3.2.2 奇偶性(两课时) 课件（共25张PPT）- 同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)

(共25张PPT)
3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
情境导入
探索新知
活动1：请同学们画出并观察函数 和 的图象。
5
可以发现，这两个函数的图象都关于轴对称
探索新知
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
… -1 0 1 2 1 0 -1 …
探索新知
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
… -1 0 1 2 1 0 -1 …
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
探索新知
观察图象可知：
（1）两个函数的图象都关于y轴对称。
（2）
以为例，对定义域内任意的都有 ，这时称函数 为偶函数.关于对定义域内任意的都有这个结论，我们就利用几何画板一起看一下吧。
探索新知
一般地，设函数的定义域为 ,如果,都有,且,那么函数就叫做偶函数。(图象关于轴对称)
探索新知
活动2：观察函数和的图象，讨论这两个函数图象有何共同特征？并尝试用符号语言精确地描述这一特征.
探索新知
可以发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -1 无意义 1 …
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数.
探索新知
观察图象可知：
（1）两个函数的图象都关于原点对称。
（2）
一般地，设函数的定义域为 ,如果,都有,且,那么函数就叫做奇函数。(图象关于原点对称)
探索新知
若函数的定义域为 ,如果,都有,且,那么函数既是奇函数又是偶函数；(如)
若函数的定义域为 ,如果,都有,且,那么函数既不是奇函数也不是偶函数，简称非奇非偶函数.
探索新知
思考1：
是否是偶函数？


不是，因为对于函数 的定义域内任意一个,不满足
都成立.
也就是说明偶函数的定义域一定要关于原点对称。(奇函数也是)
例析
例1.判断下列函数的奇偶性.
(1)
(2)
(3)
(4)
解：（1）函数的定义域为
∵,都有,且,
∴函数为偶函数.
（2）函数的定义域为
∵,都有,且,
∴函数为奇函数.
题型一：函数奇偶性的判断）
例析
解：（3）函数的定义域为
∵,都有,
且,
∴函数为奇函数.
（4）函数的定义域为
∵,都有,
且,
∴函数为偶函数.
求定义域并判断是否关于原点对称
判断的关系
下结论
例1.判断下列函数的奇偶性.（题型一：函数奇偶性的判断）
(3)
(4)
（题型一：函数奇偶性的判断）
探索新知
思考2：判断函数 的奇偶性.
思考3：已知函数 图象的一部分，你能根据的奇偶性画出它在轴左边的图象吗？
练习
例2.若函数是偶函数，定义域为,,的值.
解：∵偶函数的定义域关于原点对称
∴=0，= .
又∵为偶函数
∴.
∴= ，即=0.
题型二：利用函数奇偶性求参数
练习
变1.(1)若函数是偶函数，的值;
(2)若函数是奇函数，的值.
答案：（1）4；（2）-1.
练习
例3.已知函数为上的偶函数，且当时，,则当时,求此时的解析式.
解：当时，,则
∵为上的偶函数
∴当时，.
题型三：利用函数奇偶性求分段函数的解析式
练习
变2.已知函数是上的奇函数，且当在上的解析式.
答案：
练习
例4.若对于任意实数总有,且在区间上是增函数，则（ ）
题型四：比较大小（奇偶性与单调性的综合）
解：据题意得：为偶函数，且在区间上是增函数.
∴.
又∵
∴，即.
故选B.
练习
例5.若对于任意实数总有,且在区间上是增函数，则（ ）
题型四：比较大小（奇偶性与单调性的综合）
解题技巧：
（1）若自变量在同一区间内,直接利用函数的单调性比较大小；
（2）若自变量不在同一区间内,需利用函数的奇偶性把自变量转化的同一区间内，再利用单调性比较大小.
练习
题型五：解不等式问题（奇偶性与单调性的综合）
例6.已知定义在的奇函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围.
解：∵是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数
∴函数在区间上为减函数.
若,
则有
解得：.
即实数的取值范围是：.
题型五：解不等式问题（奇偶性与单调性的综合）
变4.(1)已知函数在定义域上既奇函数又是减函数，若, 求实数的取值范围;
(2)定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围.
练习
答案：（1）（2）.
变4.(1)已知函数在定义域上既奇函数又是减函数，若, 求实数的取值范围;
(2)定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围.
练习
解题技巧：
（1）奇函数： 变形为.再利用单调性去掉，化为关于，的不等式.
（2）偶函数：,在化到同一区间建立不等式即可.
课堂小结&作业
小结：
1.偶函数、奇函数的定义及其几何意义；
2.判断奇偶函数的思路；
3.各题型的注意事项.
作业：
1.课本P85 1、2、3题；
2.课本习题3.2的5、11、12题