第二十一章 一元二次方程 单元 检测试题（含答案） 2025--2026学年人教版九年级数学上册

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第二十一章《一元二次方程》单元检测题
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1 B．ax2+bx+c＝0
C．3x+＝4 D．x2﹣2＝0
2．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（　　）
A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57
5．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．2
4．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
5．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．且m≠1
C．m≤5且m≠1 D．m为任意实数
6．已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）
A． B．2023 C．2022 D．2024
7．若方程是关于的一元二次方程，则的范围是（ ）
A． B． C． D．且
8．用直接开平方法解方程(x－3)2=8得方程的根为 （ ）
A． B．
C．， D．，
9．秋冬季节为流感得高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　）
A．7人 B．8人 C．9人 D．10人
10．如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（　　）
A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440
C．x（81﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440
二、填空题(每题3分，共24分)
11．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是
．
12．已知关于x的一元二次方程有一个实数根为，则方程另一根为 ．
13．已知xy≠0，且3x2﹣2xy﹣8y2＝0，则＝ ．
14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0两根分别为m，n，则+值为 　．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
16．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
17．据某市交通部门统计，该市2013年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2015年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．设这两年中全市汽车拥有量平均每年增长的百分率为x，则可列方程为 ．
18．某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为，则可列方程为 ．
18．某校“研学”活动小组在一次综合实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．用适当的方法解方程：
（1）
（2）
20． 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求的取值范围．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值．
22．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值．
23．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b） 米的长方形草坪上修建一横两竖，宽度均为b米的通道．
（1）通道的面积共有多少平方米？
（2）若 a＝2b，剩余草坪的面积是 216 平方米，求出通道的宽度．
24．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）若每件售价为45元，求日销量是多少件？
（2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（3）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A A C B B C A D
二．填空题（共8小题）
11．
12．
13．或2
14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
17．150（1+x）2=216．
18．
三．解答题（共7小题）
19．（1），
（2），
20．（1）证明：由题意得：，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
解得或，
该方程有一个根是正数，
，
．
21．解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，
∵k≤，
∴2k﹣2＜0，
又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣22，可化简为：k2+2k﹣24＝0．
解得k＝4（不合题意，舍去）或k＝﹣6，
∴k＝﹣6．
22．解：当a＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4≠0，不符合题意；
当b＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34．
23．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b） 米的长方形草坪上修建一横两竖，宽度均为b米的通道．
（1）通道的面积共有多少平方米？
（2）若 a＝2b，剩余草坪的面积是 216 平方米，求出通道的宽度．
【解答】解：（1）根据题意得：通道的面积＝（4a+3b）b+2（2a+3b）b﹣2b2
＝4ab+3b2+4ab+6b2﹣2b2
＝8ab+7b2（平方米）．
∴通道的面积共有（8ab+7b2）平方米；
（2）根据题意得：（4a+3b）（2a+3b）﹣（8ab+7b2）＝216，
整理得：54b2＝216，
解得：b1＝2，b2＝﹣2（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽度为2米．
24．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）若每件售价为45元，求日销量是多少件？
（2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（3）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【解答】解：（1）20+2×（60﹣45）
＝20+2×15＝20+30＝50（件）．
答：当每件售价为45元时，日销量是50件．
（2）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+2（60﹣x）＝（140﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60，
又∵商家想尽快销售完该款商品，
∴x＝50．
答：每件售价应定为50元．
（3）设该商品需打y折销售，
依题意得：62.5×≤50，
解得：y≤8．
答：该商品至少需打8折销售．