3.3 幂函数 课件（共25张PPT）- 同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)

(共25张PPT)
3.3 幂函数
情境导入
前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例.
（1）如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数;
（2）如果正方形的边长为,那么正方形的面积,这里是的函数;
（3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积,这里是的函数;
（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形场地的边长,这里是的函数;
（5）如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度,即,这里是的函数.
探索新知
（1）; （2）; （3）;
（4），即=; （5）,即.
活动1：请观察（1）—（5）中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.
实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，，-1；它们都是形如的函数.
探索新知
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.
注：幂函数中的系数为“1”.
辨析1：在函数中，幂函数的个数为（ ）.
答案：B.其中的定义域为R，而中，所以不是幂函数.
探索新知
活动2：对于幂函数，我们只研究时的图象与性质.现请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.（取点要具有代表性）
活动3：观察现场利用软件作图.
探索新知
思考1：我们已经学习过函数的哪些性质？
思考2：根据以往学习函数的经验，结合着函数图象，来找一找这5个函数的“异同”点.
探索新知
活动2：结合函数图象并结合解析式，将你发现的结论填写在下表.
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减，在 上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递减
定点 （1,1）
探索新知
思考3：观察5个函数图象，哪个象限一定有幂函数的图象，哪个象限一定没有
幂函数的图象.
探索新知
幂函数的性质：
（1）过定点（1,1）；
（2）幂函数的图象一定会在第一象限，一定不在第四象限；
（3）当时，函数在区间上是增函数；
（4）当时，函数在区间上是减函数；
（5）在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴（指大图低）；
（6）在上，指数越大，幂函数图象越远离轴（指大图高）；
新知探索
辨析2：判断正误.
（1）幂函数的图象必过（0,0）和（1,1）.（ ）
（2）幂函数的图象都不过第二、四象限. （ ）
（3）当幂指数取1,3，时，幂函数是增函数.（ ）
（4）若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内
随的增大而增大.（ ）
答案：×，×，√，×.
例析
例.证明幂函数是增函数.
证明：函数的定义域是.
,且,有
∵,,
∴,即幂函数是增函数.
练习
题型一：幂函数的概念
例1.已知是幂函数，则=________.
解：∵是幂函数
∴=1，解之得：或-1.
例析
变1.已知幂函数在上为减函数，则等于（ ）.
解：∵为幂函数
∴=1，
又∵幂函数在上为减函数
∴.即
∴=
练习
题型二：幂函数的图象及应用
例2.若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，问当为何值时，(1)
解：∵设,则
∴=2.即
同理可得，
画出和的函数图象，
则由图象可知：当或时，；
当时，；
当时，.
练习
变2：若四个幂函数图象在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ）.
答案：B.在（1，+）上，指大图高.
练习
解决幂函数图象问题的原则：
（1）根据图象的高低判断幂指数的大小：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴（指大图低）；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴（指大图高）.
（2）当时，幂函数的图象都经过和点.
练习
题型三：利用幂函数的单调性比较大小
例3.比较下列各组数中两个数的大小.
与； 与； 与.
解：(1)∵幂函数在上是单调递增的，
又，∴>.
(2)∵幂函数在上是单调递减的，
又，∴.
练习
解：(1)∵幂函数在上是单调递增的，
又，∴>
又∵在上是单调递增的，
且,∴
∴
例3.比较下列各组数中两个数的大小.
与； 与； 与.
练习
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
与； 与.
解：(1)∵幂函数在上是单调递减的，
又，∴
(2)∵,幂函数在上是单调递增的，
且，∴,即
练习
比较幂的大小的3种基本方法：
直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性来比较大小
中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的
练习
题型四：幂函数性质的综合应用
例4.已知函数
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在定义域上的单调性；
解：(1)∵,,
∴中有一个必为偶数，
∴该函数的定义域为,
由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增.
例4.已知函数
(2)若该函数图象经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
练习
解：(2)∵该函数图象经过点,∴，
∴，即=2，∴
由，得 解之得
故的值为1，满足条件的实数的取值范围为
.
练习
变4.已知幂函数为偶函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的值.
解：(1)∵幂函数为偶函数,
∴，解得（舍去）或
∴,∴ .
(2)由，可得.
即
.
解之得
练习
解决幂函数的综合问题，要注意以下几点：
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象过定点、单调性、奇偶性等；
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论、数形结合等.
课堂小结&作业
小结：
(1)幂函数的概念；
(2)5个常见幂函数的图象及其性质；
(3)幂函数的性质；
(4)幂函数比较大小的方法.
作业：
(1)整理课件题型；
(2)课本P91 的练习1、2、3题和习题3.3的第1题.