4.2.1 指数函数的概念- 同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)

(共21张PPT)
4.2 指数函数
4.2.1指数函数的概念
情境导入
上一章我们学习了函数的概念和基本性质，并通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法。今天，我们继续来研究另一类很重要的基本初等函数——指数函数。首先我们来看几个情境实例。
情
境
1
Q1:请同学们观察细胞分裂示意图，完成两个空格的填写。
分裂
次数
0次
1次
2次
3次
4次
次
······
······
······
细胞
总数
1个
2个
4个
8个
情境导入
16个
分裂
次数
0次
1次
2次
3次
4次
次
······
······
······
细胞
总数
1个
2个
4个
8个
16个
Q2:若细胞总数记为，细胞分裂次数记为，那么试写出细胞总数与分裂次数间的关系式。
情境导入
分裂
次数
0次
1次
2次
3次
4次
次
······
······
······
细胞
总数
1个
2个
4个
8个
16个
细胞分裂的时候每次的增长率都是2，是一个常数。像这样，增长率为常数的变化方式，我们称之为指数增长。
情境导入
新知探索
情
境
2
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
死亡年数
1年
2年
3年
······
5730年
年
碳14含量
Q1:该情境中有何变量关系？
Q2:将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格。
······
新知探索
死亡年数
1年
2年
3年
······
5730年
年
碳14含量
Q3:若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式。
······
新知探索
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来的一半，即，那么
则.
新知探索
死亡年数
1年
2年
3年
······
5730年
年
碳14含量
······
生物体内碳14的含量每年都以的衰减率衰减。像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减。
概念生成
思考1:请同学类比于幂函数概念，说出这两个式子有什么特征？你能否用一个式子反映这些特征？
（指数为自变量，底数为常数）
Q1:在中，对有要求吗？
Q2:那对有要求吗？
若，则时，无意义；若，则等时，无意义；
若，则无研究的必要.
因此我们规定：且
（指数为自变量，底数为常数）
概念生成
概念生成
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，
定义域是
注：
(1)指数函数的定义域是实数集；
(2)自变量是指数，且指数位置只能有这一项；
(3)底数只能有一项，且其系数必须为1；
(4)底数的范围是且.
例析&练习
例1.给出下列函数：①②③④;⑤.
其中，指数函数的个数是（ ）.
A.0 B.1 C.2 D.4
答案：B.
变1.若函数是指数函数，则=___________ .
答案：2.
题型一：指数函数的概念
例析&练习
例2.已知指数函数且，且，求
的值.
解：∵且
∴
∴，即.
∴.
题型二：指数函数的解析式及应用
例析&练习
例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题：（1）写出两城市的人口总数（万人）与年份（年）的函数解析式；
解（1）：年后甲城市人口总数为
年后乙城市人口总数为.
题型三：指数函数的实际应用
例析&练习
例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题：
（2）计算10年、20年、30年后两城市的人口总数（精确到0.1万人）；
解(2)：
10年后 20年后 30年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113 126 139
解(3)：甲乙两城市人口都逐年增长，其中甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型；乙城市人口增长缓慢，呈线性增长.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.
例析&练习
例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题：
（3）试对两城市人口增长情况做出分析。
例析&练习
实际应用问题中指数函数模型的类型
（1）指数增长模型
设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则：
.
（2）指数减少模型
设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到，则：
.
（3）指数型函数
把形如的函数称为指数型函数，这是非常有用的
函数模型.
活动：请同学们尝试说出几个生活中的指数函数模型的例子.
例析&练习
课堂小结
小结：
(1)指数函数的概念：
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，
定义域是
(2)指数函数需要注意的几个点：
①指数函数的定义域是实数集；
②自变量是指数，且指数位置只能有这一项；
③底数只能有一项，且其系数必须为1；
④底数的范围是且.
(3)幂函数与指数函数的区别
作业：
(1)复习本节课的内容并预习好下一节内容；
(2)课本P115 的练习1、2、3题（第3题写出函数解析式即可）.
作业