(共23张PPT)
3.2 函数的基本性质
第1课时
3.2.1单调性与最大（小）值
引入
前面我们学习了函数的定义及表示方法，知道函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.这样我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律.因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法.
我们知道，先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些特性.因此我们可以从函数图象入手，来研究函数的性质.
引入
活动1：观察下列各个函数图象，你能发现它们可以反映出函数的哪些性质吗？
探索新知
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性.下面进一步用符号语言来刻画这种性质.
活动2：我们以函数f(x)=x2为例，研究其单调性.
在y轴左侧，f(x)=x2图象下降的；即当x≤0时，即f(x)随着x的增大而减小；
5
在y轴右侧，f(x)=x2图象上升的；即当x>0时，即f(x)随着x的增大而增大.
探究新知析
图象特征：在y轴左侧，f(x)=x2图象是下降的；即当时，随着的增大而减小.
符号语言：任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
5
探究新知析
图象特征：在y轴右侧，f(x)=x2图象是上升的；即当时，随着的增大而增大.
符号语言：任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
5
探究新知析
活动3：仿照f(x)=x2，用符号语言刻画函数f(x)=|x|和f(x)=-x2各有怎样的单调性？
5
符号语言：
(1)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
(2)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
探究新知析
活动3：仿照f(x)=x2，用符号语言刻画函数f(x)=|x|和f(x)=-x2各有怎样的单调性？
符号语言：
(1)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
(2)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
探究新知析
一般地，设函数:
如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.
就叫做函数的单调递增区间，简称增区间.
如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.
就叫做函数的单调递增区间，简称减区间.
探究新知析
特别地，当函数在它的定义域上单调递减增时，我们就称它为增函数.
如：就是在R上的增函数.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减减时，我们就称它为减函数.
如：就是在R上的减函数.
注意：增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质。一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义上不一定具有单调性。
思考1：反比例函数是减函数吗？
·
·
5
对于函数f(x)=|x|，取区间D=(-4,4),
集合A={-1,2,3}，则 x1,x2∈{-1,2,3}，当x1·
·
·
探究新知析
思考2：(1)设A是区间D上的自变量的某些值组成的集合，而且 x1,x2∈A，当x1探究新知析
函数的单调性是对定义域I上的某个区间D而言的，自变量在整个区间D上的取值x1和x2（x1≠x2）具有任意性。不能用自变量在区间D内某两个值来或者区间D一部分内的任意两个值x1，x2来代替。
注：若函数的单调区间有多个，则函数的单调区间不能用“”连接，只能用“，”或“和”连接.
例析
Q1:由初中知识可知，一次函数图象的上升还是下降取决于谁？
Q2:根据单调性的定义，判断单调性的关键是比较的大小？那如何比较
的大小呢？
例析
解：
定义法判断函数单调性的四个步骤:
（1）取值；（2）作差；（3）定号；（4）下结论.
例析
Q1:“体积减少时，压强增大”的数学意义是什么？
证明：
例析
例3：根据定义证明函数在区间上单调递增.
证明：
(
所以，
又由，得
于是
所以，函数在区间上单调递增.
练习
题型一：判断（证明）函数的单调性）
例1.证明函数 在区间上是减函数.
证明：
(
所以，
又由，得
于是
所以，函数在区间上单调递增.
练习
变1.（1）(多选)下列四个函数在区间上是增函数的是（ ）.
答案：CD.
变2：试用函数单调性的定义证明： 在上是减函数.
（解答思路同例1）
练习
题型二：图象法求函数的单调区间）
例2.画出函数 的图象，并指出函数的单调区间.
解：函数图象如图所示：
由图知，函数的增区间为：
函数的减区间为：
练习
变2.将例2中的 改为,则如何求解.
（解答思路同例2）
图象法求函数单调区间的步骤：
（1）作图；
（2）结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间.
练习
题型三：函数单调性的应用）
例3.函数是R上的增函数且,则（ ）.
A. B. C. D.
解：据题意，暂不能得出的正负.现假设： ，则有：
,. 而是R上的增函数
∴,
∴.故选C.
练习
变3.已知函数.
（1）若上是增函数，求的范围.
（2）若的单调区间是，求的范围.
[答案]（1） （2）-4
课堂小结&作业
作业：
1.整理复习课上例题；
2.课本85--86，习题3.2 第1,2,3，8题.
小结：
1.函数单调性的定义；
2.函数单调性的判断（定义法、图象法）；
3.单调性的应用.(共21张PPT)
3.2 函数的基本性质
第2课时
3.2.1单调性与最大（小）值
复习引入
1. 函数的单调性是怎样叙述的？单调递增，单调递减，增函数、减函数呢？
2.如何判定函数的单调性？
(1)图象法(形象直观)；(2)定义法(推导证明)。
一般地，设函数:
如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.
就叫做函数的单调递增区间，简称增区间.
如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.
就叫做函数的单调递增区间，简称减区间.
探索新知
观察上节课的图，可以发现，二次函数的图象上有一个最高点（0,0），即都有当一个函数的图象有最高点时，我们就说函数有最大值.
