每题3分，共24分)
11．方程是一元二次方程，则 ．
12．已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ．
13．若，则的值是 ．
14．关于的方程有实数根，则的取值范围是 ．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
16．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
17．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为 ．
18．将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形，若使这两个正方形的面积之和等于，则这段铁丝剪成两段后的长度分别为 ．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．解答题
（1） （2）
20．已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值．
22．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值．
23．如图，某校一面长的墙前有一块空地，校方准备用长的栅栏围成一个一面靠墙的矩形花圃（除围墙外，实线部分均为栅栏，且不浪费栅栏，栅栏厚度忽略不计），矩形中种植矮牵牛，矩形中种植千日红，矩形作为水池给两块矩形花圃浇灌．已知，，花圃的种植总面积（除水池外）为，则的长为多少？

24．国庆节期间，某烧饼店平均每天可卖出个烧饼，卖出1个烧饼的利润是1元，经调查发现，零售单价每降元，平均每天可多卖出个，为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（）元．
(1)零售单价下降m元后，每个烧饼的利润为　　元，该店平均每天可卖出　　个烧饼（用含m的代数式表示，需化简）；
(2)在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是元，并且卖出的烧饼更多？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A C B B C A D
二．填空题（共8小题）
11．解：∵方程（m+1）7x﹣m＝0是一元二次方程，∴m2﹣2m﹣1＝2且m+1≠0，解得：m＝3．
故答案为3．
12．解：设方程的两个根分别为，令，
由题意知，，，
∴，
解得，，
∴，
∴它的另一个根为，
故答案为：．
13．解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
14．解；当，即时，原方程为，解得，此时方程有实数根；
当，即时，则，
解得，即此时且，
综上所述，，
故答案为：．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
17．25 [ 1 ＋( 1 ＋ x)＋( 1 ＋ x )2 ]＝ 82.75　
18．50.7（1+x）2=125.6
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）（x+4）2-5（x+4）=0，
（x+4）（x+4-5）=0，
∴x1=-4，x2=1；
（2），
∵a=2，b=-4，c=-1，
∴△==24，
∴x＝，
∴x1=，x2=.
20．解：设方程的两个实数根为，
则
∴
令，即
解得：
∵方程有实数根，
∴
即：
综上所述：
21．解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，
∵k≤，
∴2k﹣2＜0，
又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣22，可化简为：k2+2k﹣24＝0．
解得k＝4（不合题意，舍去）或k＝﹣6，
∴k＝﹣6．
22．解：当a＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4≠0，不符合题意；
当b＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34．
23．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为，则，，，根据“花圃的种植总面积（除水池外）为”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设的长为，则，，，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：的长为．
24．(1)，；
(2)元
【分析】（1）每个烧饼的利润等于原来利润减去零售单价下降的钱数即可得到；每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．
【详解】（1）每个烧饼的利润为元，
该店平均每天可卖出烧饼个数为：元，
故答案为：，；
（2）由题意，，
解得，（由题意舍去），