第二十二章　二次函数单元 检测试题（含答案） 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章《二次函数》单元检测题
一、选择题(每题3分，共30分)
1．若抛物线y=x2-4x-12与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（　　）
A．24 B．36 C．48 D．96
2．关于x的一元二次方程（t为实数）有且只有一个根在的范围内，则t的取值范围是（　　）
A． B． C． 或 D．
3. 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（　　）
A．y= （x+3）2 B．y= （x+3）2
C．y= （x﹣3）2 D．y= （x﹣3）2
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则下列四个结论错误的是（ ）
A．a﹣b＋c＜0 B．2a＋b＝0
C．4a﹣2b＋c＝0 D．am2＋b（m＋1）≥a
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，则抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点A（ 1，），B（2，），C（ 3，）三点都在函数（a＞0）的图像上，则（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
7．．如图，抛物线 与 轴只有一个公共点A（1，0），与 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 ，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8. 如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．－1≤x≤3 B．x≤－1 C．x≥1 D．x≤－1或x≥3
9．若二次函数的图象过，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线，给出下列结论：；；；．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分，共24分)
11．关于x的函数y＝ax2+2(a+1)x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则a=　 　.
12．将抛物线y=2x2先沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是　 　．
13. 如果函数是二次函数，那么k的值一定是_____
14．若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为　 　.
15．把y＝2x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　．
16．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝　 　m．
17．已知二次函数y=x2+bx的图象过点A(4，0)，设点C(1，-3)，在抛物线的对称轴上求一点P，使|PA-PC|的值最大，则点P的坐标为 。
18．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中结论正确的有 （填序号）．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．已知：抛物线y＝5x2+（m﹣3）x与y＝﹣2x﹣m交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且有（x1﹣x2）2＝ ，求m的值.
20．如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A，B ( -1，0 ) 两点，交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标，
（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．
21.在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．
22. 如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．
（1）求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
24．如图，直线 与抛物线 相交于 和 两点，点P是线段 上异于 的动点，过点P作 轴于点D，交抛物线于点C
（1）求抛物线的解析式
（2）是否存在这样的P点，使线段 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
答案解析
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D B C C C B B
二、填空题
11．0或1
12．y=2x2+8x+5
13. 【答案】 0
14．【答案】x1＝-1，x2＝5
15．【答案】2
16．﹣1＜x＜3．
17．（2，-6）
18．①④
三.解答题
19．解：∵抛物线y＝5x2+（m﹣3）x与y＝﹣2x﹣m交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），
∴5x2+（m﹣3）x＝﹣2x﹣m，
化简，得
5x2+（m﹣1）x+m＝0，
∴x1+x2＝﹣ ＝ ，x1x2＝ ，
∵（x1﹣x2）2＝ ，（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝ ，
∴（ ）2﹣4× ＝ ，
解得，m1＝24，m2＝﹣2，
即m的值是24或﹣2
20．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为，∵与轴交于点B（-1，0）， ∴，解得，∴抛物线解析式为，∵抛物线交y轴于点D，∴D点坐标为（0，3）
（2）解：由顶点C坐标(1，4)可知对称轴是直线x=1，点B(-1，0)和点A是对称点，∴点A(3，0)，，∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
21.【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．
【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
22. （1）解：将点A（-3，0）及点B（1，0）分别代入y=ax2+bx+3，
得
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）解：存在，理由如下：
令y=-x2-2x+3中的x=0可得y=3，
∴C（0，3），OC=3，
∵A（-3，0）、B（1，0），∴AB=4，
∴，
∴，
作PE∥x轴交BC于点E，如图，
设直线BC的解析式为y=kx+m，
将点B（1，0）及点C（0，3）分别代入得
，
解得，
∴BC的解析式为：y=-3x+3；
设点P的坐标为P（t，-t2-2t+3），则点E的纵坐标为-t2-2t+3，
代入直线BC可得，
∴E（，-t2-2t+3），
∴PE=-t=，
∴，
解得t1=-2，t2=3，
∴点P（-2，3）或（3，-12）23.
23．（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
∵，是边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵点、、分别是边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设面积为S，
则
，
∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．
24．（1）解：把点 代入直线 得：
，解得 ，
，
把 代入直线解析式得： ，即 ，
把 ， 代入抛物线 得：
，解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2）解：存在，最大值为 ；理由如下：
由（1）及题意可设点 ，则点 ，
，
，
开口向下，
当 时，PC为最大值，即