2.4.1圆的标准方程 课件（共2课时）（34张PPT） 高二数学 人教A版2019 选择性必修第一册

(共34张PPT)
2.4.1 圆的标准方程
00
前情回顾
1:圆的定义是什么 确定圆的要素有什么？
平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆.
2：多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.
建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”图形，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.
类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，
我们首先需要建立圆的方程.
确定圆的因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
1 圆的标准方程
目录
2 点与圆的位置关系
3 题型
00
课题引入
《古朗月行》
唐 李白
小时不识月，呼作白玉盘。
又疑瑶台镜，飞在青云端。
如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示
00
课题引入
思考1：在直线方程的学习中，我们都研究了哪些问题？
直线
平面直角坐标系
直线方程
代数运算
利用直线方程，研究
位置关系、距离等问题
思考2：直线的方程是如何建立的呢？
直线的几何要素
（点，方向）
几何关系
坐标化
直线方程的点斜式
思考3：类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究与圆有关的位置、距离等问题
圆的方程是如何建立的呢？
目录
1 圆的标准方程
01
新知探究
探究1：类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素。在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)
圆心
半径
动点
因此，确定一个圆的几何要素是圆心和半径。
位置
大小
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。
由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程。
01
新知探究
探究1：类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素。如何确定一个圆？
定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)
圆心
半径
圆上的动
问题2：根据圆的定义，在平面直角坐标系中，圆的方程是什么？
圆A的方程就是圆上动点的坐标满足的条件:集合 P＝{ M | |MA|＝r }.
01
新知1——圆的标准方程
我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程.
特别的，圆心为坐标原点，半径长为的圆的方程是.
1.圆的标准方程：
注：圆的标准方程的特征：
1.是关于x、y的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径.
01
新知1——圆的标准方程
圆的标准方程的理解：
思考：方程一定是圆的方程吗？
若方程表示圆，满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？
当时，方程．
当时，方程表示点．
当时，方程表示圆，此时圆的圆心为，半径为.
注：若点上，点的坐标就满足方程；
反过来，若点的坐标满足方程，就说明点与圆心间
的距离为，点就在上.
练一练
例1 以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( )
A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
C
解:以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
练一练
例2 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是（ ）
A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1
C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1
A
解:　方法一　(直接法)
∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二　(数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，
故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
练一练
例3 已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).
若点M(6,9)在圆N上，求半径a？
解：∵点M(6,9)在圆N上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10.
练一练
例4 点A(3，－2)，B(－5,4)，求以线段AB为直径的圆的标准方程？
所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.
目录
2 点与圆的位置关系
02
新知探究
探究2 点与圆有哪几种位置关系？如何确定点与圆的位置关系？
点在圆A上
点在圆A内
点在圆A外
02
新知2——点与圆的位置关系
位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断
点在圆上
点在圆外
点在圆内
＝
＝
>
>
<
<
2.点与圆的位置关系：
练一练
例1 已知a，b是方程x2－x－ ＝0的两个不相等的实数根，
求点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系？
∴点P在圆C内.
练一练
例2 已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在（ ）
A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外
B
解：由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a，1)，
练一练
[0,1)
目录
3 题型
题型1－ 求圆的标准方程
03
例1　求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
解：r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4).
解　设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，
∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
题型1－ 求圆的标准方程
03
例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0
上的圆的标准方程.
解：(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
题型1－ 求圆的标准方程
03
例3 求过点A(1，－2)，B(－1,4)，且圆心在直线2x－y－4＝0
上的圆的方程？
即x－3y＋3＝0，由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，
即圆心坐标是C(3,2).
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
总结
圆的标准方程的两种求法：
(1)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的
标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常
用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为；
②列——由已知条件，建立关于，的方程组；
③解——解方程组，求出，；
④代——将代入所设方程，得所求圆的方程．
(2)几何法：
题型1－ 求圆的标准方程
03
例4 圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的
标准方程是________________.
(x－4)2＋y2＝1
解：设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
题型1－ 求圆的标准方程
03
例5 已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，求与圆C：
(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程？
解：由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25。
题型2－ 点与圆的位置关系求参
03
例6 若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，求a的取值范围？
解：∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,即169a2>1，
题型2－ 点与圆的位置关系求参
03
例7 已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)，若点
P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围？
解　由已知，得圆心N(5,6).
∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
题型3－ 与圆有关的最值问题
03
例8 求圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最值？
解：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1,1)，
03
题型3－ 与圆有关的最值问题
例9 已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，求x2－4y的最小值？
解：∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.
∵y∈[－1,1]，∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4.
03
题型3－ 与圆有关的最值问题
例10 半径为1的圆经过点(3,4)，求其圆心到原点的距离的最小值？
所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号.
化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，
所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，
课堂小结
我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程.
特别的，圆心为坐标原点，半径长为的圆的方程是.
1.圆的标准方程：
注：若点上，点的坐标就满足方程；反过来，
若点的坐标满足方程，就说明点与圆心的距离为，点就在上.
课堂小结
位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断
点在圆上
点在圆外
点在圆内
＝
＝
>
>
<
<
2.点与圆的位置关系：