2.2基本不等式 课件（共22张PPT）

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2.2基本不等式
复习导入
在等式性质与不等式性质一节，我们由赵爽弦图抽象出了一类重要不等式： ①
不难发现，公式①中，, 当且仅当时等号成立.
问题1：我们以，分别替代重要不等式中的，，可得出什么结论？
新知探究
基本不等式：对，，都有
当且仅当时，等号成立.
几何平均数
算术平均数
两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数
新知探究
证明：（方法1作差法）
，
,当且仅当时取得等号
问题2：你能用前面所学的知识尝试证明基本不等式吗？
新知探究
思考：你能用前面所学的知识尝试证明基本不等式吗？
（方法2分析法）
要证 ，① 只要证 ②
要证②，只要证 ③
要证③，只要证 ④
要证④，只要证 ⑤
显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立.
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.
新知探究
基本不等式：对，，都有
当且仅当时，等号成立.
基本不等式的几何意义是什么呢？
新知探究
基本不等式：对，，都有当且仅当时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点，
过点作垂直于的弦，连接
半径，则
与大小关系怎么样？
当且仅当点与圆心重合时取等.
几何意义：
半径不小于半弦长
练习巩固
例1：已知求的最小值.
解：∵∴
∴
当且仅当即时，等号成立，
因此所求的最小值为2.
一正
二定
三相等
练习巩固
练习1：已知，求的最小值
解：∵
∴
当且仅当，即时，“=”成立.
∴的最小值为4.
练习巩固
例2：已知都是正数，求证：
(1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
(2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值
证明：
当且仅当时，上式等号成立.
于是，当时，和有最小值.
(2)当和等于定值时，∴
当且仅当上式等号成立.
于是，当时，积有最大值
积定和最小
和定积最大
练习巩固
练习2：已知,求的最大值.
解：∵∴
∴
当且仅当即时，等号成立，
因此所求的最大值为.
一正
二定
三相等
练习巩固
例3：已知，求的最小值
解：∵，∴
∴
当且仅当，即时，“=”成立.
∴的最小值为0.
练习巩固
变式3-1：已知，求的最小值
练习巩固
变式3-2：已知，求的最大值.
解：∵，
∴，
∴
当且仅当，即时，“”成立.
∴的最大值为.
练习巩固
例4：已知，求的最大值
解：∵，∴0.
∴
当且仅当得或(舍去)，即等号成立.
∴的最大值为.
练习巩固
变式4-1：已知，求的最大值.
解：∵，∴0，0.
∴
当且仅当得或(舍去)，即时等号成立.
∴的最大值为.
练习巩固
例5：已知，且求的最小值.
练习巩固
变式5-1：已知，且求的最小值.
解：∵，且
∴
∴
当且仅当即时，等号成立.
∴的最小值为.
练习巩固
例3：(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为
篱笆的长度为
(1)由已知得
由，可得
∴
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，
最短篱笆的长度为
练习巩固
例3：(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：(2)由已知得矩形菜园的面积为
由
可得
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是.
练习巩固
例4：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元.
根据题意，有
由容积为,可得
∴
当时，上式等号成立，此时
所以，将贮水池池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
小结
基本不等式：对，，都有
当且仅当时，等号成立.
一正二定三相等
积定和最小
和定积最大