2026年高考数学一轮复习 幂函数、指数函数、对数函数（含解析）

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高考数学一轮复习 幂函数、指数函数、对数函数
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 江西期末）若a＝log0.60.3，则a∈（　　）
A．（0，0.5） B．（0.5，1） C．（1，2） D．（2，+∞）
2．（2025春 南开区期末）已知a＝30.3，b＝log54，，则（　　）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
3．（2025 个旧市校级模拟）若3a＝5b＝15，则（　　）
A．1 B．log35 C．log53 D．2
4．（2025春 常州期末）（　　）
A．﹣5 B． C． D．5
5．（2024秋 烟台期末）溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．若胃酸中氢离子的浓度是2.7×10﹣2摩尔/升，则胃酸的pH为（　　）
A．3﹣2lg3 B．3+2lg3 C．3﹣3lg3 D．3+3lg3
6．（2025春 河南月考）已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm的图象与坐标轴无公共点，则m＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．﹣1或2
7．（2025 湖北模拟）已知A＝{x∈Z|y＝ln（﹣x2+2x+8）}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，4） B．（0，4）
C．{﹣1，0，1，2，3} D．{1，2，3}
8．（2025 长春校级模拟）已知log2[log3（log4x）]＝0，那么x等于（　　）
A．1 B．16 C．64 D．81
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 镇江模拟）已知正数x、y、z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（　　）
A． B．xy＞2z2
C． D．3x＞4y＞6z
（多选）10．（2025 枣庄校级模拟）下列运算中正确的是（　　）
A．
B．当a＞0时，
C．若a+a﹣1＝14，则3
D．
（多选）11．（2025春 修文县校级期中）已知a＝2，b＝π，则下列代数式中值为3π的是（　　）
A．（）8
B．（a﹣4 a4）b+a
C．
D．（3）÷2（）
（多选）12．（2025 庐阳区校级三模）已知m＞0且m≠1，则函数的图象一定经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 黄浦区校级期末）若幂函数f（x）＝xk，k∈{﹣3，﹣2，3}在（﹣∞，﹣1）上是严格减函数，则k＝　 　 ．
14．（2025春 徐州期末） 　 　 ．
15．（2025春 永州校级月考）若log（1+k）（1﹣k）有意义，则实数k的取值范围是 　 　 ．
16．（2025春 汕头月考）围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩．它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共3361种．则数字3361是 　 　 位数，它的个位数字是 　 　 ．（参考数据：lg3≈0.4771）
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 让胡路区校级期末）化简求值：
（1）；
（2）已知tanα＝4，计算．
18．（2025春 宜春月考）已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|2x2﹣ax≤0}．
（1）若a＝﹣4，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．
19．（2024秋 日照期末）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式t≤f（x）+2x对任意的x∈R恒成立，求实数t的取值范围．
20．（2024秋 邢台期末）已知幂函数y＝xm（m∈R）经过点．
（1）求此幂函数的表达式和定义域；
（2）已知点A（a+2，y1），点B（3﹣2a，y2）（a∈R）在此幂函数的图象上，且满足y1＜y2，求实数a的取值范围．
高考数学一轮复习 幂函数、指数函数、对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 江西期末）若a＝log0.60.3，则a∈（　　）
A．（0，0.5） B．（0.5，1） C．（1，2） D．（2，+∞）
【考点】对数函数的单调性与最值．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】D
【分析】利用中间值比较法，结合对数函数单调性即可得出．
【解答】解：因为对数函数y＝log0.6x在（0，+∞）上是减函数，
所以a＝log0.60.3＞log0.60.36＝log0.6（0.6）2＝2．
故选：D．
【点评】本题考查对数函数的性质，属于基础题．
2．（2025春 南开区期末）已知a＝30.3，b＝log54，，则（　　）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性对各式进行大小比较．
【解答】解：由已知，120.3＜30.3，即1＜c＜a，
b＝log54＜log55＝1，故b＜c＜a．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数值比较大小，属于基础题．
3．（2025 个旧市校级模拟）若3a＝5b＝15，则（　　）
A．1 B．log35 C．log53 D．2
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由3a＝5b＝15，得a＝log315，b＝log515，代入求解即可．
【解答】解：由3a＝5b＝15，得a＝log315，b＝log515，
所以log153+log155＝log1515＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了指数与对数的运算问题，是基础题．
4．（2025春 常州期末）（　　）
A．﹣5 B． C． D．5
【考点】对数的运算性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据指数、对数运算性质即可求解．
【解答】解：原式5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数及对数运算性质，属于基础题．
5．（2024秋 烟台期末）溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．若胃酸中氢离子的浓度是2.7×10﹣2摩尔/升，则胃酸的pH为（　　）
