(共21张PPT)
5.4 三角函数的图象和性质
5.4.2 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
(第1课时)
复习导入
上节课的学习中，我们学了正弦、余弦函数的图象.其中有五个点在函数图象中起着关键作用，请同学们回顾一下在正余弦函数中的“五点”.
与轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
正弦函数的五个关键点：
与轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
余弦函数的五个关键点：
新知探索
思考1：类比以往对函数性质的研究，你认为应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？
根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大值(小)值等.另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的.
新知探索
观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自变量的值加上的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等.数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
概念生成
一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.
注：(1)周期函数的周期不止一个.例如以及等.都是正弦函数的周期.事实上，由，我们可知：常数都是它的周期.
(2)若函数的周期是，则也是的周期.
概念生成
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
根据上述的定义，我们有：
正弦函数是周期函数，都是它的的周期，最小正周期是.
思考2：类比于正弦函数，试探究余弦函数的周期性.
类似的，由，可知，余弦函数也是周期函数.
以及等都是余弦函数的周期.即常数都是它的周期，最小正周期是.
概念生成
注：(3)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量要加上的那个最小正数，这个正数是对而言的，如的最小正周期是因为，即是使函数值重复出现的自变量加上的最小正数，是针对而言的，而非
(4)并不是所有的周期函数都有最小正周期，例如，常数函数，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.
概念生成
辨析1：判断正误.
(1)若，则是函数的一个周期.（ ）
(2)所有的周期函数都有最小正周期.（ ）
(3)函数是奇函数.（ ）
答案：×，×，×.
辨析2：函数是( ).
A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
答案：A.
例析
例2.求下列函数的周期：
(1) (2) (3)
解：(1)有
由周期函数的定义可知，原函数的周期为
(2)令由得，且的周期为，即
，于是，
所以
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
例析
例2.求下列函数的周期：
(1) (2) (3)
解：(3)令由得，且的周期为，即
，于是，
所以
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
新知探索
思考2：回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？
函数的周期与的系数有关.
仿照上述分析过程可得:
函数(其中为常数，且)的最小正周期为：．
新知探索
观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于轴对称.这个事实，也可由诱导公式得到，所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
练习
题型一：三角函数的周期
例1.求下列函数的周期.
(1);(2).
解：(1)∵,即,∴函数的最小正周期
(2)∵∴函数,
∴函数的最小正周期
练习
变1.求下列函数的周期.
(1),;(2).
解：(1)∵,即,∴函数的最小正周期
(2)∵∴函数,
∴函数的最小正周期
练习
题型二：正、余弦函数的奇偶性
例2.判断下列函数的奇偶性：
(1);(2)
解：(1)定义域为，关于原点对称.
∵
∴函数是奇函数.
(2)据题意，定义域为实数R.
∵
∴函数是偶函数.
练习
例2.判断下列函数的奇偶性：
(3)
解：(3)∵即
∴定义域为，定义域不关于原点对称
∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
练习
变2.判断下列函数的奇偶性：
(1);(2)
(3)
解：(1)据题意，定义域为实数R，关于原点对称.
∵
∴函数是偶函数.
(2)据题意，定义域为实数R，关于原点对称.
∵
∴函数是奇函数.
练习
变2.判断下列函数的奇偶性：
(3)
解：(3)据题意，有即
所以定义域为，关于原点对称.
∵
,
∴函数是奇函数.
练习
题型三：三角函数的奇偶性与周期的综合应用
例3.下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）.
A. B.
C. D.
答案：D.
解：是偶函数，是偶函数，是偶函数，是奇函数，且由周期公式可知其最小正周期为.
练习
变3.定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则等于（ ）.
A. B. C. D.
答案：D.
解：
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)正、余弦函数的周期性；
(2)正、余弦函数的奇偶性.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P203的练习14题.(共25张PPT)
5.4 三角函数的图象和性质
5.4.2 正弦、余弦函数的单调性与最值
(第2课时)
复习导入
上节课我们学习了正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间(如)上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
因为对于周期函数，如果把握了它的一个周期内的情况，那么也就把握了整个函数的情况.
思考1：观察下图，找出的值随着的变化是如何变化的？
新知探索
观察下图，可以看到：
当由增大到时，曲线逐渐上升，的值由增大到；当由增大到时，曲线逐渐下降，的值由减小到.