探索新知
活动1：你能以的为例说明函数最大值的含义吗？
图象特征：函数有最高点(0,0)，即最大的函数值为0.
数学含义：
(1)0是的函数值，即0=f(0)；
(2)0是函数值中最大的一个，即 x∈R，都有.
探索新知
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:
(1)都有;
(2)使得.
那么，我们则称是函数的最大值.
函数的最大值可用来表示.
5
探索新知
活动2：你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值的定义吗？
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:
(1)都有;
(2)使得.
那么，我们则称是函数的最小值.
函数的最大值可用来表示.
探索新知
思考：一个函数一定有最大值或最小值吗？为什么？
不一定.比如：
一次函数（）时，无最大值和最小值；
二次函数（开口向上时有最小值无最大值；开口向下时有最大值无最小值）；
常函数（既有最大值又有最小值，且最大值和最小值相等）.
给定区间的函数，看区间端点能否取到，具体情况具体分析.
例析
例4.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h(单位: m)与时间t单位: s) 之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少(精确到1m)
解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.
函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识可知，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18有:
∴烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.
例5.已知函数,求函数的最大值和最小值.
例析
解：则
由得＞0，＞0,
于是， ＞0，即 .
所以，函数在区间上单调递减.
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.
在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是0.4.
练习
题型一：图象法求函数的最值）
例1.已知函数
(1)在直角坐标系中画出的图象；
(2)根据函数图象写出函数的单调区间和值域.
解(1)：的图象如图所示：
(2)：由的图象知：
函数的单调增区间为：，;
单调减区间为：
值域为：.
练习
变1.函数,则的最大值和最小值分别是_____________.
答案：1和.（画出草图即可根据图象求解）
变2.设函数,则( ).
A.有最大值 有最小值
C.既有最大值又有最小值 D.既无最大值又无最小值
答案：D
练习
利用图象求函数最值的方法：
（1）画出函数的图象；
（2）观察图象，找出图象的最高点和最低点；
（3）写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
练习
题型二：利用单调性求函数的最值
例2.已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
证明：
(
所以，
又由，得
于是
所以，函数在区间上单调递增.
例2.已知函数.
(2)求该函数在[2,4]上的最值.
练习
解：由（1）知：函数在区间上单调递增.
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最小值与最大值.
在时取得最小值，最小值是；在时取得最大值，最大值是.
练习
变2.已知函数,求函数的最大值和最小值.
答案：1和-3.（解答过程同例2和课本例5）
利用单调性求函数最值的步骤：
（1）判断函数的单调性；
（2）利用单调性求出最大（小）值.
注：（1）求最值勿忘定义域；
（2）闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入最容易出现错误，求解时需注意.
练习
题型三：二次函数在区间上的最值
例3.求定义在下列区间的函数y=x2-2x-1在的最大值和最小值.
(1)x∈[0, 3] ； (2) x∈(2, 4] ； (3) x∈[-2, -1].
5
解：由二次的知识可知，函数y=x2-2x-1的图象开口向上，其对称轴为x=1.∴y=x2-2x-1的大致图象如图所示.
（1）
∵x∈[0, 3]
∴当x=1时，ymin=12-2-1=-2 .
当x=3时，ymax=32-2×3-1=2.
练习
5
例3.求定义在下列区间的函数y=x2-2x-1在的最大值和最小值.
(1)x∈[0, 3] ； (2) x∈(2, 4] ； (3) x∈[-2, -1].
解（2）：
∵x∈[2, 4]
∴当x=1时，ymin=12-2-1=-2 . 当x=3时，ymax=32-2×3-1=2.
解（3）:∵x∈[-2, -1]
∴当x=-1时，ymin=(-1)2-2×(-1)-1=2.
当x=3时，ymax=(-2)2-2×(-2)-1=7.
变3.已知函数.
(1)求在[0,1]上的最大值；
(2)当时，求在闭区间上的最小值.
练习
答案：（1）当时，最大值是；当时，最大值是1.
（2）当时，最小值是；
当时，最小值是；
当时，最小值是.
练习
1.含参数的二次函数最值问题的解法：
解决含参的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为的形式，再依的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴得出顶点的位置，再根据的定义区间结合大致图象确定最大值或最小值.
2.含参数的二次函数最值问题的三种类型：
（1）区间固定，对称轴变动（含参），求最值；
（2）对称轴固定，最值也固定，对称轴变动，求参数；
（3）区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
课堂小结
1.函数的最大(小)值的应满足的条件？其几何意义？
2.求一个函数的最大(小)值的方法？
（2）单调性法：先研究函数的单调性，再利用单调性的意义求函数的最大(小)值.
注：在实际运用中，我们更多的是将这两种方法结合起来，即采用“单调性+图象”的方法。
（1）图象法：先画出函数的图象，再直接函数最值的几何意义利求函数的最大(小)值；
（3）不等式法：对于一些特殊的函数，也可以运用不等式的知识（如不等式的性质和基本不等式）来求其最值。
课堂小结&作业
作业：
1.整理题型中的例题&变式；
2.课本86，习题3.2 第6,7,8题.
小结：
1.函数最大（小）值的概念；
2.求最值的几种方法和一般处理过程.