A．3﹣2lg3 B．3+2lg3 C．3﹣3lg3 D．3+3lg3
【考点】对数的运算性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用对数运算性质即可求解．
【解答】解：若胃酸中氢离子的浓度是2.7×10﹣2摩尔/升，
pH的计算公式为pH＝﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，
则胃酸的pH为：﹣lg（2.7×10﹣2）＝﹣（lg2.7+lg10﹣2）＝2﹣lg2.7＝2﹣lg27+lg10＝2﹣3lg3+1＝3﹣3lg3．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
6．（2025春 河南月考）已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣1）xm的图象与坐标轴无公共点，则m＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．﹣1或2
【考点】幂函数的特征及辨识．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合幂函数定义及性质即可求解．
【解答】解：因为f（x）为幂函数，且f（x）＝（m2+m﹣1）xm的图象与坐标轴无公共点，
所以m2+m﹣1＝1，解得m＝﹣2或m＝1，
当m＝﹣2时，f（x）＝x﹣2，符合题意；
当m＝1 时，f（x）＝x，不合题意．
综上，m＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了幂函数定义的应用，属于基础题．
7．（2025 湖北模拟）已知A＝{x∈Z|y＝ln（﹣x2+2x+8）}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，4） B．（0，4）
C．{﹣1，0，1，2，3} D．{1，2，3}
【考点】求对数型复合函数的定义域；求集合的交集；指数函数的值域．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】D
【分析】根据函数定义域及值域问题可求集合A、B，再求A∩B即可．
【解答】解：由﹣x2+2x+8＞0可得﹣2＜x＜4，
则A＝{x∈Z|﹣2＜x＜4}，B＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，
故A∩B＝{x∈Z|0＜x＜4}＝{1，2，3}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
8．（2025 长春校级模拟）已知log2[log3（log4x）]＝0，那么x等于（　　）
A．1 B．16 C．64 D．81
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】根据对数的基本运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵log2[log3（log4x）]＝0，
∴log3（log4x）＝1，
∴log4x＝3，
即x＝43＝64，
故选：C．
【点评】本题主要考查对数的 基本运算，要求熟练掌握对数的运算法则，比较基础．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 镇江模拟）已知正数x、y、z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（　　）
A． B．xy＞2z2
C． D．3x＞4y＞6z
【考点】对数值大小的比较．
【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可．
【解答】解：x、y、z＞0，令3x＝4y＝6z＝t（t＞1），则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t．
（）2，故A正确；
1（）＞12，故B正确；
logt3logt4＝logt6，故C正确；
4logt3＝logt81，3logt4＝logt64，因为t＞1，所以，即3x＜4y，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查对数值比较大小，属于基础题．
（多选）10．（2025 枣庄校级模拟）下列运算中正确的是（　　）
A．
B．当a＞0时，
C．若a+a﹣1＝14，则3
D．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用指数和对数运算公式即可直接解出．
【解答】解：对于A选项，，故A选项错误；
对于B选项，，故B选项正确；
对于C选项，令，则m2＝a+a﹣1+2＝16，故m≠3，选项C错误；
对于D选项，7，故选项D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查了指数和对数的运算，学生的数学运算能力属于基础题．
（多选）11．（2025春 修文县校级期中）已知a＝2，b＝π，则下列代数式中值为3π的是（　　）
A．（）8
B．（a﹣4 a4）b+a
C．
D．（3）÷2（）
【考点】有理数指数幂及根式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．
【解答】解：对于A，，故A错误；
对于B，原式＝b+ab＝π+2π＝3π，故B正确；
对于C，原式3π，故C错误；
对于D，原式，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
（多选）12．（2025 庐阳区校级三模）已知m＞0且m≠1，则函数的图象一定经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】AB
【分析】化简函数f（x），判断曲线y＝f（x）过点（0，1），讨论m＞1时和0＜m＜1时，分别得出曲线y＝f（x）所过的象限．
【解答】解：因为f（x）（x）+3＝2logm（x）+3，
且f（0）＝2logm3＝1，所以曲线y＝f（x）过点（0，1）；
当m＞1时，曲线y＝f（x）过第一、二、三象限；
当0＜m＜1时，曲线y＝f（x）过第一、二、四象限．
故选：AB．
【点评】本题考查了对数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 黄浦区校级期末）若幂函数f（x）＝xk，k∈{﹣3，﹣2，3}在（﹣∞，﹣1）上是严格减函数，则k＝　﹣3　 ．
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣3．
【分析】由幂函数的性质逐个判断即可．
【解答】解：当k＝3时，f（x）＝x3在（﹣∞，﹣1）上是严格增函数；
当k＝﹣2时，f（x）＝x﹣2在（﹣∞，﹣1）上是严格增函数；
当k＝﹣3时，f（x）＝x﹣3在（﹣∞，﹣1）上是严格减函数．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质应用问题，是基础题．