的值的变化情况如表所示：
↗ ↗ ↗ ↗
↗ ↗ ↘ ↘
新知探索
↗ ↗ ↗ ↗
↗ ↗ ↘ ↘
这就是说，正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间()上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间()上都单调递减，其值从减小到
新知探索
↗ ↗ ↗ ↗
↗ ↗ ↘ ↘
思考2：类比于正弦函数，观察余弦函数在一个周期区间(如[])上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表：
新知探索
这就是说，正弦函数,在区间上单调递增，在区间上单调递减.
由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间()上都单调递增，其值从增大到；在每一个闭区间()上都单调递减，其值从减小到
↗ ↗ ↗ ↗
↗ ↗ ↘ ↘
新知探索
思考3：在前面函数的性质中，我们除了奇偶性、单调性外，还学习了函数的最值.请结合着前面对正余弦函数单调性的研究，找出正余弦函数的最值及其取得最值时对应的自变量的值.
新知探索
正弦函数当且仅当时取得最大值，当且仅当时取得最小值
余弦函数当且仅当时取得最大值，当且仅当时取得最小值
例析
例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值.
(1) (2)
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数取得最大值的的集合，就是使函数取得最大值的的集合；使函数取得最小值的的集合，就是使函数取得最小值的的集合.
函数的最大值是最小值是
例析
(2)
解：(2)令使函数取得最大值的的集合，就是使，取得最小值的的集合.由得.所以，使函数取得最大值的的集合是.同理，使函数取得最小值的的集合是.
函数的最大值是，最小值是.
例析
例4.不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)与；(2)与.
解：(1)因为正弦函数在区间上单调递增，所以>.
(2)因为且函数在区间上单调递减，所以即.
例析
例5.求函数的单调递增区间.
解：令则
因为，的单调增区间是，且由
得.
所以，函数的单调递增区间是.
练习
题型一：正弦函数、余弦函数的单调性
例1.求函数的单调区间.
解：令
则
即
所以函数的单调递增区间是
令
则
即
所以函数的单调递减区间是
练习
变1.求函数的单调区间.
解：据题意，函数的单调区间和函数的相反.
令
则
即
所以函数的单调递减区间是
令
则
即
所以函数的单调递增区间是
练习
方法技巧：
(1)用“基本函数法”求函数或的单调区间的步骤：
第一步：写出基本函数(或)的相应单调区间；
第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“”；
第三步：解关于的不等式.
(2)对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间。单调递减区间即为原函数的单调递增区间.余弦函数的单调性讨论同上.另外，值得注意的是这一条件不能省略.
练习
题型二：正弦函数、余弦函数单调性的应用
例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(1)与；(2)与；
解：(1)∵正弦函数在区间上单调递增，
∴>.
(2)∵
，
又正弦函数在区间上单调递增，∴，从而
即.
练习
例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(3)与.
解：(3)
∵且函数在区间上单调递减，
∴即.
练习
变2.比较下列各组数的大小.
(1)与；(2)与；
解：(1)，而
且函数在区间上单调递增，
∴即.
(2)
∵函数在区间上单调递减，且
∴即
练习
变2.比较下列各组数的大小.
(3)与.
解：(3)
∵且函数在区间上单调递增，
∴
即.
练习
方法技巧：
三角函数值大小比较的策略
(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到或内.
(2)不同名的函数化为同名的函数.
(3)自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
练习
题型三：正弦函数、余弦函数的最值问题
例3.求下列函数的值域.
(1)；(2)；
(3).
解：(1)∵∴
令又在上单调递增，在上单调递减，
∴
∴函数的值域为[,2].
练习
例3.求下列函数的值域.
(2)；
(3).
解：(2)∵
又时，0∴函数的值域为
(3)令
∴在上单调递减，
∴当时，当时，
∴函数的值域为
练习
变3.求函数的最大值和最小值.
解：由正弦函数的性质知，
当时，，
∴
当函数取得最小值，
当函数取得最大值，
∴函数在上的最大值是5，最小值是.
练习
方法技巧：
三角函数最值(值域)问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如(或)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对正负的讨论.
(2)形如(或)型，可先由定义域求得的范围，然后求得(或)的范围，最后求得最值.
(3)形如型，可利用换元思想，设转化为二次函数求最值.的范围需要根据定义域来确定.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)正、余弦函数的单调性；
(2)正、余弦函数的最值.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P207的练习15题.