14．（2025春 徐州期末） 　e　 ．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】e．
【分析】根据对数的性质可求代数式的值．
【解答】解：原式＝3﹣（3﹣e）＝e．
故答案为：e．
【点评】本题主要考查了指数及对数运算性质，属于基础题．
15．（2025春 永州校级月考）若log（1+k）（1﹣k）有意义，则实数k的取值范围是 　（﹣1，0）∪（0，1）　 ．
【考点】求对数函数的定义域．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣1，0）∪（0，1）．
【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解．
【解答】解：要使log（1+k）（1﹣k）有意义，
则，解得﹣1＜k＜1，且k≠0．
∴实数k的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．
故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
16．（2025春 汕头月考）围棋是中华民族发明的世界上最古老的棋类游戏之一，具有高度的文化色彩．它的棋盘是由纵横各19条线交叉组成的，下棋时每个交叉点可能出现放黑子、放白子或放空三种情况，因此，整个棋盘的放子情况共3361种．则数字3361是 　173　 位数，它的个位数字是 　3　 ．（参考数据：lg3≈0.4771）
【考点】对数的运算性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新文化类．
【答案】173；3．
【分析】通过对数运算lg3361≈172.2331得到3361≈100.2331×10172，即可解决第一空，根据31，32，33，34，35， 的个位数以4为周期循环往复，即可完成第二空．
【解答】解：因为lg3≈0.4771，lg3361＝361lg3≈361×0.4771＝172.2331，
所以3361≈10172.2331＝100.2331×10172，
因为，则100.2331∈（1，2），
所以3361为173位数，
由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243， ，其个位数3，9，7，1，3，9，7， 以4为周期循环往复，
因为361＝4×90+1，
故3361的个位数与31的个位数相同．
故答案为：173；3．
【点评】本题主要考查了对数的运算，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 让胡路区校级期末）化简求值：
（1）；
（2）已知tanα＝4，计算．
【考点】对数的运算性质；同角三角函数间的基本关系．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）6；
（2）．
【分析】（1）由对数运算法则计算；
（2）弦化切代入计算．
【解答】解：（1）．
（2）∵tanα＝4，
∴．
【点评】本题主要考查对数的运算求值，以及三角函数的求值，属于基础题．
18．（2025春 宜春月考）已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|2x2﹣ax≤0}．
（1）若a＝﹣4，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【考点】对数函数的定义域；求集合的交集；必要不充分条件的应用．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）A∩B＝（﹣1，0]；
（2）（﹣2，8）．
【分析】（1）由，求得集合A，进而可求解；
（2）由B是A的真子集．，分类讨论构造不等式求解即可；
【解答】解：（1）函数，
则，解得﹣1＜x＜4，所以A＝（﹣1，4）；
若a＝﹣4，则B＝{x|2x2+4x≤0}＝[﹣2，0]，所以A∩B＝（﹣1，0]．
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B是A的真子集．
因为B＝{x|2x2﹣ax≤0}＝{x|（2x﹣a）x≤0}，
当a＞0时，，又B是A的真子集，
所以，又a＞0，所以0＜a＜8．
当a＜0时，，又B是A的真子集，
所以，又a＜0，所以﹣2＜a＜0；
当a＝0时，B＝{0}，此时B是A的真子集，符合题意；
综上，a的取值范围是（﹣2，8）．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
19．（2024秋 日照期末）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式t≤f（x）+2x对任意的x∈R恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】求幂函数的解析式；不等式恒成立的问题．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）＝x2；
（2）（﹣∞，﹣1]．
【分析】（1）将点代入幂函数的解析式，即可求解；
（2）分离出变量t，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）幂函数f（x）＝xα的图象过点（2，4）．
则2a＝4，解得α＝2，
故f（x）＝x2；
（2）由（1）可得 x∈R，t≤x2+2x恒成立，∴t≤（x2+2x）min，
∴令g（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴g（x）min＝﹣1，∴t≤﹣1，
∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
【点评】本题主要考查幂函数解析式的求解，属于基础题．
20．（2024秋 邢台期末）已知幂函数y＝xm（m∈R）经过点．
（1）求此幂函数的表达式和定义域；
（2）已知点A（a+2，y1），点B（3﹣2a，y2）（a∈R）在此幂函数的图象上，且满足y1＜y2，求实数a的取值范围．
【考点】求幂函数的解析式；幂函数的单调性与最值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1），定义域为（0，+∞）；
（2）．
【分析】（1）依题意可得，求出m的值，即可求出函数解析式及定义域；
（2）首先判断函数的单调性，即可得到a+2＞3﹣2a＞0，解得即可．
【解答】解：（1）∵幂函数y＝xm（m∈R）过点，
∴，即22m＝2﹣1，∴，
则幂函数为：；
因为，所以的定义域为（0，+∞）．
（2）由于函数在其定义域（0，+∞）上单调递减，
又因为点A（a+2，y1），点B（3﹣2a，y2）（a∈R）在此幂函数的图象上，且满足y1＜y2，
可得a+2＞3﹣2a＞0，即满足，解得，
所以．
【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题．
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